2023年高考黑馬逆襲數(shù)學(xué)試卷-廣東數(shù)學(xué)試卷01（高考仿真模擬）（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)黑馬逆襲卷一廣東卷01（高考仿真模擬）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)?三（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合M滿足{2,3}="={1,2,3,4,5},那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

4.已知角a的終邊過點(diǎn)尸（3a,-4a）（a<0）,則tan（a+45。）的值為（）

5.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到

e=l+[+]+[++!+廠-（其中e為自然數(shù)的底數(shù)，其拉格朗日余項(xiàng)

1!2!3!n\+

「

是長(zhǎng)刖.可以看出,右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確?若

21

77179近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)4，R”不超過短時(shí)，正整數(shù)〃的最小

（〃十1J.1000

值是（）

A.5B.6C.7D.8

22

6.已知A（0,4）,雙曲線?一q=1的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,點(diǎn)尸是雙曲線左支上一

點(diǎn)，則|網(wǎng)+|帆|的最小值為（)

A.5B.7C.9D.11

7.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

34/436,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

811「27811「27641,?

A.18,—B,—C.—D.r18,27

L4J144」143」

Le2

8.已知”=2e&，b=ee,c,試比較a,b,c的大小關(guān)系為（）

In2

A.b>c>aB.b>a>c

C.oa>bD.c>b>a

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.從裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中任取2個(gè)球，則（）

A.“都是紅球”與“都是白球”是互斥事件

B.“至少有一個(gè)紅球”與“都是白球”是對(duì)立事件

C.“恰有一個(gè)白球”與“恰有一個(gè)紅球”是互斥事件

D.“至少有一個(gè)紅球”與“至少有一個(gè)白球”是互斥事件

10.設(shè)函數(shù)/（x）=.,則（）

smx4-cosx

A.〃x）的一個(gè)周期為兀B.在上單調(diào)遞增

C.“X）在上有最大值乎D.“X）圖象的一條對(duì)稱軸為直線

11.已知數(shù)列｛q｝滿足4>0,??+.=y+-,｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,，則下列說法正確的有

乙an

（）

A.對(duì)任意4>0,｛q｝不可能為常數(shù)數(shù)列

B.當(dāng)4>3時(shí)，｛4｝為遞減數(shù)列

C.若q=l,貝ljq<2+^y

D.若4=1,則％

%a2an4

2222

12.如圖，P是橢圓G:二+與=1（。>人>0）與雙曲線C,:二-與=1（膽>0.”>0）在第一

a-h-m-n-

象限的交點(diǎn)，且GC共焦點(diǎn)耳序="G，G的離心率分別為巧,eZ,則下列結(jié)論不

正確的是（）

13

B.若6=60。，則7+/=4

C.若6=90°,則e；+e；的最小值為2D-.tan—9=一b

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(4,2百)，人=(一則“電-卜卜.

14.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》

卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)

之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2且被5除余3的

正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛q｝,記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5“，則

衛(wèi)理的最小值為.

n

15.在4ABC中，點(diǎn)G是ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別交線段AB,AB于點(diǎn)N,M

S

(M,N不與ABC的頂點(diǎn)重合)，則產(chǎn)處的最小值為.

16.已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)滿足：f'(x)-f(x)=e2x,且"())=1,則/(x)的R解

析》式為〃x)=；當(dāng)x>0時(shí)，x[/(x)-“]2l+lar恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知_MC的內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,5為鈍角.若一/1BC的面積為

S,且4bs=.(從+。2-〃)

n

(1)證明：B=—I-A；

2

(2)求sinA+sinC的最大值.

