第六節(jié)　二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布

1．伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)只包含______________的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)n重伯努利試驗(yàn)①定義：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的

稱為n重伯努利試驗(yàn)．②特征：同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；各次試驗(yàn)的結(jié)果__________兩個(gè)可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)相互獨(dú)立(4)參數(shù)μ和σ對(duì)正態(tài)曲線形狀的影響：①當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“____”，表示隨機(jī)變量X的分布比較_____；②當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“____”，表示隨機(jī)變量X的分布比較____．(5)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.(6)3σ原則:①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_______；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_______.瘦高集中矮胖分散μσ20.682

70.954

50.997

3(1)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(2)“恰好發(fā)生k次”與“有指定的k次發(fā)生”不同：恰好發(fā)生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次發(fā)生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(3)在X～N(μ，σ2)中，隨機(jī)變量X在μ的附近取值的概率很大，在離μ很遠(yuǎn)處取值的概率很?。?．(北師大版選擇性必修第一冊(cè)P209·T1改編)在100件產(chǎn)品中有5件次品，采用放回的方式從中任意抽取10件，設(shè)X表示這10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則

(

)A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05)C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95)解析：有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相當(dāng)于10重伯努利試驗(yàn)，所以X～B(10,0.05)．答案：B

2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P77·T2改編)雞接種一種疫苗后，有90%不會(huì)感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為

(

)A．0.33 B．0.66C．0.5 D．0.45答案：A4．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P87·習(xí)題T1改編)某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)考試成績X～N(80,25)，如果規(guī)定大于或等于85分為A等，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的成績?yōu)锳等的概率是________．(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827)層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)

n重伯努利試驗(yàn)的概率

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為

(

)A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：根據(jù)n重伯努利試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測(cè)試的概率為C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.答案：A

3．在產(chǎn)品的某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(5，σ2)，若ξ在(5,6)上取值的概率為0.45，且規(guī)定μ±1以內(nèi)均為正品，其他為次品，則該產(chǎn)品的次品率是________．解析：由題意知μ＝5，故在(4,6)上均為正品，而P(4＜ξ＜6)＝2P(5＜ξ＜6)＝2×0.45＝0.9.故該產(chǎn)品的次品率為1－0.9＝0.1.答案：0.1[一“點(diǎn)”就過]利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)二項(xiàng)分布

[典例]

“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地．為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響)．(1)若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率；(2)設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[方法技巧]二項(xiàng)分布的解題策略(1)在根據(jù)n重伯努利試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率．(2)①求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．②有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可以求出D(aξ＋b).

[針對(duì)訓(xùn)練]師大附中學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用“100分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)：86,87,73,88,86,95,89,86,96,70,87,89,95,97,86,88.(1)若幸福度不低于95分，則稱該人的幸福度為“極幸?！?，求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人的幸福度是“極幸?！钡母怕?；(2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示選到幸福度為“極幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列．區(qū)分不開二項(xiàng)分布與超幾何分布——————————————————————————————————[典例]寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？(1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)．(2)X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和．(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X3.(4)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M>n>0)．[診治策略]二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨別方法續(xù)表重難點(diǎn)(二)正態(tài)分布的應(yīng)用

[典例]

(2022·成都七中月考)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.分組[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2515020025022510050(1)已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)，請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求P(36≤Z≤79.5)；(2)在(1)的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制訂了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.[方法技巧]利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．

[針對(duì)訓(xùn)練]某學(xué)校高一年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽，計(jì)分規(guī)則如下：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[145，155)[155，165)[165，175)[175，185)185及以上得分1617181920年級(jí)組為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的跳繩個(gè)數(shù)，并利用對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從這100名學(xué)生中任意抽取兩人，求兩人得分之和小于35分的概率(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．(2)若該校高一年級(jí)共有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ2≈225，μ為抽取的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)的樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．利用所得到的正態(tài)分布模型解決以下問題：①估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)；②若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為Y，求Y的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.3．(不清楚正態(tài)曲線的對(duì)稱性)某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布N(110,102)．已知P(100<X≤110)＝0.34，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?20分以上的有________人．5．(鏈接生活實(shí)際)