2023-2024學(xué)年浙江省寧波市五校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分分，考試時間120分鐘。2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.a，b(,b3，則向量a與b的夾角為()A．．．D．6633y22.雙曲線x21的漸近線方程是()331A．yx．y3x．y3xD．yx333.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)2)距離為3，且與點(diǎn)B(3,8)距離為1的直線共有()A1條4.圓xy2條3條D4條221和x2y28x6y90的位置關(guān)系是()A．外離．相交．內(nèi)切D．外切D205.若(7,8)，B4)，C(2,4)的面積為()A2814566.l的方向向量為ml，1，，則點(diǎn)P(12，到l的距離為()A．2．3C．6D．22x2y27.已知點(diǎn)P是橢圓1上一動點(diǎn)，Q(x2y1M4)||||2的最大值為(A4)56D7高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第1頁(共4頁){#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}8.ABCD中，222E沿直線翻折成△1翻折過程中，直線C與平面ABCD所成角的正弦值最大為()651A．C．B．D．645245二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.圓M:(x2(y21N:(x2(y21，則下列直線中為兩圓公切線的是()A．x2y0．4x3y0．x2y50D．x2y50x2y210.若方程1所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是()3tt1AC為橢圓，則1t3t2t2，則曲線C表示圓C為雙曲線，則t3或t1DC為雙曲線，則焦距為定值1PABCDPAABCD，AB//CD，，CD2，22BC4，M為的中點(diǎn)，則(A．BMPC)．異面直線與所成角的余弦值為．直線與平面所成角的正弦值為DM到直線的距離為1077x22y2212.ab上abx20a4y0232點(diǎn)P(x，y)處的曲率半徑公式為Ra2b2()，則下列說法正確的是()00b4A．若曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小x軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為512x22y22b2．橢圓1上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為abax22y2x2y2D1上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為811ab24高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第2頁(共4頁){#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.a(2,2)ba在b上的投影向量為14.已知直線l，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的兩倍，則直線l的方程為15.如圖，在三棱錐ABCDCD3，2，．M、N分別是、的中點(diǎn)，則ANCM．x2a2y2b216.已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，12過1x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C|||2|，則雙曲線的離心率為．非選擇題部分四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本題滿分10)設(shè)常數(shù)aR，已知直線l:(a2)xy10，l:3xay(4a0．12（1lla的值；12（2l//ll與l之間的距離．121218.(本題滿分12)在三棱錐體PSEFFM3ME，2NSH為的中點(diǎn)，設(shè)i,j,k．（1SH，試用向量i,j,k表示向量a；（2ESF,ESPPSF，SESF4，SP6SH的值．23高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第3頁(共4頁){#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}19.(本題滿分12)已知圓C:x2y8y0，直線l:y2a0.2（1a為何值時，直線lC相切；（2）當(dāng)直線lC相交于A、B兩點(diǎn)，且|22時，求直線l的方程．x220.(本題滿分12)若雙曲線E:ya的離心率為2y1與雙曲線E的右支交2a2于A、B兩點(diǎn)．（1k的取值范圍；（2||63C是雙曲線上一點(diǎn)，且mOB)k、m的值．21.(本題滿分12)ABC﹣ABCAB＝2＝3ABCABC1111111的側(cè)面積為10+2．（）求證：平面A⊥平面A；111（）求直線與平面A所成角的正弦值．11x2y222.(本題滿分12)已知F,F分別是橢圓E：ab0)的左、右焦點(diǎn)，且焦距為2，12a2b2平行于x軸，且|FM||FN|4.11（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè),B為橢圓E的左右頂點(diǎn)，P為直線x4上的一動點(diǎn)（點(diǎn)P不在x軸上），連AP交橢圓于C點(diǎn)，連并延長交橢圓于D點(diǎn)，試問是否存在，使得SS成立，若存在，的值；若不存在，說明理由.高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第4頁(共4頁){#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}2023學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案選擇題部分8540分.是符合題目要求的.2.B3.D4.D5.Ax2y2提示：由橢圓1，得兩個焦點(diǎn)分別F(0)，F(xiàn)0)．12(x2y1，得圓心坐標(biāo)為(0)，半徑為1，又點(diǎn)M4)，2由橢圓的定義可知|||2a10，||?