第三節(jié)　等比數(shù)列

第三節(jié)等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式an＝

.推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么___叫做a與b的等比中項(xiàng)．此時(shí)，G2＝ab比2a1qn－1G1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間項(xiàng)的平方．(3)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.(4)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類(lèi)討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝________.解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：634．(蘇教版選擇性必修第一冊(cè)P150·例1改編)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－2，前6項(xiàng)和S6＝21，則a6＝________.5．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P31·T3改編)若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，則該數(shù)列的公比為_(kāi)_______．層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(

)A．16

B．8

C．4

D．22．(2021·全國(guó)甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝(

)A．7 B．8C．9 D．104．(2021·亳州模擬)《九章算術(shù)》中有述：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．”請(qǐng)問(wèn)當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過(guò)的天數(shù)是

(

)(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，lg3＝0.48)A．2.9天

B．3.9天

C．4.9天

D．5.9天[一“點(diǎn)”就過(guò)](1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解．層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)等比數(shù)列的判定與證明

[典例]已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；[方法技巧]等比數(shù)列的判定方法[針對(duì)訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}，{cn}滿足cn＝2an＋1＋an.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由．[方法技巧](1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(2022·衡水中學(xué)高三模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40＝

(

)A．5

B．10

C．15

D．－20解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比數(shù)列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1,2,4，S40－7成等比數(shù)列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故選C.答案：C

3．(2022·長(zhǎng)沙一模)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1>1，其前n項(xiàng)積為T(mén)n，且T15＝T8，則Tn取得最大值時(shí)，n的值是

(

)A．10 B．10或11C．11或12 D．12或13解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)積為T(mén)n，且T15＝T8，所以a9·a10·a11·a12·a13·a14·a15＝1，所以a＝1，所以a12＝1，又a1>1，所以當(dāng)n≤11時(shí)，an>1，當(dāng)n≥13時(shí)，0<an<1，所以T11，T12為前n項(xiàng)積的最大值．答案：C

互嵌式數(shù)列組問(wèn)題在解決互嵌式數(shù)列組的問(wèn)題時(shí)，要注意到兩個(gè)數(shù)列之間的相互滲透和相互影響，既要能眼觀全局從整體入手，又要能抽絲剝繭進(jìn)行單獨(dú)分析，并充分根據(jù)具體問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有針對(duì)性地進(jìn)行解決．——————————————————————————————————[典例]已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，證明：數(shù)列{an＋bn}和{an－bn}均為等比數(shù)列．破解此類(lèi)題的關(guān)鍵：一是用定義，即根據(jù)所給等式的特征，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差(比)的關(guān)系，利用等差(比)數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列；二是用公式，即會(huì)利用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到各個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)所滿足的方程(組)，解方程(組)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．[針對(duì)訓(xùn)練](2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽視等比數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào))已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a5＝4，a9＝16，則a7＝(

)A．8 B．±8C．－8 D．15．(求等比數(shù)列的和漏項(xiàng))一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程之和是(結(jié)果保留到個(gè)位) (

)A．300米

B．299米

C．199米

D．166米二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題6．(借助數(shù)學(xué)文化)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“有一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這名女子每天分別織布多少？”某數(shù)學(xué)興趣小組依托某制造廠用織布機(jī)完全模擬上述情境，則從第一天開(kāi)始，要使織布機(jī)織布的總尺數(shù)為165尺，所需的天數(shù)為

(

)A．7

B．8

C．9

D．107．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒中殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為3個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和110個(gè)這樣的病毒，則細(xì)菌將病毒全部殺死，至少需要

(

)A．4秒

B．5秒

C．6秒

D．7秒8．(創(chuàng)新命題形式)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＝1，且2S2＋S4＝3S3.已知m，n∈N*，若存在正整數(shù)i，j(1＜i＜j