2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合II>,11'力，則()

A.[-2,-1]B.(—1,2]C.[-1,2]D.[-2,-1)

K答案DA

K解析》由題可得A=[-2,2],3=(-1,住)，所以43=(-8,-1],

所以4BcA=[—2,—l].

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)2甘+[2+[3+…+i",〃eN*則|z|的最大值為()

A.IB.V2c.y/5D.2

K答案2B

K解析X因為F=i，[2=-1,『=—j,j4=],,

i4M=i，i4A2=_],j4%+3=_i，i以=1，keN,且i+i2+i3+i4=0，

所以當(dāng)〃=4Z,(keN*)時z=0,則|z|=0,

當(dāng)〃=4Z+1,(ZeN^zT，則|z|=l,

當(dāng)〃=4Z+2,(ZeN)時z=-l+i，則慟=^^7^=夜，

當(dāng)〃=4k+3,(AeN)時z=—l，則|z|=l,

所以|z|的最大值為加.

故選：B.

[71a…、

3.已知aw[0,5tan~2—=cosa,則cosa=()

2

A.墾1B.V2-1C.2-V2D.

2

K答案歹B

K解析11依題意tan2=cosa,

2

.2al-cosa

sin--------

1-cosa

所以——一-------=cosa,

2a1+cosa1+cosa

cos~——

22

cos2a+2cosa—l=O,解得cosa=V2—1，負(fù)根舍去.

故選：B

4.已知二項式(x+a)6,aeN*的展開式中第三項的系數(shù)最大，則a的值為()

A.1B.2C.3D.4

R答案XA

R解析H二項式(x+a)6展開式的通項公式為優(yōu).C〉x6-r,其中acN*，

>1

(其中「21),即《

>1

6!6!

a-------->-------------

r!（6-r）!~（r-l）!（7-r）!rr+l

,----<6Z<----

6!6!7-r6-r

-------->a-------------

r!（6-r）!（r+l）!（5-r）!

34

依題意可知r=3使上式成立，即一4。4—,

43

所以a=l

故選：A.

5.某校高三年級進(jìn)行校際模擬聯(lián)考，某班級考試科目為語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，

生物，已知考試分為三天進(jìn)行，且數(shù)學(xué)與物理不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一科

考試.則不同的考試安排方案共有()

A.720種B.3168種C.1296種D.5040種

R答案》D

K解析D若三天考試科目數(shù)量為2,2,2,則安排方法數(shù)為：

x(A；丫-3xC；Cjx(A；了=576.

若三天考試科目數(shù)量為3,2,1,則安排方法數(shù)為:

C：C；C：xA；x（A；xA,—C4C3C；xA；x（A；xA；）—C：C；xA；x（A；xA；）=3168,

若三天考試科目數(shù)量為4,1,1,則安排方法數(shù)為：

C：xA；x（A：）-C；xA；x（A：）=1296,

所以不同的考試安排方案共有576+3168+1296=5040種.

故選：D

6.我們平時學(xué)習(xí)的“對勾函數(shù)”（形如了=依+無尸，"同號且不為零）的圖像實際上是一

種特殊的雙曲線.根據(jù)雙曲線的相關(guān)定義，“對勾函數(shù)"y=x+的圖像經(jīng)旋轉(zhuǎn)后得到的雙

曲線（焦點位于x軸上）的離心率為（）

A.-^4—25/2B.5/2C.+1D.^4+2V2

K答案UA

K解析U由丁=工+彳7得其漸近線方程為y=x和％=0,

因為y=x的傾斜角為土，了=（）的傾斜角為四，

42

7C7T7T

所以原雙曲線的兩漸近線的夾角為-----二一，

244

2tan—

因為tan—=-----------=1,解得tan—=-1+,

41）兀8

I-tun"一

8

所以原雙曲線的漸近線方程為丁=±（-1+及卜，

則2=-1+技

a

故選：A

7.晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個重要方面.在如圖（1）所

示的體心立方晶胞中，原子A與8（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，

且原子B與8個原子A均相切.已知該晶胞的邊長（圖1中正方體的棱長）為

處士2心,則當(dāng)圖因)中所有原子(8個A原子與1個B原子)的體積之和最小值為

3

()

(1)(2)(3)

