2022屆新高考物理沖刺精準復習：衛(wèi)星變軌問題 雙星模型

2022屆新高考物理沖刺精準復習

衛(wèi)星變軌問題雙星模型

學習目標

1.會處理人造衛(wèi)星的變軌和對接問題.

2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會解決相關問題.

高考導航

高考（全國卷）三年命題情況對照分析

考點內容要求

命題分析

萬有引力定律及其應

II

用

1.題型以選擇題居多，計算題較少。

.高頻考點：萬有引力與天體運動。

環(huán)繞速度n2

.天體運動一般單獨命題

第二宇宙速度和第三3

I

宇宙速度

經典時空觀和相對論

I

時空觀

物理觀念：萬有引力、宇宙速度、經典時空觀、相對論時空觀。

核心

科學思維：萬有引力定律、開普勒定律、雙星模型、多星運動模型。

素養(yǎng)

科學態(tài)度與責任：萬有引力與衛(wèi)星發(fā)射、變軌、回收。

一、課前檢測

1.（2020.福建漳州一模）（多選）2019年1月3日，“嫦娥四號”月球探測器順利著陸在月球

背面，成為人類首個實現(xiàn)軟著陸月背的探測器。著陸前，探測器先在距月球表面高度約為

100km的圓軌道上運行；然后在A點實施變軌，使運行軌道變?yōu)檫h月點A高度約為100km

和近月點P高度約為15km的橢圓軌道;再在P點實施制動降落月背。下列說法正確的是（）

A.從圓軌道到橢圓軌道的變軌過程中，探測器的機械能變大

B.探測器在橢圓軌道運行時，在P點的速率大于在A點的速率

C.探測器在P點時的加速度大于在A點時的加速度

D.探測器在橢圓軌道的運行周期大于在圓軌道的運行周期

2.（多選）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復

原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km,繞二者連線上的某點每秒

轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據、萬有引力常量并利

用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）

A.質量之積B.質量之和

C.速率之和D.各自的自轉角速度

二、考點精講

考點一衛(wèi)星的變軌和對接問題

1.變軌原理

（1）為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上，如圖1所示.

（2）在A點（近地點）點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道I上做

圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道II.

（3）在B點（遠地點）再次點火加速進入圓形軌道IH.

2.變軌過程分析

（1）速度：設衛(wèi)星在圓軌道I和m上運行時的速率分別為打、⑶在軌道II上過A點和

3點時速率分別為以、%在A點加速，則％>內，在B點加速，則吟慟又因也>知故有

（2）加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道n上經

過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道n或軌道in上經過8點的加速度也相同.

（3）周期：設衛(wèi)星在I、II、ni軌道上的運行周期分別為B、4、T3,軌道半徑分別為

ri、r2（半長軸）、由開普勒第三定律E=人可知7]<T2<T3.

（明機械能：在一個確定的圓（橢圓）軌道上機械能守恒.若衛(wèi)星在I、n、in軌道的機械

能分別為E1、及、Ei,則EI<E2<E3.

例1.我國正在進行的探月工程是高新技術領域的一次重大科技活動，在探月工程中飛行

器成功變軌至關重要。如圖所示，假設月球半徑為R,月球表面的重力加速度為go,飛行器

在距月球表面高度為3R的圓形軌道I上運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道H,

到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道IH繞月球做圓周運動，則（）

!初

\、、----J?

