專題1.1 與三角形有關(guān)線段的幾何綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（原卷版）

專題1.1與三角形有關(guān)線段的幾何綜合【典例1】【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點(diǎn)．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點(diǎn)；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點(diǎn)作直線、連接任意兩點(diǎn)、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）【綜合應(yīng)用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=；②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)，且BM=13BC，N是AC的中點(diǎn)，若△ABC【思路點(diǎn)撥】（1）①由直角三角形三條高的定義即可得出結(jié)論；②延長BE、DA交于點(diǎn)F，連接CF，延長BA交CF于點(diǎn)G，則CG為△ABC的第三條高；（2）①由三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性質(zhì)得∠ABE=55°（3）連接CD，由中線的性質(zhì)得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，設(shè)S△ADN【解題過程】（1）解：①∵直角三角形三條高的交點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，∠A=90°，∴ΔABC的三條高所在直線交于點(diǎn)故答案為：A；②如圖2，延長BE、DA交于點(diǎn)F，連接CF，延長BA交CF于點(diǎn)G，則CG為△ABC的第三條高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-35°=55°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°，故答案為：25°；②∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-∠BAD，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAD=90°-1∴∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-1∴2∠EBD=∠ABC-∠ACB，故答案為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB；（3）解：連接CD，如圖5所示：∵N是AC的中點(diǎn)，∴S△ADN∴S同理：S△ABN設(shè)S△ADN∵△ABC的面積是m，∴S∴S∵BM=1∴BMCM∴S△BDMS△CDM∴S△CDM=2∴S△CDM=∵S即：23解得：a=1∴S故答案為：5121．（2022春·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2022春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝4EC，CD與AE交于點(diǎn)F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．293．（2022春·江蘇蘇州·七年級期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點(diǎn)，E是邊AC上的點(diǎn)，且ADBD=1m，CEAE=1n，若A．mn+n+1n B．mn+m+1n C．mn+n+1m4．（2022春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四邊形DEFG的面積為14，則△ABC的面積為（）A．24 B．28 C．35 D．305．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=311則a的值為（

）A．1 B．2 C．6 D．36．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC、△ADF、△BEF的面積分別S、S1、S2，且S=36，則S1-S2=_______．7．（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=52，AC=4,CD=3BD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE、AD交于點(diǎn)F，則四邊形8．（2023春·七年級單元測試）在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是邊AE、BF、CD上的中點(diǎn)，若△ABC的面積是14，則△DEF的面積為_________．9．（2022春·重慶·七年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為______．10．（2022春·福建福州·七年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，且AE:EB=2:3，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，且BD:DC=1:2，AD與CE相交于點(diǎn)F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為______．11．（2022春·江蘇無錫·七年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C為直線AB外一動點(diǎn)，AB=5，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD的面積為5時，線段AC的長度的最小值為___．12．（2022春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD相交于點(diǎn)O．若AD與BC之間的距離為m，AC＝6，BD＝152，則AD＋BC的最大值為________13．（2022春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE、AD交于點(diǎn)F，則四邊形DCEF的面積的最大值是______．14．（2022春·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AC和AB上的點(diǎn)，且滿足AE=2BE，CD=3AD，過點(diǎn)A的直線l平行BC，射線BD交CE于點(diǎn)O，交直線l于點(diǎn)F．若△CDF的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________15．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)F是AB邊的三等分點(diǎn)，BF=2AF，點(diǎn)E1是CB邊的中點(diǎn)，連接E1F，E1D，得到△E1FD；點(diǎn)E2是CE1的中點(diǎn)，連接E2F，E2D得到△E2FD；點(diǎn)E316．（2022春·福建福州·七年級福州華倫中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．（1）求∠BDC的度數(shù)；（2）試比較DA+DB+DC與1217．（2022秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．18．（2022秋·陜西西安·七年級西安益新中學(xué)?？计谥校┨剿鳎涸趫D1至圖3中，已知△ABC的面積為a（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA.若△ACD的面積為S1，則S1（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE.若△DEC的面積為S2，則S（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖）若陰影部分的面積為S3，則S3=______.(（4）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF(如圖3)，此時，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可