18.(12分)對(duì)于數(shù)列4=(〃+1)2'，〃wN*,的前〃項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善

于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于此類“等差x等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是

她的思考過程：

111

①為什么而用二7一可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第〃+1項(xiàng)有一定關(guān)系’即

第n項(xiàng)的后一部分與第n+1項(xiàng)的前一部分和為零

②不妨將%=5+1)2〃，也轉(zhuǎn)化成第小〃+1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確

定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得a“=(P”+4)2"-[p(〃+l)+g]2"M=(〃+l)2",通過化簡(jiǎn)左側(cè)

并與右側(cè)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可確定系數(shù)

③將數(shù)列q=(〃+1)2",”N,表示成??=(p〃+q)2"-[p(〃+1)+c/~\2"+,形式，然后運(yùn)用

“裂項(xiàng)相消法”即可！

聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識(shí)，但也同時(shí)強(qiáng)調(diào)一定耍將基

礎(chǔ)的“錯(cuò)位相減法”掌握.

(1)(鞏固基礎(chǔ))請(qǐng)你幫助小周同學(xué)，用“錯(cuò)位相減法“求｛可｝的前"項(xiàng)和加

(2)(創(chuàng)新意識(shí))請(qǐng)你參考小周同學(xué)的思考過程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法"求｛為｝的前〃項(xiàng)和

S-

19.（12分）已知底面為正方形的四棱柱MCD-A'B'C'。，AD=AA=4,E,F,H分別

FP

為A4',AD,CD'的中點(diǎn)，三角形S.E的面積為4,P為直線F"上一動(dòng)點(diǎn)且一r=2

PH

（1）求證:當(dāng)）=1時(shí),BPA.AC-,

（2）是否存在2,使得線段8P與平面BC'E夾角余弦值為9.

20.（12分）2022年卡塔爾世界杯采用的“半自動(dòng)越位定位技術(shù)”成為本屆比賽的一大技術(shù)

亮點(diǎn)，該項(xiàng)技術(shù)的工作原理是將若干個(gè)傳感器芯片內(nèi)置于足球中，每個(gè)傳感芯片都可以高

頻率定位持球球員，以此判斷該球員是否越位.為了研究該技術(shù)的可靠性，現(xiàn)從生產(chǎn)的傳

感芯片中隨機(jī)抽取100個(gè)，將抽取到的傳感芯片的最高頻率（單位：Hz）統(tǒng)計(jì)后，得到的

頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求這批芯片的最高頻率的平均值工（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和

方差

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可以近似認(rèn)為這批傳感芯片的最高頻率〃服從正態(tài)分布

用樣本平均數(shù)提作為〃的估計(jì)值〃，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為。的估計(jì)值試估

計(jì)，從這批傳感芯片中任取一個(gè)，其最高頻率大于80Hz的概率；

（3）若傳感芯片的最高頻率大于80Hz,則該傳感志片是可精確定位的，現(xiàn)給每個(gè)足球內(nèi)

置上（%=1,2,3,4）個(gè)傳感芯片，若每個(gè)足球中可精確定位的芯片數(shù)不少于一半，則該足球可

以滿足賽事要求，能夠精確判定球員是否越位，否則就需要增加裁判數(shù)量，通過助理裁判

指證、慢動(dòng)作回放等方式進(jìn)行裁定.已知每個(gè)傳感芯片的生產(chǎn)和維護(hù)費(fèi)用約為1萬(wàn)元/場(chǎng)，

因足球不可精確定位而產(chǎn)生的一次性人力成本為12萬(wàn)元/場(chǎng)，從單場(chǎng)比賽的成本考慮，每個(gè)

足球內(nèi)置多少個(gè)芯片，可以讓比賽的總成本最低？

219

附:/J(/z-cr<x<//+cr)?/1(/z-2cr<+■卜

320

399

-3cr<x<//+3cr)

400

21.（12分）已知￡，K分別為雙曲線捺-/"＞。力＞0）左、右焦點(diǎn)，叩夜網(wǎng)在雙

曲線上，且PF;PK=4.

（1）求此雙曲線的方程；

（2）若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（號(hào)在y軸正半軸上），點(diǎn)A8在雙曲線上，且

B2A=/jB2B（^eR）,耳A，耳3,試求直線AB的方程.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=alnx+x的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（X1,0）,

成天,。8產(chǎn)％）.

（1）求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

（2）設(shè)點(diǎn)C（x。#）,滿足AC=4CB,且/（/）＞°恒成立，求實(shí)數(shù)義的取值范圍

參*考*答*案??,.一

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.C

R解析X依題意不1=（，+對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第三象限.

