專題14.1 冪的乘法和乘方與積的乘方之六大考點(diǎn)（解析版）

專題14.1冪的乘法和乘方與積的乘方之六大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一同底數(shù)冪相乘】 1【考點(diǎn)二同底數(shù)乘法的逆用】 2【考點(diǎn)三冪的乘方運(yùn)算】 3【考點(diǎn)四冪的乘方的逆用】 4【考點(diǎn)五積的乘方運(yùn)算】 5【考點(diǎn)六積的乘方的逆用】 6【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 8【典型例題】【考點(diǎn)一同底數(shù)冪相乘】例題：（2023春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．掌握同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，正確使用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加是關(guān)鍵．2．（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪相乘的計(jì)算，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同時(shí)涉及到多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，看“”號(hào)的個(gè)數(shù)決定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，奇負(fù)偶正．【考點(diǎn)二同底數(shù)乘法的逆用】例題：（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則．【答案】【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，則．【答案】6【分析】把原式化為，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，熟記運(yùn)算公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)校考期末）已知，，則的值為．【答案】8【分析】根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，熟知是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三冪的乘方運(yùn)算】例題：（2023春·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市百家湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法可進(jìn)行求解．【詳解】解：；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【答案】【分析】（1）利用冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則．【考點(diǎn)四冪的乘方的逆用】例題：（2023春·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則．【答案】3【分析】根據(jù)公式，得，代入計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，，則．【答案】18【分析】利用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方逆運(yùn)算法則解答即可．【詳解】解：；故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則、正確變形是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的乘法的逆用的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的乘法逆用，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五積的乘方運(yùn)算】例題：（2023春·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算冪的乘方和積的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后合并．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及了冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則．【考點(diǎn)六積的乘方的逆用】例題：（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┯?jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則及同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則即可解答．【詳解】解：，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方、冪的乘方，同底數(shù)冪相乘，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西撫州·七年級(jí)南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先把原式變形為，再利用積的乘方的法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)積的乘方的法則的掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，，則代數(shù)式的值是．【答案】1【分析】運(yùn)用乘的乘方逆運(yùn)算法則對(duì)進(jìn)行變形，再將a，b的值代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方逆運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶南岸·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則可以判斷A；根據(jù)冪的乘方法則可以判斷B；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可以判斷C；根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則可以判斷D，從而得到答案．【詳解】解：A、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；B、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、和不是同類項(xiàng)，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤簦?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方，可得，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可得答案．【詳解】解：，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法，利用了冪的乘方，同底數(shù)的冪的乘法．4．（2023春·河南平頂山·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算及冪的乘方的逆運(yùn)算求解即可．【詳解】解：原式故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方逆運(yùn)算和積的乘方的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則．5．（2023春·福建寧德·七年級(jí)福建省寧德第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，為自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】將原式變形為，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，得，，進(jìn)而得到，根據(jù)三個(gè)數(shù)均為自然數(shù)，解得，此時(shí)分類討論和的值，計(jì)算的取值判斷即可．【詳解】原式，式中有乘數(shù)3的倍數(shù)，，不能被3整除，原式中只能有1個(gè)3，原式化為，，，，，是自然數(shù)，，解得，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算∶．【答案】【分析】積的乘方等于積中每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，根據(jù)法則計(jì)算即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟知積的乘方的運(yùn)算法則．7．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，則，．【答案】10200【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，可得答案．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法和冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則：同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．8．（2023春·天津·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，則的值為．【答案】1【分析】根據(jù)非負(fù)式子和為0，它們分別等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵，，且，∴，，解得：，，∴，故答案為：1；【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值與完全平方的非負(fù)性，積的乘方的逆應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)式子和為0，它們分別等于0，．9．（2023春·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖南永州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)?，所以．根?jù)上述規(guī)定，若記，，．則、、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)新定義可知，，，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，可知，即可知道、、的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：如果，那么，因?yàn)?，，，所以，，，則即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．三、解答題11．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先運(yùn)算冪的乘方，然后利用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算解題；（2）先運(yùn)算冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項(xiàng)解題；（3）先運(yùn)算冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項(xiàng)解題；（4）先運(yùn)算冪的乘方，然后利用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算解題；【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)0；(6)．【分析】（1）先運(yùn)算冪的乘方，然后利用同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算解題；（2）先運(yùn)算冪的乘方，然后合并解題即可；（3）先運(yùn)算冪的乘方，同底數(shù)的冪的乘法，然后合并解題即可；（4）先運(yùn)算積的乘方，然后利用同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算解題；（5）先運(yùn)算冪的乘方，然后同底數(shù)的冪的乘法，最后合并解題即可；（6）先運(yùn)算冪的乘方，然后同底數(shù)的冪的乘法，最后合并解題即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)再求值，其中，．【答案】，【分析】首先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘法，再合并同類項(xiàng)，然后將，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)的乘法，合并同類項(xiàng)．正確進(jìn)行冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·湖南郴州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，，求(1)的值；(2)的值．【答案】(1)73(2)432【分析】（1）逆用冪的乘方，通過(guò)，計(jì)算即可；（2）逆用冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，通過(guò)，計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，

∴；（2）∵，，

∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆用以及同底數(shù)冪的乘法的逆用等知識(shí)，能靈活逆用冪的乘方，是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，（2）規(guī)定①求；

②若，求x的值．【答案】（1）；

（2）①

②【分析】（1）先利用積的乘方運(yùn)算，然后合并計(jì)算，并代入數(shù)值計(jì)算解題；（2）利用新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪的運(yùn)算解題即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，原式；（2）①；②∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)的冪的運(yùn)算和積的乘方，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式、法則、定義可