高中數(shù)學(xué)必修五習(xí)題及解析

4/13必修五第一章解三角形1.在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形 D．非鈍角三角形解析：最大邊AC所對(duì)角為B，則cosB＝eq\f(52＋62－82,2×5×6)＝－eq\f(3,20)<0，∴B為鈍角．答案C2．在△ABC中，已知a＝1，b＝eq\r(3)，A＝30°，B為銳角，那么A，B，C的大小關(guān)系為()A．A>B>C B．B>A>CC．C>B>A D．C>A>B解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2).∵B為銳角，∴B＝60°，則C＝90°，故C>B>A.答案C3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(6) D.eq\f(32,3)解:由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(8×sin60°,sin45°)＝eq\f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(6).答案C4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，則eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))的值為()A．5 B．－5C．15 D．－15解析在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(25＋49－64,2×5×7)＝eq\f(1,7).∴eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|·|eq\o(BC,\s\up16(→))|cosB＝5×7×eq\f(1,7)＝5.答案A5．若三角形三邊長(zhǎng)之比是1：eq\r(3)：2，則其所對(duì)角之比是()A．1：2：3 B．1：eq\r(3)：2C．1：eq\r(2)：eq\r(3) D.eq\r(2)：eq\r(3)：2解析設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，eq\r(3)a,2a，設(shè)最大角為A，則cosA＝eq\f(a2＋\r(3)a2－2a2,2·a·\r(3)a)＝0，∴A＝90°.設(shè)最小角為B，則cosB＝eq\f(2a2＋\r(3)a2－a2,2·2a·\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比為1：2：3.答案A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，則此三角形有()A．無解 B．一解C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定解析由eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(9×\f(\r(2),2),6)＝eq\f(3\r(2),4)>1.∴此三角形無解．答案A7．已知△ABC的外接圓半徑為R，且2R(sin2A－sin2C)＝(eq\r(2)a－b)sinB(其中a，b分別為A，B的對(duì)邊)，那么角C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析根據(jù)正弦定理，原式可化為2Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4R2)－\f(c2,4R2)))＝(eq\r(2)a－b)·eq\f(b,2R)，∴a2－c2＝(eq\r(2)a－b)b，∴a2＋b2－c2＝eq\r(2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2),2)，∴C＝45°.答案B8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2.∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴C＝60°，sinC＝eq\f(\r(3),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3).答案D9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則eq\f(sinB,sinC)的值為()A.eq\f(8,5) B.eq\f(5,8)C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,5)解析由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)，解得AC＝3.由正弦定理eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).答案D10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC的大小為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(π,3)解析由余弦定理，得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，∴∠BAC＝eq\f(2π,3).答案A11．有一長(zhǎng)為1km的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要加長(zhǎng)()A．0.5km B．1kmC．1.5km D.eq\f(\r(3),2)km解析如圖，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝eq\f(AC,tan10°)＝2cos210°，∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案B12．已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且A＝75°，則b為()A．2 B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3) D.eq\r(6)－eq\r(2)解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3).第二章數(shù)列1．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=l，a2=2，2an2A．16 B．4 C．22 D．45【解答】解：∵正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴數(shù)列{an2}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴an=3n+2∴a6=3×6-2=4，故選：B2．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題﹣﹣“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加（）A．47尺 B．1629尺 C．815尺【解答】解：設(shè)該婦子織布每天增加d尺，由題意知S30=30×5+30×29故該女子織布每天增加16293．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2aA．16 B．20 C．33 D．120【解答】解：∵a1=1，an+1=2a∴a2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=2a5=14∴其前6項(xiàng)之和是1+2+3+6+7+14=33故選C．4．定義np1+p2+…+pn為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…pn的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{aA．111 B． 910C．【解答】解：由已知得，na1+a2+…+an當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，驗(yàn)證知當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴an=4n﹣1，∴bn=∴1b1b2+1b25．已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的兩個(gè)根，則S6=63．【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的兩個(gè)根，所以a1=1，a3=4．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2則S6=a6．如圖給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij（i≥j，i，j∈N*），則a53等于，amn=（m≥3）．113【解答】解：①第k行的所含的數(shù)的個(gè)數(shù)為k，∴前n行所含的數(shù)的總數(shù)=1+2+…+n=n(n+1)2a53表示的是第5行的第三個(gè)數(shù)，由每一列數(shù)成等差數(shù)列，且第一列是首項(xiàng)為12，公差d=12-又從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=3834=12，∴第5行是以為首項(xiàng)，②amn表示的是第m行的第n個(gè)數(shù)，由①可知：第一列的第m個(gè)數(shù)=14+m-1故答案分別為516，7．