實數與向量的積

§5.3實數與向量的積(第一課時)由上圖可知：記作記作從上圖中我們可以直觀的看出：（1）與方向____________，且（2）與方向____________，且如圖，已知非零向量。求作向量及相反相同

一般地，實數與向量的積仍然是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：

2）方向：

①當時，與的方向_____②當時，與的方向_____

③當時，（可為任意方向）一）實數與向量的積的定義1）長度：

思考題：在實數與向量的積中，實數起的作用是什么？答：1）的絕對值決定著與向量的長度之間的倍數關系

2）的符號決定著與向量是同向還是反向（若，的方向是任意的）相同相反提示

1）這個運算律與代數運算中實數乘法的運算律很相似，只是以上兩個分配律中，由于乘積因子不同，可分為第一分配律、第二分配律

2）我們可以應用這個運算律，對向量代數式進行化簡,如：例題1二）實數與向量的積滿足的運算律

設、是實數，根據實數與向量的積的定義，那么有m（第二分配律）3）1）（結合律）2）（第一分配律）典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結

題型一關于實數與向量積的運算

例1計算：1）

2）解：1）原式【點評】實數與向量的積的運算法則類似于整式的加減法運算法則

化簡向量代數式就像是計算多項式一樣去“合并同類項”2）原式

對于向量、，如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知，與共線。定理

向量與非零向量共線的充要條件是有且只

有一個實數，使得

已知向量與共線。②當與反方向時，有那么①當與同方向時，有設向量的長度是向量的長度的倍，即三）向量共線的充要條件（也叫向量共線定理）充分性:必要性：提示：（1）要證明向量、共線，只須證明存在實數使得即可（2）如果，則實數仍然存在，但不唯一，它可以是任意實數（3）應用此定理，可以證明三點共線、兩直線平行的問題注意：向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況。典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結題型二有關向量共線問題

例2

已知兩個非零向量和不共線，且，。求證：Ａ、Ｂ、Ｄ三點共線分析：要證Ａ、Ｂ、Ｄ三點共線，只須證與共線，也就是需要求證所以，向量和共線例2

已知兩個非零向量和不共線,且，。求證：

A、B、D三點共線證明又和有共同的起點A

A、B、D三點共線另外，本題也可以先計算然后與相比較例３已知非零向量和不共線，要使和共線。試確定實數的值。分析：若與共線，則一定存在，使得所以只能有解：與共線由于與不共線即存在實數使小結：以上兩個例題分別從正反兩個方面運用了向量共線的充要條件：與共線存在使知識結構圖實數與向量的積

定義：1)大??；2)方向運算律（3條）向量共線充要條件1．掌握好實數與向量的積這一運算的關鍵在于明確這一運算的結果仍然是向量，要按大小和方向兩個要素去理解及應用。

2．