\n/

、、、、.....J'I

A.飛行器在8點處點火后，動能增加

B.飛行器在軌道in上繞月球運行一周所需的時間為2兀

c.只有萬有引力作用情況下，飛行器在軌道ii上通過3點的加速度大于在軌道ni上通

過8點的加速度

D.由已知條件不能求出飛行器在軌道II上的運行周期

延伸思考

（1）飛行器在軌道I、D、m上運行的周期大小關系如何？最大周期為多少？

（2）飛行器在軌道I、n、m上運行的機械能大小關系如何？

（3）飛行器在軌道I、ni上運行的速度大小關系如何？

衛(wèi)星變軌的實質

兩類變軌離心運動近心運動

變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小

^Mmv2Mmv2

受力分析GXny

變?yōu)闄E圓軌道運動或在較大半變?yōu)闄E圓軌道運動或在較小半徑

變軌結果

徑圓軌道上運動圓軌道上運動

跟蹤1.（山西五地聯(lián)考期末）2018年12月8日2時23分，嫦娥四號探測器搭乘長征三

號乙運載火箭，開始了奔月之旅.她肩負著沉甸甸的使命：首次實現(xiàn)人類探測器月球背面軟

著陸.2018年12月12日16時45分，嫦娥四號探測器成功實施近月制動，順利完成“太空剎

車“，被月球捕獲，進入了近月點約100公里的環(huán)月軌道，如圖3所示，下列說法正確的是

（）

1。（）公里環(huán)月軌道

橢圓環(huán)月軌道

地月轉移軌道

A.嫦娥四號在地月轉移軌道經過P點時和在100公里環(huán)月軌道經過P點時的速度相同

B.嫦娥四號從100公里環(huán)月軌道的P點進入橢圓環(huán)月軌道后機械能減小

C.嫦娥四號在100公里環(huán)月軌道運動的周期等于在橢圓環(huán)月軌道運動的周期

D.嫦娥四號在100公里環(huán)月軌道運動經過P的加速度大小等于在橢圓環(huán)月軌道經過尸

的加速度大小，但方向有可能不一樣

考點二雙星或多星模型

1.雙星模型

(1)模型構建：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所

示.

⑵特點：

①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即

Gm\mi°G/n11212,

—^2-=/niWi2n,——=膽2"22r2

②兩顆星的周期及角速度都相同，即

Tl=丁2,(0\=(t)2?

③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：n+「2=心

2.多星模型

(1)模型構建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外,

各星體的角速度或周期相同.

(2)三星模型：

①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓

形軌道上運行(如圖甲所示).

②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示).

(3)四星模型:

①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓

形軌道做勻速圓周運動（如圖丙所示）.

②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心0,

外圍三顆星繞0做勻速圓周運動（如圖丁所示）.

例2.（吉林省實驗中學八模）某雙星系統(tǒng)由4、〃兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線上

的某一點做勻速圓周運動。這兩顆星之間的距離為L,a星繞它們連線上的某點每秒轉動〃

圈，。、6兩顆星的軌道半徑之差為星的軌道半徑大于b星的軌道半徑），引力常量為Go

則（）

47r2M2/3

A.a、b兩顆星的質量之和為&晉

B.匕兩顆星的質量之比為盧學

￡—Ar

八、一4、,2兀〃L+Ar

匕星a的角速度為-------T-

或.兩顆星的軌道半徑之比為￡

解決雙星、多星問題的關鍵點

（1）雙星或多星的特點、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運動的軌道半徑。

（2）星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。

（3）星體的角速度相等。

（4）星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確

計算萬有引力和向心力。

跟蹤2.（多選）宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所

示.三顆質量均為加的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R忽略其他星體對

它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心。做勻速圓周運動，萬有引力常量為G,

8---------0

每顆星做圓周運動的線速度大小為

3Gm

每顆星做圓周運動的角速度為

每顆星做圓周運動的周期為2:

D.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關

三.課堂檢測

1.（多選）（八省聯(lián)考?湖北）嫦娥五號取壤返回地球，完成了中國航天史上的一次壯舉.如

圖所示為嫦娥五號著陸地球前部分軌道的簡化示意圖，其中I是月地轉移軌道，在尸點由

軌道I變?yōu)槔@地橢圓軌道II.在近地點Q再變?yōu)槔@地橢圓軌道HI.下列說法正確的是（）

A.在軌道n運行時，嫦娥五號在。點的機械能比在p點的機械能大

B.嫦娥五號在軌道I[上運行的周期比在軌道in上運行的周期長

c.嫦娥五號分別沿軌道n和軌道ni運行時，經過。點的向心加速度大小相等

D.嫦娥五號分別沿軌道n和軌道in運行時，經過。點的速度大小相等

2.（多選）（2020廣東深圳中學質檢）有一對相互環(huán)繞旋轉的超大質量雙黑洞系統(tǒng)，如圖所

示.若圖中雙黑洞的質量分別為M和此，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運

動.根據所學知識，下列說法中正確的是（）

A.雙黑洞的角速度之比si:M2=M2：M

B.雙黑洞的軌道半徑之比n:廢=Mz:

C.雙黑洞的線速度大小之比V]:V2=M\:Mi

D.雙黑洞的向心加速度大小之比ax：42=M2:Mi

3.（多選）（2021.安徽模擬）如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定星系，四顆質量均為的星體

