2023年高考數(shù)學(xué)第53講 空間實(shí)施大平移

第53講空間實(shí)施大平移，精妙玩轉(zhuǎn)線線角

一、知識(shí)聚焦

一、異面直線所成角求解的一般方法

1平移法

通過(guò)平移直線杷異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.平移法求異面直線所成角的一般步驟

如下.

(1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇

特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn).“平移”

可以是單移，也可以是雙移,視需要而定.

(2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角.

(3)尋找:在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

⑷取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是.所以，所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的

補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

2向量法

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩異面直線所在向量的坐標(biāo)，代人向量夾角公式即可求

出.

二、構(gòu)造異面直線所成的角的技巧

(1)當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接過(guò)異面直線上的點(diǎn)平移直線有困難時(shí)，利用該幾

何體中的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)(雙移),找出特殊點(diǎn)是關(guān)鍵.

(2)通過(guò)構(gòu)造輔助平面來(lái)平移直線，或者把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方

體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，從而發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，補(bǔ)形法，空間實(shí)施大平移,精妙玩

轉(zhuǎn)線線角.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1]

⑴異面直線。功所成的角為仇過(guò)空間中定點(diǎn)P與。力都成(角的直線有4條，則。的

取值范圍是.

⑵如圖所示在正四面體ABCD中,E,尸分別是AB,CD的中點(diǎn)，求EF和BC所成的

角.

A

⑶如圖所示在正四面體ABCD中，線段MN是棱AC的中點(diǎn)和ABCD中心的連線而

線段DE是ZVLBZ）的高，求MN和DE所成角的余弦值.

【解題策略】

第⑴問(wèn)，異面直線，指的是不可能找到一個(gè)平面能同時(shí)包含的兩條直線.但它們所成的角

是存在的、如何求出異面直線所成角的大小,通常用平移法.比如本題討論異面直線。功所成

角氏可通過(guò)過(guò)空間定點(diǎn)P分別作的平行線，兩平行線所成的［（）,￡之間的角即為"然

TT

而本題中。的取值范圍是變化的，探究過(guò)定點(diǎn)尸與。涉都成§角的直線有4條時(shí)，。在什么

范圍內(nèi)?若設(shè)過(guò)點(diǎn)P柞l、〃a,1111b，則4與12確定平面a,在a平面內(nèi)作角。的角平分線，此

平分線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又過(guò)點(diǎn)P作角6的補(bǔ)角乃-。的平分線，同樣繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)符合條

件的直線有4條時(shí)確定8的范圍.第⑵、第⑶問(wèn)都是求正四面體上兩異面直線所成的角，通

常是通過(guò)平移化空間為平面，再解三角形求得.一般情況下運(yùn)用余弦定理，也可用原圖形的擴(kuò)

展,每個(gè)四面體都有其外接平行六面體，四面體的棱為平行六面體的面對(duì)角線,正四面體的外

接平行六面體是正方體或者說(shuō)正四面體是正方體的六條面對(duì)角線所構(gòu)成的內(nèi)接圖形.

【解】

7F

⑴作直線4//a,4/，且4c4=尸，則直線4,4所成角為40<“，3，記直線4■12所

在平面為a，在面a內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作角。的角平分線，將此直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),可得到與直線44所

成角都為工角的直線兩條;在面a內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作角。的補(bǔ)角〃一。的角平分線，當(dāng)工心〈工，

323

TTTT

即e〉彳，將此線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)可得到與直線4,4所成角都為y角的直線兩條，從而e的取值

范圍是存：.

(2)【解法一】

如圖所示，取BO的中點(diǎn)M,連接EM,則EM//‘A。，F(xiàn)M//-BC,

=2=2

:.ZEFM是EF與BC所成的角或其補(bǔ)角.

ABC。是正四面體4)=3。且4。，8。，

于是EA/=FM且

即AEMF是等腰直角三角形,ZEFM=45°.即EE與8c所成角為45°.

【解法二】

如圖所示，作正四面體ABCD的外接正方體，則E,E分別為正方體相對(duì)兩個(gè)面的中心,

??EF//BG,于是EF與BC所成角即為NCBG,其大小為45。.

⑶如圖所示，連接ON,延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，可知F為5c中點(diǎn).連接EE取EF三等分點(diǎn)G,

出EG2

使---=—

GF1

連接GM則GN//?！昵褿N=』DE,:.NGNM是MN和DE所成的角或其補(bǔ)角.

3

設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，在AGMN中,GN=@a,GM="a,而

66

MC=-a,NC=—a,cosZMCN=—

233

MN2=MC-+NC2-2MC-NCcosZMCN=-a2,

42

...ssNGN*也+處-吆=述

2NG-MN18

MN和DE所成角為arccos----.

【變式訓(xùn)練】

如圖所示，在正方體ABCD-AgG。中，若E為CC的中點(diǎn)，求鳥(niǎo)。與AE所成角的余弦

值.

【核心例題2]

將邊長(zhǎng)為1的正方形441ao(及其內(nèi)部)繞。。1旋例題.轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示,AC

°

長(zhǎng)為T(mén)，Ag長(zhǎng)為(，其中與c在平面A4,。。的同側(cè).

⑴求三棱雉c—。4瓦的體積.

(2)求異面直線4C與AA所成角的大小.

