上篇-1 復(fù)變函數(shù)

電子工程數(shù)學(xué)方法任課教師：劉賢峰1學(xué)習(xí)目的數(shù)學(xué)物理方法：將數(shù)學(xué)物理有機結(jié)合的一門學(xué)科，主要討論如何構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，并研究其解決方法。唯象理論理論構(gòu)架實驗實驗物理理論物理數(shù)學(xué)（知其然不知其所以然）2數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根3教材：數(shù)學(xué)物理方法（第四版）高等教育出版社總學(xué)時：48教學(xué)安排4復(fù)變函數(shù)1復(fù)變函數(shù)2復(fù)變函數(shù)的積分3解析函數(shù)的冪級數(shù)4留數(shù)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方程1典型方程與定解問題2波動方程的達(dá)朗貝爾解3格林函數(shù)法4分離變量法5郭敦仁，數(shù)學(xué)物理方法，高等教育出版社姚端正、梁家寶，數(shù)學(xué)物理方法，武漢大學(xué)出版社，1997年姚端正，數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，2001年胡嗣柱等編著，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，北京大學(xué)出版社，2002年7月胡嗣柱、徐建軍，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社，1997年參考書目6考核方式：課堂測驗4次占40%課程設(shè)計占10%平時作業(yè)占10%期末考試閉卷占40%聯(lián)系方式：xianfengliu@其它7復(fù)變函數(shù)論上篇8第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算1復(fù)球面與區(qū)域2復(fù)變函數(shù)3解析函數(shù)4多值函數(shù)59§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算一、復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)：對于任意兩個實數(shù)x、y，稱z=x+iy為復(fù)數(shù)。共軛復(fù)數(shù)：實部相同，虛部相反說明：兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部和虛部分別相等；復(fù)數(shù)z等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實部和虛部同時等于0；與實數(shù)不同，一般說來，任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。10二、復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面：復(fù)數(shù)z=x+iy

與有序?qū)崝?shù)對(x,y)一一對應(yīng)。將實軸、虛軸按直角坐標(biāo)系構(gòu)成平面（復(fù)平面），復(fù)數(shù)z=x+iy

與復(fù)平面上點z(x,y)一一對應(yīng)。實軸虛軸11復(fù)數(shù)的模與輻角模：矢量的長度（|z|）輻角：矢量與實軸正向之間的夾角（Argz）y一個復(fù)數(shù)的輻角可以取無窮多個值，并且彼此相差2

的整數(shù)倍，通常把滿足條件的一個特定值稱為Argz

的主值（z的主輻角，argz），滿足關(guān)系：12(x0,-y0)xyO(x0,y0)zz*

-說明：1.復(fù)數(shù)零和無窮遠(yuǎn)點的輻角無意義；2.共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的位置關(guān)于實軸對稱。13說明：1.在三角和指數(shù)表示下，兩個復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)模相等，幅角相差2

的整數(shù)倍；2.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化，以適應(yīng)不同問題的需要。三、復(fù)數(shù)的三種表示方法代數(shù)式：三角式：指數(shù)式：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：利用歐拉公式：14四、復(fù)數(shù)的運算加、減法15乘法oxyz1z2z2幾何意義：將復(fù)數(shù)z1按逆時針轉(zhuǎn)動Argz2，并伸長|z2|倍16除法乘方17開方當(dāng)k=0,1,2…n-1時，得到n個相異的根：18說明：1.2.

n個值就是以原點為中心，

1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。19解：20一、復(fù)球面定義：作一個球面，使得球面上的點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。S——南極N——北極球面上的點，除去北極N外，與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。因此可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù)?！?.2復(fù)球面與區(qū)域

z21無窮遠(yuǎn)點：

當(dāng)z離原點很遠(yuǎn)，P無限接近N，N可以看成是與復(fù)平面上一個模為無窮大的假想點對應(yīng)，這個假想點稱為無窮遠(yuǎn)點。說明：不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面（復(fù)平面）；包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面；對于無窮遠(yuǎn)點，其實部、虛部、輻角等概念均無意義，它的模規(guī)定為正無窮大；運算，，00，0無意義；a

時，a=，a=0，a=；a0時，a=a=。22二、區(qū)域及相關(guān)概念鄰域：以z0為圓心，以任意小正實數(shù)ε為半徑作一圓，則圓內(nèi)所有點的集合稱為z0的鄰域。內(nèi)點：z0及其鄰域均屬于點集E，z0叫作E的內(nèi)點外點：z0及其鄰域均不屬于點集E，z0叫作E的外點。邊界點：若z0及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點，也有不屬于E的點，z0為邊界點，邊界點的全體稱為邊界線。鄰域邊界點