||110||1||，12122又|22(425，則|||||||11|||)22|21156，||||的最大值為6．提示：分別取，的中點(diǎn)O，F(xiàn)A的軌跡是以O(shè)A，為x，y軸，過O與平面AOE垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(21，ABCD的其中一個法向量為n(00AO1A(cos，110，sin)，[0，)(cos2，1，sin)AC與平面ABCD11|n|角為sin||121，646|n|4131535t3454102令tcos[，]，sin(?，2224t442所以直線C與平面ABCD所成角的正弦值最大為．4{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}4520分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.4提示：公切線方程為y0,yx,x2y50310.ABC提示：過A作AECD，垂足為EDE2A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，，，C(4，2，，D(4，2，，P(0，0，，M(2，1，，(2，3，PC(42，，BC(40，(02，AD(4，2，，因?yàn)?4(21(0，所以BMPCA正確；4225，，||||所以直線與所成角的余弦值為B錯誤；設(shè)平面的法向量為m(x，y，z)，0mBC04x則y1m(0，1，，2y2z0mBP0m7設(shè)直線與平面所成角為sin|，m|，|||m|77所以直線與平面所成角的正弦值為C正確；7M到直線的距離為dd||2|||2|，M到直線的距離為10D正確．{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}0a20b212.ABD提示：由題意可知率半徑R最小，取得最大值時，曲率半徑R最大，取得最小值時，曲44020202點(diǎn)P(x，y)在橢圓上，1，02b2)，00a2b2a20a20221111(2)0，24b4b2a2a2b110當(dāng)0當(dāng)02a0，a2b202021b220的最大值為的最小值為，a4b402021a22a2，a4b4x20y0b23a2b2由曲率半徑公式為Ra2b2()R的最大值為C2a44ba錯誤；若曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，故A正確；b2若某焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為cc，a5151a2c20，1ee5120，e2e10，解得e或e22該橢圓離心率為B正確；2x22y22若橢圓ab上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為，最小值為1，aba2b28，1，解得a4，b2，bax2y2橢圓方程為1D正確．4三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.88413.(,,)999414.yx或x2y110．311115.7提示：ANCM(ABAC)(ADAC)2222141121212127292ABADACADABACAC7416.523{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}非選擇題部分670過程或演算步驟．17.1）根據(jù)題意，直線l:(a2)xy10，l:3xay(4a0，123若llaa0，解可得a；………………5分1222）根據(jù)題意，若l//l，則有a(a2)3，解可得a1或3，12當(dāng)a1時，直線l:3xy10，l:3xy10，兩直線重合，不符合題意，12當(dāng)a3時，直線l:xy10，l:3x3y150xy50，兩直線平行，12|15|11l與l之間的距離d22………………10分1218.1FM3ME，2NSH為的中點(diǎn)，1143414SMSESESE(SFSE)SESF，4111311SNSPSMSP(SESF)ijk，3344412711111SH(SPSF)ik，aijk………………6分22224122）ESF,ESPPSF，SESF4，SP6，2311jk440，ij6412，ik6412，2122k111111124181SH(ik)(ijk)i2ijikjk2224121282411111361212016．………………12分2824824319.1）設(shè)圓心到直線的距離為d，12圓C:x2y28y0的圓心C4)r64482l:y2a0與圓相切，|42a|3d2，解得a．………………5分a214|42a|2）圓心到直線的距離d，2a1||lC相交于A、B|22時，dr2(2)2…………7分2{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}|42a|d2，解得a7或a1．2a1所求直線為7xy0或xy20………………12分c20.1）由題意可知，b2，c2a2b．2aab1，雙曲線方程為E:x2y1，………………2分2y1與雙曲線E聯(lián)立可得：k22)x20．1k2002k………………4分01k2k2120k212(x，y)，B(x，y)．11222k21k則xx，xx．121k2122k(k22k)2||63，k2)[(xx)24xx]263……6分1212255428k455k2250k2或k275又1k2k2k．2xx45yyk(xx)28．………………9分1221212k1設(shè)C(x，y)mOB)，0014(x，y)(4,8m)，80m264m21m，0051k,m．………………12分2421.1）證明：依題意，+3+??)×2=10+213=13，222＝，所以AB⊥BC，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知⊥平面ABC，1而AB，?ABC，所以⊥AB⊥BC，11由此以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，→則A20030A的法向量為?=(??，，11{#{QQABaYSUggioAAJAAAgCUwGQCAOQkAECAAoOgFAEIAABQANABAA=}#}→→→??=2?+2?=0則＝1＝0z＝﹣1，故可得?=(10，?1)……2分1→??=3?=0→A的一個法向量是?=(010)…………4分11→→→→由于???=0