64兀B(32+64⑹兀

A.——

33

C.4(2a+1汴D(512a+4)兀

33

K答案》B

K解析X因為該晶胞的邊長為4、%+26

3

所以正方體對角線成為生叵業(yè)lx百=40+2,

3

設(shè)球B的半徑為r，0<廠<20+1，則球A的半徑為-2r=2/+1_r,

所以所有原子的體積之和為

V=gjir3+,兀(2血+1-r)=3兀8(2&+1—r)+/,

令/⑺=8(20+1—。'+/，0<r<2&+1，

貝了⑺=—24(2血+1—)+3,=3(8+2加一2夜r+小2&r+—20—8),

因為0<r<2及+1，所以8+2&-2vL?+〃>()恒成立，

則當(dāng)0<r<2及時，/'(r)<0，當(dāng)2及<r<2夜+1時，/'⑺>0，

故/⑺=8(20+1—+'在0</<272上單調(diào)遞減，在20<r<2&+1上單調(diào)

遞增,

故〃r）=8（2亞+1-J+/在廠=2萬處取得極大值，也時最大值，

64

故/（入、=8+16近,故體積最大值為V」=（8+16⑹X：+'）7t.

故選：B

2b

8.已知實數(shù)。,b,cc（l,e）,且7dna=aln7i,eln/?=—,

e

101nc=&lnlO-當(dāng)卜則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB,a<c<bC.c<b<aD.h<c<a

K答案UD

“wii/JnaIn7i...2b,曰In0lne.

K解析U由7ilna=aln兀得---=----，由elnb=—得----=—―

a7ie/7e

由101nc=五］11］0—立］c得^mi。',

I2'C10e-2

故構(gòu)造函數(shù)〃X）=把土，則/'（"=上誓，則當(dāng)X>e時，/（X）單調(diào)遞減，

XX

當(dāng)0c<e時，/（X）單調(diào)遞增，當(dāng)X=e時，/（X）取最大值L其圖象如圖所示:

分別取犬二無了?』。/?，由于a,8,cw（l,e）,且?.L6<V<不<E，

故￥<7,又e??2.72,2.82）,."2〉7,故e<?r（子〈e）

由于％>6時，/（x）單調(diào)遞減，在0<x<e時，/（力單調(diào)遞增,

結(jié)合圖象得：h<c<a,

故選：D

二、選擇題：本題共5小題，每小題4分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(tyx—m[,<y>0,且/(x)與/'(x)的值域相同；將/(x)圖像

上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變，再向左平移;個單位長度，得到函數(shù)g(x)

N6

的圖像，貝I」()

A.(v=l

B.g(x)為偶函數(shù)

兀5兀

C./(X)的單調(diào)增區(qū)間為一不+2包泊+2也,kwZ

D./(x)與g(x)的圖像在區(qū)間一],無內(nèi)有3個交點

K答案》ACD

R解析』/(x)=sin(1,/,(x)=<ycoslL

由于/(x)與/'(x)的值域相同且o>(),所以口=1,A選項正確.

所以/(x)=sin

將/(x)圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin(2x-'

再向左平移4個單位長度，得到函數(shù)g(x)=sin-]=sin2x.

6|_v6J3

所以g(x)是奇函數(shù)，B選項錯誤.

對于=-,由2kn-^<x-^<2kii+^,

解得2E-2<x<2^7t+—,

66

jr§兀

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為-q+2E,學(xué)+2E,AeZ,C選項正確.

由/(x)=g(x)得sin=sin2x,

兀

畫出/（x）與g（尤）在區(qū)間-Q,兀的圖像如下圖所示,

由圖可知，兩個函數(shù)在區(qū)間，兀上有3個交點，所以D選項正確.

2

10.在四面體P—ABC中，ABJ.BC，%垂直于平面ABC,ABBC=2,且該四面體

外接球表面積的最小值為8兀，則（）

A.以=1

2

B.四面體P-ABC的體積恒為定值-

3

C.若二面角A—PC—3的正弦值為《，則A5=l

2

D.當(dāng)A5=2時，四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑為

3+V2+V5

R答案》BCD

K解析X由于四面體P-A5C外接球表面積的最小值為8兀,

所以外接球半徑火的最小值為夜.

由于？AJ_平面ABC，A8,BCu平面ABC,所以E4J_A8，PA1BC,

而AB1,所以(=PA2+AB?+BC22PA2+2AB?8C=而？+4,

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=桓時等號成立.