【解題策略】

本題依據(jù)求兩異面直線所成角的3種基本方法求解.分別為:①立體幾何的平移法;②統(tǒng)

向量的方法;③向量坐標(biāo)法.這3種解法各有特色,正所謂“精妙玩轉(zhuǎn)線線角”.

【解】

小"11V3.G

(1)V=-S〃=-x——xl=——.

33412

(2)解法一(平移法)

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。做直線CG//AV則NCC4為異面直線與。與A4所成的角.在

n

RtAGqq中,B￡=1,CC1=1,因此tanZC,CB,=1,/.ZC,CB,=-

TT

???異面直線BC與AA所成角為w

【解法二】（純向量法）

如圖所示，由

4。=4。+oc,且4A=qo得4c?AA=（4。+ocj-qo=qo-q。+

V2

OCO]O=\B}O^Olo\cosZBlOOi+Q=y/2x]x---=1

2

因此cos(B]C,44])=^=^

TT

???異面直線8c與A4所成的角為

【解法三】（向量坐標(biāo)法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

?總。1

則A(O,1,O),A(0,1,1),cBiI2,A4,=(0,0,1),B,C=(0,-1,-1).

7

因此COS/AA,,B[C)=；=省

\/網(wǎng)&2

,異面直線時(shí)與9所成的角為:

【變式訓(xùn)練1】

如圖所示，已知空間四邊形ABCD中,AB=CD=3,E,F分別是BC,AD上的點(diǎn)，并且

BE:EC=AF:FD=1:2,EF=J7,求A3和8所成角的大小.

【變式訓(xùn)練2】

如圖所示，在四棱錐尸一ABC。中,PD±平面ABC。，PA與平面A3。所成的角為6()。,在

四邊形A8CD中,NA￡>C=ND48=90°,A8=4,CD=l,A￡>=2,求異面直線24與

BC所成角的余弦值.

【核心例題3]

(1)如圖所示，已知平面四邊形ABC。，AB=BC=3,CD=1,AD=&NADC=90°,,沿

直線AC將AAC。翻折成AACD,直線AC與BD所成角的余弦的最大值是,

(2)已知。力為空間中兩條互相垂直的直線，等腰RtAABC的直角邊AC所在直線與

都垂直，斜邊A3以直線AC

①當(dāng)直線A6與。成60。角時(shí),A8與匕成30。角;

②當(dāng)直線45與。成60°角時(shí),A3與方成60°角；

③直線AB與。所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.（填寫(xiě)所有正確的結(jié)論的編號(hào)）

【解題策略】

第Q）問(wèn)，平面圖形折疊問(wèn)題的解題關(guān)鍵是抓住折疊前后角度和長(zhǎng)度的“變”與“不

變”關(guān)系,可以運(yùn)用逆向思維、反其道而行之.由三維空間回歸二維平面（降維處理法）,這樣就

簡(jiǎn)單多了，由APACMMAC可認(rèn)猜測(cè):將AACZ）沿直線AC旋轉(zhuǎn)到AA3C位置時(shí)，點(diǎn)P剛

好落在8C的一個(gè)三等分點(diǎn)F處,此時(shí)即可取得最大值.第（2）問(wèn)，解題的關(guān)鍵是由條件創(chuàng)設(shè)

問(wèn)題變化的情景.抓住旋轉(zhuǎn)這一動(dòng)態(tài)變化構(gòu)思解題方法，由于創(chuàng)設(shè)的情景不同,可以有不同的

解法呈現(xiàn).

【解】

#+（拘2=娓

（1）如圖所示,AC

延長(zhǎng)CD到點(diǎn)P，使〃尸=2,連接AP,由已知得NADP=90。,

AP=百+（府=3,故APAC三ABAC.

作D'E//CA，交AP于點(diǎn)E，連接,則必有BD=BE,ABDE為等腰三角形，故ABDE

為銳角，且等于直線AC與BD所成的角.

設(shè)NBDE為仇令BD'=BE=x,D'E^-CA=^-,

33

x2+-x2

____V6

在20'￡中,85<9=-----------

c2遙3x

2xx-

3

再設(shè)ABCD=a，則x=V32+l2-2x3xlxcosa=V10-6cosa.

易知，當(dāng)以）5。=1時(shí),％=%/取得最小值2,故（COSd）max=￥

6

???直線AC與所成角的余弦的最大值是逅

6

B

(2)【解法一】由旋轉(zhuǎn)軸，創(chuàng)設(shè)圓錐，情景如圖所示，設(shè)即為直線a,EB為直線》，

ACLa,ACVh,

???AC，底面于點(diǎn)C,在底面內(nèi)作BDHa，交圓于點(diǎn)E，連接DE，則DEI!h.在AABD中,

A6=AO=a,當(dāng)直線45與a成60°角時(shí),/45。=60°,故8。=&,。￡=0,

與此同時(shí),BF=DE=41.：.AABF為等邊三角形.

ZABF=60°.

即②正確，①錯(cuò)誤油最小角定理可知③正確；

顯然存在平面ABC1直線a，直線AB與。所成角的最大值為90°.

故④錯(cuò)誤.

,正確的是②③.

【解法二】

如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為以。為圓心,1為半徑的圓.

AB'=(cossin。，-1)，HM=V2，設(shè)AB'與直線a的方向向量n=(0,1,0)的夾角為a,

??n-AB'>/2,.「萬(wàn)