專題13.5 角平分線的判定與性質【八大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題13.5角平分線的判定與性質【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用角平分線的性質求長度】 1【題型2利用角平分線的性質求面積】 2【題型3利用角平分線的性質證明】 3【題型4角平分線的判定】 4【題型5尺規(guī)作角平分線】 6【題型6角平分線的性質與判定綜合運用】 7【題型7利用角平分線的性質判斷多結論問題】 9【題型8角平分線的性質的實際應用】 10【知識點1角平分線的性質】角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.【題型1利用角平分線的性質求長度】【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長為（

）

A．13 B．12 C．11 D．10【變式1-1】（2023春·貴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點E作EH⊥AC于點H，作EF⊥AB于點F，并延長FE交CD于點G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長為．

【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長是

【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中?？奸_學考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD=5，則CE的值為【題型2利用角平分線的性質求面積】【例2】（2023春·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則

A．6 B．9 C．18 D．36【變式2-1】（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（

A．9 B．13 C．15 D．30【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S

【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為．【題型3利用角平分線的性質證明】【例3】（2023春·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點P．(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；(3)探究AB、【變式3-1】（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF⊥BC于F，

(1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關系，并證明你的結論．【知識點2角平分線的判定】角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型4角平分線的判定】【例4】（2023春·廣東江門·八年級臺山市新寧中學校考期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OA<OC），∠AOB=∠COD=α，直線AC，BD交于點M，連接OM．

(1)求證：AC=BD；(2)用α表示∠AMB的大??；(3)求證：OM平分∠AMD．【變式4-1】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：∠BFA=∠AFE．【變式4-3】（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，∠ECF=∠A=60°．

(1)求證：EF=BE+DF．(2)求證：點C在∠BAD的平分線上．【知識點3角平分線的作法】①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型5尺規(guī)作角平分線】【例5】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BD是高，BE是角平分線，∠EBD=10°，∠C=60°．

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：作△BED的角平分線EF；(2)在滿足（1）的條件下，求證：EF∥AB．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級西北大學附中校考期末）如圖，△ABC，∠C=90°，請在AC上找一點D，使點D到AB的距離等于CD．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）（1）作圖（請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

已知：Rt△AOB，∠B=90°求作：射線OC，使射線OC與AB交于點C，且∠AOC=∠BOC．（2）說明請根據(jù)你的作圖，說明∠AOC=∠BOC的道理．（3）應用若在Rt△AOB中，OA=12，BC=4，則△AOC的面積為________【變式5-3】（2023春·北京·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，AB>BC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD；(1)尺規(guī)作圖補全圖形；(2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關系，并證明．【題型6角平分線的性質與判定綜合運用】【例6】（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H，且

(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，點D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．（1）如圖1，求證：DF＝CF；（2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE；（3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長．【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個內角的平分線所在的直線與另一個內角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關系___________；②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點E在BD的延長線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點G．

(1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)；(2)如圖2，求證：EG=FG；(3)如圖3，過點C作CD⊥EC交BF延長線于點D，連接AD，點N在BA延長線上，連接NG交AC于點M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長．【題型7利用角平分線的性質判斷多結論問題】【例7】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結論正確的有（

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF③∠EAD=12∠C-∠ABC；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點O，分別過點O作OM⊥AB于點M，作ON⊥AC于點N．下列結論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點G，交AD于點H，下面說法中一定正確的是（

）△ACD的面積等于△ABD的面積；

②∠CEG=∠CGE；③∠ACF=2∠ABE；

④AH=BH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④S

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【題型8角平分線的性質的實際應用】【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級?？计谀┤鐖D，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個人從B處出發(fā)沿著BC行走了800m到達D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時這個人到AB的最短距離為

【變式8-2