即R的最小值加代+4=J5PA=2，A選項錯誤.

2

四面體P—A8C的體積gx(；xA8x8c]xPA=g,B選項正確.

以8為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=(t＞0),則8。=：,所以A(0/,0),P(0,f,2),C(T，°，°

AP=(O,O,2),PC=f|,-r,-2k

設(shè)平面PAC的法向量為〃=(x,zj,

n?AP=2Z[=0

則，2，故可設(shè)〃=（『,2,0）.

1

n-PC=-xl-tyl-2zi=0'

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x2,y2,z2),

m-BC=—x2=0

則＜故可設(shè)加=(0,2,T),

m-PC=—x2-ty2-2Z2=0

/\m-n4

所以3仙")=麗=丁高赤7,

3

由于二面角A—PC—3的正弦值為g,

所以/4=「僅1=--

心+4〃+4/一9=0,

Q-1)(/+1)(』-t+3)(f2+『+3)=0,其中，＞0,

故解得f=l,即AB=1，C選項正確.

對于D選項，若AB=2,則3C=1,

設(shè)四面體P—ABC的內(nèi)切球半徑為，

由于尸AcA8=A,PAABu平面Q鉆，所以BC1平面RW，

由于PBu平面所以8C_LPB,PB=>/22+22=2>/2,AC=Vl2+22=75>

四面體P-ABC的表面積為

-x2x2+-x2xl+lx2xV5+-xlx2V2=3+V2+V5,

2222

1f1、2

四面體產(chǎn)一ABC的體積為鼻、-x2xlx2=-,

J1273

所以§x(3++r=§,r=~-^=一,D選項正確.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為[0,+8),當(dāng)xe[0,2)時，/(X)=-X2+2X；且對于任意

x>2,恒有=則()

A./(x)是周期為2的周期函數(shù)

2023

B.Z/(z>10122

i=l

C.當(dāng)xe[0,8]時，方程/(x)="有且僅有8個不同的實數(shù)解，則4的取值范圍為

尼』4-6⑹

，

Dn.—1x-1</(X)<—1x+9一

2216

K答案UBCD

K解析員已知對于任意x?2,恒有—l=

即任意1之2,恒有=,又當(dāng)xw[0,2）時，/（xb-f+Zx,

所以當(dāng)xe[2〃,2〃+2川寸，f(x)=-(x-2n)'+2(x-2n)+?,nGN.

選項A,由已知對于任意尤22,恒有f（x）—l=/（x—2）,不符合周期性定義，所以A

錯誤;

2023

選項B,/(z)=1+1+2+2+---+1011+1011+1012=2(1+2---+1011)+1022

1=1

20231011(1+1011)+[022=]0222,故B正確;

E/(0=2x

i=\2

選項C,如圖1,當(dāng)xe[0,8]時，方程/（%）="有且僅有8個不同的實數(shù)解，

當(dāng)直線y=履過點（2,1）時，直線為y=與y=/（x）有9個交點，

當(dāng)直線y=區(qū)與/（x）=—（x—67+2（x—6）+3,xe[6,8）相切時，此時是7個交點，

令-（x-6『+2（x-6）+3=依，整理得八（J4）x+45=0,

由△=（/:—14）2—4x45=0,解得女=14±6君，

當(dāng)上=14+6行時，方程f+6逐x+45=0，即（x+3石y=0,解得％=—3石<0,

舍；當(dāng)左=14—6君時,方程》2一66x+45=0，即（x—3君y=0,解得

x=3>/5e[6,8）,滿足題意;且（1,1）,（3,3）,（5,5）點在直線丁=（14—6指）》的上方.

所以&的取值范圍為（g,14—66），故C正確；

選項D,如圖2,y=—1過點（2,0）,（4,1）,（6,2）,（8,3）,

-X—1</（X）成立；

當(dāng)工￡[2〃,2〃+2）時，/（%）=—（%—2/1）2+2（x—2〃）+〃，〃eN.