故選：C.

2.C

R解析U因?yàn)閧2,3}=M={1,2,3,4,5},

所以集合M可以為：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共8個(gè),

故選：C.

3.B

R解析U因?yàn)?（-x）=（2'-2-）8S（r）=-（2T-2）co&r=-〃x）,所以為奇函

數(shù)，排除A,C選項(xiàng)；又，（2）=（；-4）xcos2>0,所以排除D,

故選：B.

4.B

R解析》因?yàn)榻莂的終邊過點(diǎn)P（3a,-4a）（a<0）,則tana=?=-:

tana+tan45°1

所以tan(a+45°)=

1-tancr+tan45°7,

故選:B

5.B

K解析》由題意,可得的品"焉,即（〃+1200。,

當(dāng)〃=5時(shí)，6!=720<2000：

當(dāng)〃=6時(shí)，7!-5040>2000,

所以〃的最小值是6.

故選：B.

6.C

22

R解析』由雙曲線二—匕=1,則偏=4,加=5,即。2=/+從=9,且耳(-3,0),由(3,0),

45

由題意，I時(shí)卜|「用=2

22

\PA\+\PF2\=\PA\+2a+\PFl\>\AFl\+2a=>j3+4+4=9,

當(dāng)且僅當(dāng)AP,4共線時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

7.C

K解析》???球的體積為36兀，所以球的半徑R=3,

K方法一也導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2“，高為人,

貝1|尸=2“2+〃2,32=2?2+(3-//)2,

所以6〃=廣，2a2=l2-h2

ii2/4/21f/6

所以正四棱錐的體積

333366913M

所以叫卜一卜京性斗

當(dāng)34/42后時(shí)，V'>0,當(dāng)26</436時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2"l時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為年64,

27Q1

又/=3時(shí)，V=—,/=3后時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為3，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是y.y

故選：C.

K方法二也基本不等式法

—r3

A21l(12-2力)+/?+/?=必當(dāng)且

由方法一故所以V=§=§(60-A2)/?=-(12-2〃)〃xQx

3[_3J3

僅當(dāng)〃=4取到），

當(dāng)仁|時(shí)，得a浮，則嗑“=#■堂x|=*

當(dāng)/=3百l時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)〃=]3+3=]9,

孝。=理=。=整，正四棱錐體積=*答）2xg=?＜與，故該正四棱錐體積的

取值范圍是耳，爭(zhēng).

8.B

K解析X先證明兩個(gè)不等式:

(1)21nx<x--(x>1),^/(x)=21nx-x+—(%>1),貝lj

XX

==\<O(X>1),即/(x)在(Lw)上單調(diào)遞減，故

XX~yXJ

/(x)</(l)=O,即21nx<J(x>l)成立

X

(2)P(x>l),設(shè)g(x)=lnx_2(/D(x>]),貝lj

X+lX4-1

14(r-n2

g'(X)=±_zA^=：即煎工)在(L”)上單調(diào)遞增，故

X(x+1)x(x+l)

g(x)>g(l)=O,即Inx>^^(x>l)成立

x+l

再說明一個(gè)基本事實(shí)，顯然3＜兀＜3.24,于是1.73＜石＜五＜1.8.

由(1)可得，取x=2,可得21n2<1.5oln2<0.75oe"”>2；

由(2)可得，取x=2,可得ln2>；2,再取x=]4,nJWln4->12>0.27,即

e027<±=e為27>3.

34

c

hP6-&e-1.80.75

-=-V=-->-—>—>1,顯然。>0,于是方”；

a2e?222

e2

c_In2_e*■"3e-\"2-^t-o.27_1.73-Vn0_1,顯然。>0,于是c<〃.故b>a>c.

-=—T=-=--<--------------<e=e<e=i

a2e^2In24

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.AB

K解析U“都是紅球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，A對(duì)；

“至少有一個(gè)紅球'’與"都是白球''不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，是對(duì)立事件，B對(duì)；

“恰有一個(gè)白球''與"恰有一個(gè)紅球”能夠同時(shí)發(fā)生（如1紅1白），不是互斥事件，C錯(cuò)；

“至少有一個(gè)紅球,，與“至少有一個(gè)白球,，能夠同時(shí)發(fā)生（如1紅1白），不是互斥事件，D

錯(cuò)

故選：AB.