位于邊長為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動，忽

略其他星體對它們的作用，萬有引力常量為G下列說法中正確的是（）

A.星體勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心

4+gGin

每個星體勻速圓周運動的角速度均為

B.2L3

C.若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，星體勻速圓周運動的加速度大小是原來的

兩倍

D.若邊長L和星體質量機均是原來的兩倍，星體勻速圓周運動的線速度大小不變

四、課堂總結

航天器變軌問題的三點注意事項

(1)航天器變軌時半徑的變化，根據萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩(wěn)定在新

圓軌道上的運行速度由v=\呼判斷。

(2)航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。

(3)航天器經過不同軌道的相交點時，加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度。

參考答案

課前檢測

1.解析BC本題考查變軌時機械能、速率、加速度、周期的變化?！版隙鹚奶枴痹贏

處變軌進入橢圓軌道是由圓周運動變?yōu)榻倪\動，心須點火減速，線速度變小，動能變小，

高度降低引力勢能也減小，所以機械能減小，故A錯誤；探測器在橢圓軌道從A點到P點

的過程，距離月球變近，萬有引力做正功，動能增大，則探測器在P點的速率大于在A點

的速率，故B正確；根據牛頓第二定律有牛=ma,得a=券,知距離月球越遠，加速度

越小，則探測器在尸點時的加速度大于在A點時的加速度，故C正確；圓軌道的半徑大于

橢圓軌道的半長軸，根據開普勒第三定律，軌道半徑越大運行周期越長，則探測器在橢圓軌

道的運行周期小于在圓軌道的運行周期，故D錯誤。

2.答案BC

解析兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示

0

■&m2

”1

每秒轉動12圈，角速度已知，

中子星運動時，由萬有引力提供向心力得

①

竿=2②

/="+72③

由①②@式得G噂小=4所以加+牝=誓，

質量之和可以估算。

由線速度與角速度的關系v=s得

V|=0八④

V2=⑤

由③④?式得vi+v2=co(n+r2')=a)l,速率之和可以估算。

質量之積和各自自轉的角速度無法求解。

考點精講

例1.答案B

解析在橢圓軌道近月點變軌成為圓軌道，要實現(xiàn)變軌應給飛行器點火減速，減小所需

的向心力，故點火后動能減小，故A錯誤；設飛行器在近月軌道ni繞月球運行一周所需的

時間為八，貝IJ：〃吆0=〃?串，解得：73=2兀噌，根據幾何關系可知，軌道n的半長軸“

=2.5R,根據開普勒第三定律爺=々以及飛行器在軌道HI上的運行周期，可求出飛行器在軌

道U上的運行周期，故B正確，D錯誤；只有萬有引力作用情況下，飛行器在軌道H上通

過B點的加速度與在軌道HI上通過B點的加速度相等，故C錯誤。

提示：(1)由開普勒第三定律,=%可知，飛行器的軌道由i-n-in的過程中半長軸”

變小，故T變小。

即Ti>T2>T3,

/?347?3

由鏟芹，

可得最大周期7,I=873=16n

(2)飛行器由軌道ITH—III時都要經過制動減速，故飛行器的機械能大小關系為：

E?>￡n>￡in<.

⑶由華=，*得v=、倍，所以也?？梢婋m然飛行器由軌道ITn—m時都

要制動減速，但仍然有丫3>也，根源在于軌道n為橢圓，近月點比遠月點的速度大，總之處

理問題要有理論依據，不能想當然的進行判斷。

跟蹤1.答案B

解析嫦娥四號從地月轉移軌道的P點進入100公里環(huán)月軌道，需點火減速，所以在

地月轉移軌道P點的速度大于在100公里環(huán)月軌道尸點的速度，故A錯誤；從100公里環(huán)

月軌道進入橢圓環(huán)月軌道，嫦娥四號需點火減速，發(fā)動機做負功，機械能減小，故B正確；

根據開普勒第三定律捻=k知，100公里環(huán)月軌道半徑大于橢圓環(huán)月軌道的半長軸，則嫦娥

四號在100公里環(huán)月軌道運動的周期大于在橢圓環(huán)月軌道運動的周期，故C錯誤；嫦娥四

號衛(wèi)星在不同軌道經過P點，所受的萬有引力相等，根據牛頓第二定律知，加速度大小相

等，方向相同，故D錯誤.

例2.解析A本題考查雙星問題。設八6兩顆星的質量分別為加卜〃?2,軌道半徑分別

為「、2由題意則n+，2=L，r\—r2—\r,解得n=:(￡,+Ar),，2=如一")，則”

=打￥，選項D錯誤；兩星圍繞它們連線上的某點運動的角速度相同，。星繞它們連線上

L一△丫

的某點每秒轉動〃圈，角速度為3=2?！?，則匕星的角速度也為2?！?，選項C錯誤；根據萬

有引力提供向心力可知=如n〃=2，整理可得。嗜"2=s+切整=

W2f2CO

4兀2〃2乙，解得質量之和如+m=吟￡選項A正確；由寫也=如602r產恤32r2,可得“、

〃兩顆星的質量之比端=3京，選項B錯誤。

跟蹤2.答案ABC

解析每顆星受到的合力為廣=2點sin60。=/G聾，軌道半徑為r=^R,由向心力

公式F=/Ma=〃4=/M（o2r=〃7^r,解得co—礪T_\r^~