外點

內(nèi)點23單連通域復(fù)連通域區(qū)域(B)：滿足下列兩個條件的點集全部由內(nèi)點組成；具有連通性，即點集中任何兩點都可以用一條折線連接，且折線上的點屬于該點集。閉區(qū)域：單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域。復(fù)連通區(qū)域：非單連通區(qū)域，即有洞區(qū)域。區(qū)域24例2：指明下列不等式所確定的區(qū)域，是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的。解：無界的單連通域25角形域，無界的單連通域是二條幅角分別為

/3的線

是以原點為中心，半徑為1的圓的外部，無界的多連通域26表示到1,–1的距離之和為定值4的點的軌跡，是橢圓有界的單連通域27一、定義：若在復(fù)數(shù)平面上存在一個點集E,對于E的每一點z，按照一定的規(guī)律，有一個或多個復(fù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為z的復(fù)變函數(shù)。一個復(fù)變函數(shù)只不過是兩個二元實變函數(shù)的有序組合。因此復(fù)變函數(shù)的許多性質(zhì)都是實變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的直接推廣?！?.3復(fù)變函數(shù)zwE28例3：復(fù)變函數(shù)29三角函數(shù)f(z)=sinz，cosz實周期2

；模值：與實函數(shù)相同：常用復(fù)函數(shù)與實函數(shù)比較30具純虛數(shù)周期2i，而對應(yīng)的實函數(shù)為非周期函數(shù)。

lnz為無窮多值的多值函數(shù)，負(fù)實數(shù)的對數(shù)仍有意義

f(z)=ez、shz、chz31二、極限設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<

內(nèi)。如果有一確定的數(shù)A存在，對于任意給定的

>0，相應(yīng)地必有一正數(shù)

()

(0<

)

，使得當(dāng)0<|z-z0|<

時有|f(z)-A|<

那么稱A為f(z)當(dāng)z

趨向z0時的極限，記作說明：注意：定義中z

z0

的方式是任意的。這一點不同于實函數(shù)；若f(z)當(dāng)z

z0

時極限存在，則極限唯一。32定理1：設(shè)的充要條件是：定理2：33證明：例4：證明函數(shù)當(dāng)z0時的極限不存在。讓z沿直線趨于0，有：34例5：證明函數(shù)在z=0處的極限不存在。證明：o可見：復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同，但在實質(zhì)上有很大差異，要求條件苛刻的多。

極限不存在35三、連續(xù)性設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義，若，則稱f在點z0連續(xù)，若f在區(qū)域B內(nèi)處處連續(xù)，則稱f在B內(nèi)連續(xù)。定理3：函數(shù)在z0=x0+iy0處連續(xù)，則：定理4：在某點連續(xù)的兩函數(shù)的和、差、積、商（分母不能為0）在該點仍連續(xù)；在某點連續(xù)的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在該點仍連續(xù)。36四、導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)是在區(qū)域B上定義的單值函數(shù)，即對于B上的每一個z值，有且只有一個w值與之相對應(yīng)。若在B上的某點z，極限存在，并且與

z

→0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)在z點可導(dǎo)，此（有限的）極限叫做f(z)在z點的導(dǎo)數(shù)。如果f(z)在區(qū)域B內(nèi)每一點都可導(dǎo),則稱f(z)在B內(nèi)可導(dǎo)。37說明：復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，雖然形式上相同，實質(zhì)上卻有很大的區(qū)別，這是因為實變函數(shù)

x只沿實軸逼近零，而復(fù)變函數(shù)

z卻可以沿復(fù)平面上的任一曲線逼近零，因此復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求比實變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格得多。xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y?38實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則在復(fù)變函數(shù)中完全適用。39解：40例7：問f(z)=x+2yi

是否可導(dǎo)?解：沿x軸趨于z，沿y軸趨于z，所以，f(z)=x+2yi的導(dǎo)數(shù)不存在。連續(xù)不一定可導(dǎo)41柯西-黎曼條件（C-R）

z沿平行于實軸的方向趨于零：

y=0，z=x0

z沿平行于虛軸的方向趨于零：

x=0，z=y042兩式相等，可得柯西—黎曼(C-R)條件：柯西—黎曼條件(C-R條件)是函數(shù)f(z)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。43滿足C-R條件極限值因k而異，極限不存在，故原函數(shù)在z0=0

處不可導(dǎo)。例8：討論函數(shù)在z0=0

處的可導(dǎo)性。解：44證明：因為u、v在z處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以u、v

的全微分存在對于任意的

z=x+iy，有：復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z點可導(dǎo)的充要條件是：u、v在z處偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)u、v在z處滿足C-R條件

其中各個

值隨

z→0而趨于零45代入C-R條件：

極限是與的方式無關(guān)的有限值。證畢！46例9：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？解：設(shè)z=x+iy

則：w=x-iy，u=x，v=-y47(2)f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny48設(shè)z=x+iy

則有：w=x2+y2

即：u=x2+y2,v=0

49練習(xí)：設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)，問常數(shù)a，b，c，d取何值時，f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)。a=2，b=-1，c=-1，d=250推導(dǎo)思路：一、從極坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)，分別考慮

z沿徑向和沿橫向趨于零。二、從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)。51一、定義：如果函數(shù)f(z)