10.BD

sin2（x+n）sin（2x+2;t）_sinlx

K解析1對(duì)A：/（X+7T）=

sin（x+7t）+cos（x+n）-sinx-cosxsinx+cosx

故兀不是的周期，A錯(cuò)誤;

對(duì)B：令.=$出苫+85犬=&$畝|x+f|,如Jsin2x=2sinxcosx=/-1,

'則x+：€（°，"|），sin（x+：）e（O,l）'

.?.r=V^in卜+：）在（o.?上單調(diào)遞增，且r=^sin（x+?e（0,匈，

又???）=?；在（0,+8）上單調(diào)遞增，故"X）在（-：,；）上單調(diào)遞增，B正確;

對(duì)c：卜:中｝則》+3（。,兀），

sin[x+：）￡（0,l],則f=V5sin（x+：）￡（O,0],

又?.0=/-；在（0,應(yīng)]上單調(diào)遞增，且兒=&=叵-1y/2

.?.y"；在(0,何上最大值為日，

即〃x)在上有最大值4，C錯(cuò)誤;

sin(?c-2x)_sin2x

對(duì)D：=〃x),故f(x)圖象

cosx+sinxsinx+cosx

的一條對(duì)稱軸為直線V，D正確.

故選：BD.

11.BCD

K解析U因?yàn)?>0,4角=?+2，故%>0.

Nan

對(duì)于A,當(dāng)q=2時(shí)，an=2,即數(shù)列?｝為常數(shù)數(shù)列，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)4>3時(shí),

a.2

若存在〃“，使得等號(hào)成立，則。“=2,故2=矢+—,故a,z=2,

a

乙n-l

依次有4=2,矛盾，故?！?gt;2,

則4+「4=2—之=￡盧<0,即《:<%，所以｛4,｝為遞減數(shù)列，故B正確;

a?22an

對(duì)于C,由q=1得生=g+2=|>2,由A,B知，當(dāng)”22時(shí)，4,>2,

故一4+1"4+1(〃22),則為一2<：(%—2)<〈與(出-2)=與,

故勺<2+擊，當(dāng)"=2時(shí)，％=|=2+擊，此時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

對(duì)于D,由題有八吟=，S“=q+/++??,則今=g+g++%兩式相減得

Na.2222

222S“+a〃一24

—+—++---=———----L,

a

4。2n-\2

11,1_S“+i+4+i-2qS+2%+i-2%5“+a

所以一+一+H-------------------n--------------<---n---

%an444

一cc4c

(K提示H：2%-2q=4+---2<%),故D正確.

故選：BCD.

12.ACD

]PFt\+\PF2\=2a

K解析H依題意,1|P用一儼4=2機(jī)解得附=a+加附|=a-mA不正確;

令叱|=2c,由余弦定理得:

cos〃_|P」F+|/Yj-|T』|2_(〃+-)2+3-+)2_4,2_/+加一2c?

1

"''2\PFt\\PF2\―2(a+m)(a-m)~~a-nr-，

j3

222

當(dāng)。=60。時(shí)，a+3OT=4c,即(與2+3(')2=4,因此r+r=4,B正確；

ccqq

當(dāng)6=90°時(shí)，a2+nr=2c2,即(與2+(絲了=2,有二+三=2,

ccq4

而0<e；<l<e；,則有d+4=20；<2(且愛)2,解得e：+e；>2,C不正確;

a2+in2-2c2(a2-c2)-(c2-m2)

cosO=

a2-nr(a2-c2)+(c2-trr)

0,0

cos2--sin2l-tan"2—1-tan2—l-(-)2

cos^cos^-sin^=

21=______2于是得------J=-J

222

cos2-+sin2-1I+tan2。1+tan-l+(令2

222

解得，*=鏟而吟畤>。，因此tang=2,D不正確.