2

(19)一/(%)=/一2(2〃+：=X—(2〃+|)>0,即

-x-\---X+[2]2H---

1216；I4

f(x)4—XH---,

八/216

1

22

12.已知橢圓C：—+^-=1,。?0,2),點尸為橢圓C外一點，過點尸作橢圓C的兩

4b-

條不同的切線B4，PB,切點分別為A,8.已知當(dāng)點P在圓f+y2=7上運(yùn)動時，恒有

PA±PB.則()

A.h=l

B.若矩形OEFG四條邊均與橢圓C相切，則矩形。瓦G的面積的最小值為14

22

C.若點P的運(yùn)動軌跡為±+2-=1,則原點O到直線A3的距離恒為1

169

D.若直線小,P8的斜率存在且其斜率之積為且，則點P在桶圓工+￡=1上運(yùn)動

286

K答案》BC

K解析》當(dāng)抬平行于y軸時，恰好平行于X軸，40,加，8(2,0),P(2,b),

滿足將P(2,b)代入圓f+y2=7有22+〃=7,得/,=6；

當(dāng)曰不平行于丫軸時，設(shè)尸(x。，%),則焉+y；=7,過P的直線為

y=k](x-xQ)+yQ,

工+2L=1

聯(lián)立，4b1得（46+人2）/+8左|（%—左抵）》+4［（%—4/）？一=0,

y=^（x-x0）+y0

令4=0得-646（%_也了—16（44+/）［（%一女/）2一的=o,

2

整理得（%o-4/-2xoy,k}+y^-b=Q,

V2一力2

且此方程的兩根為kPA,kPB,則kpA%=-2,，又PA工PB，X；+尤=7

%-4

所以即A/PB=&T3=-1，得匕2=3,所以b=百；

V-4

綜上，b=y/3＞故A不正確；

22

橢圓。的方程為土+匕=1,若矩形OEFG的四條邊均與橢圓C相切，

43

①當(dāng)OE的斜率為0時，|。目=2〃=4,|￡目=28=26,

此時S/FG=\DE\-\EF\=2a-2b=Sy/3,

②當(dāng)OE的斜率不存在時，|。目=2匕=2百，|EF|=2a=4,

此時SDEFG=\DE\-\EF\=2b-2a=Sy/3,

③當(dāng)OE的斜率存在且不為0H寸，設(shè)直線。E:y=^x+*直線GF:y=&x+f2，

12，

聯(lián)立消去'得（3+4公）/+8攵/x+4彳72=0,

3廠+4,丫2=12-

4=64代片一16（片一3）（4代+3）=0,化簡得4代+3=4，同理可得4代+3=看,

..IA-r,|2J4k;+3

所以兩平行線DE和GF的距離4=\EF\=1'21=；

Ji+片也;+1

以一1代替％2，可得兩平行線DG和EF的距離

k2

所以矩形。瓦'G的對角線

21代+3?36+1

|叫=儂|=]阿|2+|陽2=2e,

[1+&；1+k；

根據(jù)基本不等式S^,C=|DE|.|￡：F|<附+卬==14，當(dāng)且僅當(dāng)

I許團(tuán)，即&=±1時等號成立，因為14>8百,

所以矩形。EFG面積的最大值為14,故B正確;

22

下證：任一橢圓［+點?=1在其上面的點（X。，為）處的切線方程均可寫為學(xué)+崇=1

設(shè)橢圓在點（%,為）處的切線方程為y=%3X+d，則

y=k3x+d

2y2222222

x=>^akj+Z>)x+2k3dcTx+ad-a-b=0,

2k,da2k.a2,,b2

令43=。得/月+〃=儲，所以血丞E=一二%=柩。+“=7,

一"￡"號’則切線方程為整理得繁+?！?/p>

所以自

22

對于橢圓C：土+二=1,設(shè)切點坐標(biāo)為4%,y）,B（x2,y2）,則切線B4，形的方程

43

分另喑

22

若點。的運(yùn)動軌跡為上+匯

—1,設(shè)點]3!|-j—?—=1

169

又兩切線均過點P,可得網(wǎng)+里=1,皿+網(wǎng)=1,點A,B的坐標(biāo)都適合方程

4343

mx

失守”故直線鉆的方程是一+（I，即--y-l=0,所以原點。到直線

44x+3

1^==!=1

d

AB的距離為mn1,故C正確;