在z0

及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0

點解析。如果f(z)在區(qū)域B內(nèi)每一點解析，則稱f(z)

是B上的解析函數(shù)。函數(shù)f(z)在某點z0

解析，是指f(z)在z0

點及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)。如果f(z)在z0

點不解析，那么稱z0

點為f(z)的奇點。f(z)

在B內(nèi)解析f(z)

在B內(nèi)可導(dǎo)f(z)在z0點連續(xù)f(z)在z0點解析f(z)在z0點可導(dǎo)§1.4解析函數(shù)52解：5354二、性質(zhì)在區(qū)域B內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的和、差、積、商（除去分母為零的點）在B內(nèi)解析。設(shè)函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域B內(nèi)解析，函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域D內(nèi)解析。如果對B內(nèi)的每一個點z，函數(shù)g(z)的對應(yīng)值h都屬于D，那么復(fù)合函數(shù)w=f(g(z))在B內(nèi)解析。（1）所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的（2）任何一個有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，使分母為零的點是它的奇點。55若f(z)=

u+iv

在區(qū)域B上解析，則u(x,y)=常數(shù)與v(x,y)=常數(shù)的曲線正交；證明：

u(x,y)=常數(shù)與v(x,y)=常數(shù)曲線正交！思路：▽u和▽v分別是u(x,y)=常數(shù)和v(x,y)=常數(shù)的法向矢量=056f(z)=z2=x2-y2+2xyi

x2-y2=C1,2xy=C257f(z)在區(qū)域

B

解析，u(x,y)和v(x,y)為共軛調(diào)和函數(shù)。共軛調(diào)和函數(shù)——滿足C-R條件，而且滿足拉普拉斯方程（調(diào)和）的一對函數(shù)。58證明：后面將證明，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù)。59C-R條件全微分？由該性質(zhì)可見：如果在區(qū)域內(nèi)任選兩個調(diào)和函數(shù)u和v，則函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內(nèi)不一定是解析函數(shù)。只有當(dāng)u和v還滿足相應(yīng)的C-R條件，對應(yīng)函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內(nèi)才解析（而v+iu卻不一定解析）；由此得到構(gòu)成一個解析函數(shù)的方法，即由一個調(diào)和函數(shù)，利用C-R條件可求出另一個與之共軛的調(diào)和函數(shù)，再由這一對共軛調(diào)和函數(shù)構(gòu)建出一個解析函數(shù)。例如：已知u，求f(z)60三、構(gòu)造解析函數(shù)的方法曲線積分法：全微分的積分與路徑無關(guān)，故可選取特殊積分路徑，計算待求函數(shù)湊全微分顯式法：將微分式右端湊成全微分顯式不定積分法61例11：已知解析函數(shù)實部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：方法一：曲線積分法(全微分的積分值與路徑無關(guān))62方法二：湊全微分顯式法方法三：不定積分法故對x積分有：v對y求偏導(dǎo)有：63例12：已知解析函數(shù)f(z)的虛部求實部u(x,y)和這個解析函數(shù)。解：6465解析函數(shù)應(yīng)用—解決平面向量場的有關(guān)問題定義：向量場中的向量都平行于某一固定的平面S以場內(nèi)沒有帶電物體的平面靜電場為例：勢函數(shù)

(x,y)是二維調(diào)和函數(shù)66因此可以將

(x,y)看成是在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)w=f(z)=u+iv的實部（或虛部）。利用解析函數(shù)的虛部與實部的關(guān)系，就可以求出解析函數(shù)w。這樣得到的解析函數(shù)w稱為靜電場的復(fù)電勢。假設(shè)：電勢

(x,y)=v對應(yīng)于w=f(z)=u+iv的虛部復(fù)勢與電場關(guān)系67解：例13：一條具有電荷線密度為e的均勻帶電的無限長直導(dǎo)線L所產(chǎn)生的平面向量場為，求復(fù)勢。所以復(fù)勢為：68一、定義：對于自變數(shù)z的每一個值，有不止一個函數(shù)值w與之相對應(yīng)，w

便稱為z的多值函數(shù)。二、根式函數(shù)多值性§1.6多值函數(shù)69自變數(shù)與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系?從w1(z)

出發(fā)：繞紅線含（z0=0）繞綠線（不含z0=0）多值函數(shù)的兩個單值分支70支點：對于多值函數(shù)w=f(z)，如繞某點z0一周，函數(shù)值w

不復(fù)原，而當(dāng)z

不繞z0

點轉(zhuǎn)一圈回到原處時，函數(shù)值還原。則稱z0

點為f(z)的支點。z繞支點(z0)n圈，函數(shù)值復(fù)原，則該支點(z0)稱為n-1階支點。例：z=0是的一階支點。z=

也是的一階支點。因此，為了完全確定多值