2b

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.0

K解析》?.6-1/,|=(4,2>/3)?(-1,V3)-^(-1)2+(V3)2=-4+6-2=0,

故K答案》為：0

一61

14.—

2

K解析員被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為

8,公差為15的等差數(shù)列{%},貝|JS“=8〃+歿辿xl5=?/+g〃

.S“+3015”?30?I*J15”‘3O?1_61

*'—n一~~T+~^+2~+2

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=理，即n=2時(shí)，等號(hào)成立，

2n

...鼠史的最小值為日.

n2

故K答案》為：V-

15.1+近

2

K解析》設(shè)4M=X4C，AN=“B,2,〃e（。」）.因?yàn)镚是一ABC的重心,

所以AG=；(AB+AC).由M,G,N三點(diǎn)共線可知，

AG=kAM+(]-k)AN=kAAC+(]-k)pAB(O<k<\).

U=-

3解得4=J

由平面向量基本定理可知'/Z-3(1-A:)J

(一)〃=;3k

q

所以沁L:AN"CMG-

-----=A=也…=］」

J△/t8GAB3(1-〃)'S^ACGAC3k

所以S〉A(chǔ)NG

3(一)

因?yàn)镚是ABC的重心，所以S4CG=S^BG,故

1

5*_3(1/_%_1>17+石

SACMGJ_-L-3K+44-1-3^--1+44-2A/32

3kk

當(dāng)且僅當(dāng)女=1(0<%<1),即出邛時(shí),等號(hào)成立.

故K答案》為：1+且.

2

16.e2r3，2]

K解析》設(shè)8(力=竽，則g，⑺J(”/(x)§=e]故g(x)=e'+c,

則〃x)=(e'+c)e*,又因?yàn)椤?)=1,即l+c=l,

所以c=0,f(x)=e2',x(e2A-a)>1+Inx,

因?yàn)閤e(0,4w),所以a4J-lnx=Hlnx在了6(0,內(nèi))上恒成立,

xx

其中e2kM.2x+lnx+l,

理由如下：構(gòu)造0(x)=e'—x—l,則”(x)=e'—1,

令"(x)=0得：%=0,當(dāng)x>0得：0'(力>0,

當(dāng)XV。得：d(x)vO,

故e(X)在x=0處取的極小值，也是最小值,??(%)>^(0)=0,從而得證.

.fg*-A+,nx_]2x4-lnx+l—1—Inx.,,_

故------------>-----------------=2,故aW2,

xx

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(f,2]

故K答案》為：e2，，(F,2].

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)證明：由余弦定理cosA=3■二一匕得3ccosA=^+c2—

2bc

4bs?4h1.八

-----=2bccosAA=—x—acsinB,

aa2

cosA=sinB,

cosA=cos^B-^,

TT

8為鈍角，則A3--均為銳角，

2

兀71

:,B--=Af即5=々+4；

22

(2)解：sinA+sinC=sinBj+sinBB-yj

=—cosB—cos2B=—2cos~B—cos3+1，

令8sB=f,B為鈍角，則，

9

+

8-

1i9

當(dāng)/二一一，E[JcosB=一一時(shí)，sinA+sinC取最大值，且為一.

448

18.解：(1)因?yàn)閝=(〃+1)2〃

所以S〃=q+生+〃3++an=2x2'+3x2?+4x2、+(〃+1)2”①

貝lj2s“=2x22+3x2,+4x2,+…+(〃+1)2'用②

所以①-②得：-S?=2X2'+(22+23++2")-(〃+l)2"i=4+^^—-(，?+1)2向=-n-2"+,

所以S“=〃2”；

(2)因?yàn)?=(〃+1)2”,設(shè)

