初中數(shù)學幾何模型：雙角平分線模型

雙角平分線模型模型講解【結(jié)論1】如圖所示，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，則

∠BDC=90°+∠A.【證明】設(shè)∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的內(nèi)角和為180°，得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的內(nèi)角和為180°，得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①，得∠A+2(180°-∠BDC)=180°,即2

∠BDC=

180°+∠A,即

∠BDC=90°+∠A.【結(jié)論2】如圖所示，△ABC的外角平分線BD和CD相交于點D，則

∠BDC=90°?∠A.【證明】設(shè)∠EBD=∠CBD=x，BCD=∠FCD=y.由△BCD的內(nèi)角和為180°，得x+y+∠BDC=180°，①易得2x+2y=180°+∠A.②由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代入②，得2(180°―∠BDC)=180°+∠A，即2∠BDC=180°-∠A，即

∠BDC=90°?∠A.【結(jié)論3】如圖所示，△ABC的內(nèi)角平分線BD和外角平分線CD相交于點D，則

∠D=∠A.【證明】設(shè)∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.由外角定理得2y=∠A+2x，①y=∠D+x.②把②代入①，得2(∠D+x)=∠A+2x，即

∠D=∠A.典型例題典例1如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，若∠BAC=80°，則∠BOC的度數(shù)是().A.130°B.120°C.100°D.90°典例2如圖，BA1和CA1，分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，BA3是∠A2BD的平分線，CA3是∠A2CD的平分線，……以此類推，若∠A=α，則A2020=

.典例3【問題】如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.若∠A=80°，則∠BEC=；若∠A=n°，則∠BEC=.【探究】(1)如圖2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=n°，則∠BEC=；(2)如圖3，O是∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，O是三角形ABC的外角∠DBC與∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(只寫結(jié)論，不需要證明）初露鋒芒1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，若∠A=60°，則∠BFC等于().A.121°B.120°C.119°D.118°2.如圖，五邊形ABCDE在∠BCD，∠EDC處的外角分別是∠FCD，∠GDC，CP，DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，則∠CPD=.感受中考1.(2019黑龍江大慶中考真題)如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E.若∠A=60°，則∠BEC的度數(shù)為().A.15°B.30°C.45°D.60°參考答案典例1【答案】A【解析】∵BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線，由“內(nèi)內(nèi)90°加一半”得，

∠BOC=90°+∠BAC，即

∠BOC=90°+×80°=130°.故選A.典例2【答案】

2020·α【解析】∵BA1為△ABC的內(nèi)角平分線，CA1為△ABC的外角平分線，∴由“內(nèi)外就一半”，得

∠A1=∠A=·α.同理，

∠A2=∠A1=()2·α,∠A3=∠A2=()3·α,......∴∠A2020=()2020·α.典例3【解析】【問題】130°;

90°+n°【探究】(1)由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=120°?n°,∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(120°-n°)=60°+n°.(2)∠BOC=∠A.

理由如下：由三角形的外角性質(zhì)，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC.∵O是∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO的交點，∴∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD,∴∠A+∠ABC=2(∠BOC+∠OBC),∴∠A=2∠BOC,∴∠BOC=∠A.(3)∠BOC=90°?∠A.初露鋒芒1.【答案】

B【解析】∵BE，CD均為△ABC的內(nèi)角平分線，∴由“內(nèi)內(nèi)90°加一半”，得∠BFC=90°+

∠A=90°+×60°=120°.故選B.2.【答案】105°【解析】如圖，延長BF，EG交于點H.在△CDH中，CP，DP分別平分∠HCD和∠HDC，∴由“內(nèi)內(nèi)90°加一半”，得∠CPD=90°+∠H.又∠A+∠B+∠H+∠E=

360°,∴∠H=360°?160°?80°