H--

169

設(shè)P（x0，M>），過尸得直線為y=%（x-Xp）+外,

22

工+工=1

聯(lián)立〈43得(4代+3)元?+8&(孫-幻7>?+4[(y戶-％4%)2-3]=0,

y=k4(x-xp)+yp

2

令A(yù)=0得-64片(%-k&Xp￥-16(4抬+3)[(%-k4xP)-3]=0,整理得

(xf,—4)Z；—2xpypk4+次—3=(),

2-3

且此方程的兩根為原AM%，則&>/攵網(wǎng)=牛v一；，

xp-4

又直線PA，PB的斜率存在且其斜率之積為—,

2

片-3=6，得一^--咚=1，

所以々格?即8

Xp-424-2V32V3-3

22

X人V、一

故點P在雙曲線-----7=----7==1上運(yùn)動，故D不正確.

4-2V32V3-3

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量。4=(a,l),OB=(-2,b),。。=(-2,8),若AB,OC，且。，b均為正

數(shù).則ab的最大值為

K答案*

K解析XAB=(-2-a,b-l),

由于A5LOC，

所以A5-OC=4+2a+8Z?—8=2a+8b—4=0,。+4匕=2,

a+Ab\

所以ab,=一1?a?4?！?—x-------=—1,

44I2J4

當(dāng)且僅當(dāng)a=4Z?=1時等號成立.

故K答案》為：v

14.已知點尸為直線/：x+y-2=0上一動點，過點P作圓Y+>2=1的兩條切線，切

點分別為A,B,則直線AB恒過的定點的坐標(biāo)為.

工答案》以）

K解析U設(shè)點P（〃?,〃），則加+〃一2=0

..?過點P作圓f+y2=l的切線，切點分別是A,B,

：.PAA.OA,PBLOB

???RA、0、8四點共圓，其中。尸為直徑

所以圓心坐標(biāo)為信9,半徑長為業(yè)

:.p、A、0、8四點確定的圓的方程為：（%—晟）=二丁

2222

化為一般方程為：x2-inx+—+y2-ny+—=，n+n

444

即x2-mx+y2-ny-0

與f+y2=i聯(lián)立，求得AB所在直線方程為：〃優(yōu)+〃），=1①

又因為其中〃2=0,即加=2—〃代入①中，得：（2-〃）x+政=1

1

x=—

'2x-l=02

所以(y-x)〃+2x-l=0,所以*C解得：\

y-x=01

)'=一

2

直線AB恒過定點的坐標(biāo)為

1227

15.在一次抽獎活動中,某同學(xué)在標(biāo)有“1”,"1","4”，“5"，力”，“4”的六張卡片中依次不

放回地抽取一張卡片，直到抽完全部卡片.記事件A?=1，2,3)表示第i次抽到標(biāo)號為“1”的

卡片，X表示抽到標(biāo)號為“5”的卡片需要的次數(shù).則下列說法正確的是(填標(biāo)號).①

97

p(A)=p(&)；②P(AIA2)=M；③E(x)=g

R答案H①②③

3|I?/M3J

K解析』對選項①：P（Ai）=-=-,^（A）=-x-+1--故

OZZD'Z/D2

p（A）=P（4）,①正確;

c；

對選項②：p（A|A,）=P（44）=G=2,②正確;

'」P（&）15

2

對選項③：X的可能取值為1,2,3,4,5,6,

511c/”八5411

P（X=I）］；P（X=2）=—x—=—；P（X=3）=—x—x—=—

'7656176546

543211

P（X=5）=-X-X-X-X—=一

654326

P（X=6）=-x-x—x—x—xl=-,

'7654326

i7

￡（X）=-x（l+2+3+4+5+6）=—，③正確.

62

故K答案H為：①②③

16.若正實數(shù)m6滿足。(inZ?—lna+a)N匕則的最小值為.

ab

e

K答案1-

4

b

K解析X因為。(lnb-lna+a)N》e"T,所以lnb-lna+4N—e”］,

a

fl

所以In2+me"i+1z2，即］n(2)-2e-'+l>0

aaaa

b

令/=-尸1則有l(wèi)nfT+120(f>0),

a

設(shè)/Q)=ln-+1,則r(f)=；-l,由廣⑺=0得f=l

當(dāng)0</<l時，/⑴>0,/(力單調(diào)遞增，當(dāng)空1時，/⑴<0,/⑺單調(diào)遞減，

所以/(f)max=/(l)=°，即Inf—/+1W0,又因為Inr-t+lN。，

所以lnfT+l=0,當(dāng)且僅當(dāng)f=l時等號成立

b111產(chǎn)|

所以f=—e<i=l,從而一=一e0T,所以「_=上丁(。>0)

ahaaha~

設(shè)g(x)=/(x>0),則g，(x)=(x2/e［由g，(x)=o得犬=2

XX

當(dāng)0<x<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

e2TA1e

所以g(x)=g(2)=0=￡,所以下的最小值為一.

