第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.2.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.4.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題.1．平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念續(xù)表2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示續(xù)表3.平面向量數(shù)量積的運算律交換律a·b＝_____結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·cb·a(1)平面向量數(shù)量積運算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0?a＝b＝0.(2)有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論①兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)；②兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因為夾角為π時不成立)．2．(人教A版必修第二冊P34·例10改編)已知△ABC三頂點為A(－1，－4)，B(5,2)，C(3,4)，則△ABC是

(

)A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰三角形3．(人教A版必修第二冊P21·例12改編)已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，則(a＋b)·(2a－b)＝________.答案：－15．(2021·北京高考)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，則(a＋b)·c＝________；a·b＝________.答案：0

3層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(一)求簡單的平面向量的數(shù)量積

[題點全訓(xùn)]2．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝

(

)A．4 B．3C．2 D．0解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.答案：B

3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.[一“點”就過]計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量數(shù)量積的幾何意義．基礎(chǔ)點(二)向量數(shù)量積的簡單應(yīng)用

[題點全訓(xùn)]3．(2021·全國甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝____.4．(2021·全國甲卷)若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝________.[方法技巧]解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算．但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補．

不能恰當(dāng)?shù)卮_定變量求解范圍、最值問題——————————————————————————————————[診治策略]解平面向量中有關(guān)最值問題的思路形化利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷數(shù)化利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決[方法技巧]用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟[針對訓(xùn)練]1．一物體在力F的作用下，由點A(20,15)移動到點B(7,0)．已知F＝(4，－5)，則F對該物體做的功為________．2.已知平行四邊形ABCD，證明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．重難點(三)平面向量數(shù)量積與三角相結(jié)合

[典例]

(2021·新高考Ⅰ卷改編)已知O為坐標原點，點P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，則有以下結(jié)論：[方法技巧]平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解．

層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(混淆兩向量平行與垂直的坐標表示)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝

(

)(2)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍是________．6．(結(jié)合新定義問題)對于非零向量m，n，定義運算“×”：m×n＝|m||n|sin

θ，其中θ為m，n的夾角．設(shè)a，b，c為非零向量，則下列結(jié)論中不成立的是(

)A．a(chǎn)×b＝b×aB．若a×b＝0，則a∥bC．(a＋b)×c＝a×c＋b×cD．a(chǎn)×b＝(－a)×b解析：因為a×b＝|a||b|sinθ＝|b||a|sinθ＝b×a，故A正確；因為a×b＝|a||b|sinθ＝0，所以sinθ＝0，即θ＝0或θ＝π，所以a∥b，故B正確；因為(a＋b)×c＝|a＋b||c|sinθ(θ為a＋b與c的夾角)，而a×c＋b×c＝|a||c|sinφ＋|b||c|sinβ(φ為a，c的夾角，β為b，c的夾角)，所以(