4,=(8+4)2"-［。("+1)+小*'=(-川-<7-2。)2",

比較系數(shù)得：［：：［,=1，得［：］二，所以%=(-〃+1)2"-(-〃)27

a

所以Sn=q+2+。3++n

=0X2'-(-1)X22+(-1)X22-(-2)X23++(-?+1)2H-(-Z2)2n+l=n-2"+|

19.(1)證明：連接BRBTT,

因?yàn)镾=,A￡.A8?sinNBAE=4sinZBAE=4,

1/tAoc.2

7T

所以sin/B4￡=l,所以=即

又AO_LA4',ADr>AB=A,AD,ABu平面A8C￡>,故A4,J_平面ABC。，

FP

當(dāng)4=1時(shí)，——=4=1,則尸為"7中點(diǎn)，P在夕少上，

PH

；平面ABC。，ACu平面ABC。，._LAC,

又AC_L8O,DD'BD=D,DD',BDu平面BDD8,

，AC_L平面比)/55,

又BPu平面BZMJE,，BP_LAC；

(2)解：以。為原點(diǎn)，2M所在直線為x軸，OC所在直線為曠軸，所在直線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A0(0,0,0),3(4,4,0),E(4,0⑵，C'(0,4,4),設(shè)尸(62-4,4),

所以砒=(O,T,2),3C'=(T0,4),BP=(a-4,-a-2,4),

設(shè)平面BC'￡的法向量。=(x,%2),

n-BE=0［―2y+z=0,、

則(，即《八，令z=2,則>=Lx=2,/.n=(2,1,2),

n-BC=0［r+z=0

若線段BP與平面8C'E夾角余弦值為9,

8

則上os(B尸,〃

BPHa2_V35

/.|cOS^SP,/7\-\

BP^n3J2a2—4〃+36=~6~,

?*.33a2-62a+622=0,

A=(-62)2-4x33x622=-78260<0,方程無解,

不存在%，使得線段BP與平面BCE夾角余弦值為!.

7=72.5x0.045+77.5x0.105+82.5x0.25+87.5x0.385+92.5x0.135+97.5x0.08=86，

-=(72.5—86)2X0Q45+(77.5_86)2x0.105+(82.5-86)2x0.25+(87.5-86)2x0.385

+(92.5-86)2x0.135+(97.5-86)2x0.08=36.

(2)解：由題意可得〃=86,a=6,則

/X1P(U-CT<X<Z/+cr)5

P(X>80)=尸(X=-+—--------------------〃-.

因此，從這批傳感芯片中任取一個(gè)，其最高頻率大于80Hz的概率約為3?

(3)解：(i)左=1時(shí)，足球可以滿足賽事要求的概率為四=:，

6

5117

期望成本W(wǎng)(l)=lx?+12x：==；

(ii)%=2時(shí)，足球可以滿足賽事要求的概率為。2=(耳+C]”=史,

\6J6636

QC1QO

期望成本w⑵=2x9+12x9=3=41

36363618

(iii)左=3時(shí)，足球可以滿足賽事要求的概率為03=圖+砥<圖卷.

7S9QQ11

期望成本W(wǎng)⑶=3x萬(wàn)+12X萬(wàn)=5=彳；

(iv)%=4時(shí)，足球可以滿足賽事要求的概率為

期望成本卬(4)=4*慧425+12'73=223

3T

所以，w(z)(i=1,2,3,4)中，W(2)最小.

綜上，k=2,成本最低.

21.解：(1)設(shè)6(-c,0),馬(c,0)(c>0),則/^=卜0-2亞,-6),

PF?=(c_26，曲,

2

:.PFlPF2=8-c+5=4,解得：c=3,;./+y=9;

又尸在雙曲線上，則W=l，"=4,6=5,

，雙曲線的方程為：—-^=1.

45

（2）由（1）得：B,（0,-75）,B,（0,>/5）,

8/=〃與8(〃€2，三點(diǎn)共線,

直線A8斜率顯然存在，可設(shè)48:丫="+石，A(X|,yJ,^(馬,%),

y=kx+45

由，丁/得：（5_4r）/_8石齒—40=0,

---=1

45

5-4rW0

即/且d3,

A=80（10-4J12）>024

8舊k40

X]+x=-

2-5-4萬(wàn)5-4公

.?.BTABIB=U,又與4=（不乂+石），B,B=（x2,y2+75）,

.,.4A?g3=芭超+（y+6）（y2