m,n224cib4

A

故K答案U為：

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知銳角三角形ABC中，角A,B,。的對邊分別為小b,c,且滿足

sinA[sin2A-sin2C.廠

------1=------；-----,AxC.

sinCsin^B

(1)求」一+3的取值范圍；

cosCh

(2)若。=2,求三角形ABC面積的取值范圍.

解：(1)因為A】C,且AC都為銳角，所以sinAwsinC,

sinA]_sinAsinC_(sinA-sinC)(sinA+sinC)

sinCsinCsin2B

所以sin2B=sinAsinC+sin2C?由正弦定理可得〃？=ac+c2，

又。2=cr+C1-2accosB，所以ac+/="+/-2accosB，

整理得Q-C=2CCOS3,即有sinBcosC+cosBsinC-sinC=2sinCcosB,

所以sinBcosC—cosBsinC=sinC,即sin(5—C)=sinC,所以3=2C.

1a_1sinA_1sinA_1sin(2C+C)

cosCbcosCsin3cosCsin2CcosC2sinCcosC

12sinCcos2C+cos2CsinC

=---------1------------------------------------------

cosC2sinCeosC

12cos2C+cos2Cl+4cos2C

——+-------------------------=-----------------

cosC2cosC2cosC

71

0<A=n-B-C<-

2

nn

在銳角三角形中，<0<B<-，且3=2C,所以Cw654?

2

0<C<-

2

1+4COS2C1+4產(chǎn)

令r=cosC.貝I/e

2cosC2t

1+

令f(t)=一^,貝IJ/")8r-2

4『

因為fe,所以/'⑺>0,所以f(r)為增函數(shù),

乂樽)=孚鴻)=笄3>/2迪、,即」一+且取值范圍

所以/Q)e〒，亍

7cosCb

是

(2)由(1)得B=2C.

2bc?2sinC

因為4=2,由‘得"飛啟

sinAsinBsinC

設(shè)三角形ABC的面積為S，則S=；sin8=csinB2sinCsin2C2sinCsin2C

sinAsin(2C+C)

2sinCsin2C_2_2

sin2CcosC+cos2CsinCcosC|cos2C11

sinCsin2CtanCtan2C

4

3-tanC?

tanC

、333

設(shè)1=tanC,tw,1,y=/=-p--l<0,y-，為減函數(shù),

7

所以里

18.2022年是極其不平凡的一年，我國在新冠疫情的反復(fù)肆虐下奮勇前行，取得了可觀的

抗疫成果.下表是2022年3月13日至3月18日河北省現(xiàn)存新冠肺炎確診病例數(shù)目的統(tǒng)計

結(jié)果:

日期2022.3.132022.3.142022.3.152022.3.162022.3.172022.3.18

日期編號X123456

病例數(shù)目y131182195233271292

（1）請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程$=gx+”；（計算結(jié)果均

保留整數(shù)）

（2）若已知某校須在河北省病例數(shù)目達(dá)到450例之前采取封校措施，假設(shè)該時間段內(nèi)河北

省的疫情增長速率持平，請根據(jù)（1）中的回歸直線方程推測該校最晚在哪一天采取封校措

施.

八才(七-可(y-9)66

參考公式：6=但「-------------，a=y-bx,ZxjX=5119,=1304

Z(—『Ii

i=l

⑼、-1+2+3+4+5+6c「-131+182+195+233+271+292652

解：⑴x=-----------------=3.5,y=-------------------------------二——

6-63

6

E：=1+4+9+16+25+36=91

/=]

之(七-可(>二9)，七%-6回5119-6x3.5x652

h-±d_____________________________________L_?R?

一r-J,__91-6x3.5??

