專題13.5 角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題13.5角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】 2【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】 3【題型4角平分線的判定】 4【題型5尺規(guī)作角平分線】 6【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 7【題型7利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 9【題型8角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長為（

）

A．13 B．12 C．11 D．10【變式1-1】（2023春·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，作EF⊥AB于點(diǎn)F，并延長FE交CD于點(diǎn)G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長為．

【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長是

【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD=5，則CE的值為【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】【例2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考期末）如圖，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則

A．6 B．9 C．18 D．36【變式2-1】（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（

A．9 B．13 C．15 D．30【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S

【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為．【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】【例3】（2023春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P．(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；(3)探究AB、【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF⊥BC于F，

(1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定】角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型4角平分線的判定】【例4】（2023春·廣東江門·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OA<OC），∠AOB=∠COD=α，直線AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．

(1)求證：AC=BD；(2)用α表示∠AMB的大小；(3)求證：OM平分∠AMD．【變式4-1】（2023春·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：∠BFA=∠AFE．【變式4-3】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，∠ECF=∠A=60°．

(1)求證：EF=BE+DF．(2)求證：點(diǎn)C在∠BAD的平分線上．【知識(shí)點(diǎn)3角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型5尺規(guī)作角平分線】【例5】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BD是高，BE是角平分線，∠EBD=10°，∠C=60°．

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：作△BED的角平分線EF；(2)在滿足（1）的條件下，求證：EF∥AB．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，△ABC，∠C=90°，請(qǐng)?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到AB的距離等于CD．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）作圖（請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

已知：Rt△AOB，∠B=90°求作：射線OC，使射線OC與AB交于點(diǎn)C，且∠AOC=∠BOC．（2）說明請(qǐng)根據(jù)你的作圖，說明∠AOC=∠BOC的道理．（3）應(yīng)用若在Rt△AOB中，OA=12，BC=4，則△AOC的面積為________【變式5-3】（2023春·北京·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB>BC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD；(1)尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形；(2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【例6】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且

(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．（1）如圖1，求證：DF＝CF；（2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE；（3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長．【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)；(2)如圖2，求證：EG=FG；(3)如圖3，過點(diǎn)C作CD⊥EC交BF延長線于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)N在BA延長線上，連接NG交AC于點(diǎn)M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長．【題型7利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結(jié)論正確的有（

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF③∠EAD=12∠C-∠ABC；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，下面說法中一定正確的是（

）△ACD的面積等于△ABD的面積；

②∠CEG=∠CGE；③∠ACF=2∠ABE；

④AH=BH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結(jié)論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④S

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【題型8角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點(diǎn)O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個(gè)快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為

【變式8-2