ZU-x)-6x2

i=l1=1

八652

&=9一版=^1-—32x3.5a105,

所以回歸直線方程9=32X+105；

(2)當(dāng)$=32X+105=450=XH11,

所以推測該校最晚在2022年3月23日采取封校措施.

19.已知數(shù)列｛%｝滿足。“>0,%=1,4=0,當(dāng)〃22時,

s；+f+2S”(S.T—S“J=1,s”為數(shù)列｛q｝前n項的和.

，

(1)證明：―+—+—+*'+->2(A/H+1-1).

勾生%%')

(*+2)(0：+"+2)

(2)若b,=\/△,,一，求數(shù)列間的前“項和小

禽(q+1〉2

(1)證明：當(dāng)〃22時，S工—S；T+2S.(S,I—S“+J=1,即

(加-S“T)(“+S"T)+2S,6T-5角)=1,

變形為(s“+i—S“T)(s,,+i+Sn_｝-2S?)=1,

即(4m+4)(4用一a,,)T，

叩-a：=1，n>2,

由％=1,4=0得：?；-?,2=1,

故｛屋｝為等差數(shù)列，公差為1,首項為1,

所以。;=1+〃-1=〃，

因為“〃>0,所以為=6，

1_12=2(A/〃+1-,

故anGJ〃+l+G

1111

故---1-------1-------F…H------>2（夜-1+省-夜++>Jn+\-Vnj=2(J〃+1-1).

?1?2%a?

b("+2乂〃-+〃+2)(〃+1)(〃+2)("+2)(〃+3)

(2)解:

“—n(n+l)-2,,+l——/Tr(n+l)-2,,+l

2x33x43x44x8(〃+l)(〃+2)(〃+2)(〃+3)

故7；=4+H+,+/??=——---------1------------------FH----------------------:-----r----:-

8824n-2"(H+1)-2),+I

2x3(〃+2)(〃+3)個(〃+2)(〃+3)

2一(n+l)-2,,+l='--("+1).2"T

20.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：?+:/=1的上下左右頂點分別為

C,D,A,B,現(xiàn)將平面直角坐標(biāo)系沿x軸對折，使得二面角。-/R一。為直二面角.建立

右圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-aH點尸為橢圓上半部分的一動點，連接布，PB,PD,

BC.

（1）求四面體P-A80的體積的最大值;

（2）當(dāng)直線BC與平面以。所成的角最大時，求點尸的坐標(biāo).

解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)。（工,%）,12%>0，由于二面角。一43-。為直二

面角,

故四面體P一A3。的高為打，橢圓中。=2,。=1,

111122

因此匕■-AM=鼻SABOx%=x2aby=-x2y=-y<-,

JJ乙0J0J0J

2

故當(dāng)點尸位于橢圓的上頂點時，四面體P—ABO的體積的最大值為:，

（2）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P（O,Xo，%），12%>O，

A(0,-2,0),5(0,2,0),C(0,0,l),D(l,0,0),

則3c=(O,—2,l),AP=(O,Xo+2,y°),AD=(l,2,O),

,、m-AP=0+2)y+yz=0

設(shè)平面PAD的法向量為機(jī)=(x,y,z),則〈\n

-m-AD=0[x+2y=0

取y=-l,則加=2,-1,%o+2,

I)

設(shè)直線BC與平面雨。所成的角為8，

,、BCm

sin6=cos(BC,m)------—

'/BC\n\m

x+2八

令」n一=t,t>0,

y0

i-i

則當(dāng)r=二,sine=-y=r,

4V5

?！瓅2+4_1尸+血+41/4r-l1r右

仙。-瓦叩飛《FT飛/土飛卜由_]+三+2,

y4/-i

Q1

要使。最大，則sin。最大，只需要4,一1+——最小，

4(-1

當(dāng)41>。時，41+58,SW/163

1+--------------<-

4，/-1.+--8-1-+2「,5,

4r-l

o15

當(dāng)且僅當(dāng)4f-l=——時取等號，此時/=一,

412

5r21840

-xn-+--2--2-又號-+y02=l，進(jìn)而解得/=后,%=0，此時P圖竺]

%

當(dāng)一1<4"1<。時，此時4/一1+門Q]=一(1一4，十不Q1卜\一18,

,1613

...sin0=―產(chǎn)1+------------<-?-<-

此時75

4”Z-1,+8--1----+2c加7',5，