等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=1nan，求數(shù)列{bn【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a1，d，進(jìn)而可求an（II）由bn【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d∵a7=4，a19=2a9，∴a解得，a1=1，d=12∴（II）∵b∴S8．已知等差數(shù)列{an}，的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=2，S5=15，數(shù)列{bn}滿足b1=12，bn+1=n+1（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，fn將bn+1=n+12nbn整理，得到{bnn（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和Tn，化簡(jiǎn)f（n），運(yùn)用相鄰兩項(xiàng)的差f（n+1）﹣f（n），判斷f（n）的增減性，從而判斷f（n）是否存在最大值．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則a1+d=25a1+10d=15即{bnn}是首項(xiàng)為12∴bnn=（2）由（1）得：Tn12相減，得12Tn=1∴Tn=2-n+22n∴fn∴fn+1當(dāng)n＞3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，數(shù)列{f（n）}是遞減數(shù)列，又f1=1,f∴f（n）存在最大值，且為329．設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)n和為Sn，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有（1）設(shè)bn=an+5（2）求數(shù)列nan的前n解：（1）∵Sn=2an兩式相減，得S∴an+1=2∴an+1+3=2(a∴數(shù)列bn由已知得S1=2a∴首項(xiàng)b1=a1+3，公比q=2，10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為Sn，點(diǎn)n,Snn,n∈N*均在函數(shù)（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2）設(shè)bn=3an?an+1，Tn為數(shù)列{bn}的前解：（1）∵點(diǎn)n,Snn在函數(shù)y=3x∴a1=s1=1當(dāng)（2）∴，使得12(1-16n-1)<m20第三章不等式1.若b<a<0，則下列不等式中正確的是()A.1a>1b B.|a|>|b|C.ba+a【解析】選C.取b=-2，a=-1代入驗(yàn)證得C正確.2.(2015·贛州高二檢測(cè))不等式x-4xA.(-∞，-1)∪(3，+∞) B.(-1，1)∪(3，+∞)C.(-∞，-1)∪(1，3) D.(-1，3)【解析】選C.不等式x-4x-1即(x-3.(2015·太原高二檢測(cè))若m<n，p<q且(q-m)(q-n)<0，(p-m)(p-n)<0，則m，n，p，q從小到大排列順序是()A.p<m<n<q B.m<p<q<nC.p<q<m<n D.m<n<p<q【解析】選B.將p，q看成變量，則m<p<n，m<q<n.4.若變量x，y滿足約束條件x≥A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.可行域是由A(-1，-1)，B(-1，4)，C(1，1)構(gòu)成的三角形，可知目標(biāo)函數(shù)過C時(shí)最大，最大值為3.5.(2015·邯鄲高二檢測(cè))已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是()A.3 B.4 C.92 D.【解析】選B.考查基本不等式x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y2整理得x+2y2+4x+2y即x+2y-又x+2y>0，所以x+2y≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=1時(shí)取等號(hào).6.設(shè)不等式組x+y-11≥A.(1，3] B.[2，3]C.(1，2] D.[3，+∞)【解析】選A.作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)(2，9)時(shí)，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，故a的取值范圍為(1，3].7.當(dāng)x>1時(shí)，不等式x+1xA.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[3，+∞) D.(-∞，3]【解析】選D.因?yàn)閤>1，所以x-1>0，則x+1x-18.(2015·恩施高二檢測(cè))已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，3)和(1，1)兩點(diǎn)，若0<c<1，則a的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，2)C.[2，3) D.[1，3][來源:Z,xx,k.Com]【解題指南】由函數(shù)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得a，b，c的關(guān)系，又因?yàn)?<c<1，由此確定a的取值范圍.【解析】選B.a-9.(2015·鐵嶺高二檢測(cè))某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為()A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】選B.設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱.則x+y≤10.已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB→·AC→=23，∠BAC=π6，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為12，x，y，則1xA.16 B.18 C.20 D.24【解析】選B.因?yàn)锳B→·AC→=23，∠BAC=∴|AB→||AC→|cosπ6=23，∴bc=4，∴S△ABC=12bcsin∵△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為12，x，y，∴12+x+y=1，化為x+y=1∴1x+4y=2(x+y)1x+4當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=13時(shí)取等號(hào)，故1x+11.已知兩點(diǎn)O(0，0)，A(1，1)及直線l：x+y=a，它們滿足：O，A有一點(diǎn)在直線l上或O，A在直線l的兩側(cè)，設(shè)h(a)=a2+2a+3，則使不等式x2+4x-2≤h(a)恒成立的x的取值范圍是()A.[0，2] B.[-5，1] C.[3，11] D.[2，3]【解析】選B.由O，A有一點(diǎn)在直線l上可得a=0或a=2，[來源:Zxxk.Com]由O，A在直線l的兩側(cè)可得a(a-2)<0，解得0<a<2，故0≤a≤2，又函數(shù)h(a)=(a+1)2+2在[0，2]上單調(diào)遞增，所以h(a)max=h(2)=11，h(a)min=h(0)=3，由x2+4x-2≤h(a)恒成立，得x2+4x-2≤3，解不等式可得-5≤x≤1.12.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+y4A.(-1，4) B.(-∞，-1)∪(4，+∞)C.(-4，1) D.(-∞，0)∪(3，+∞)【解析】選B.因?yàn)椴坏仁絰+y4<m2-3m有解，所以x+y4因?yàn)閤>0，y>0，且1x+4所以x+y4=x+y41x+4當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y4x，即x=2，y=8時(shí)取等號(hào)，所以故m2-3m>4，即(m+1)(m-4)>0，解得m<-1或m>4，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-1)∪(4，+∞).13.已知不等式x2-ax-b<0的解集為(2，3)，則不等式bx2-ax-1>0的解集為__________.【解析】依題意知方程x2-ax-b=0的兩根為2，3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得a=5，b=-6，所以不等式bx2-ax-1>0為6x2+5x+1<0，解得-12<x<-1答案：-14.(2015·揚(yáng)州高二檢測(cè))不等式4x-3·2x+2<0的解集是__________.【解析】由4x-3·2x+2<0?(2x)2-3·2x+2<0?(2x-1)(2x-2)<0?1<2x<2.所以0<x<1，故不等式的解集是{x0<x<1}.答案：{x0<x<1}15.已知f(x)=32x-k·3x+2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為________.【解析】由f(x)>0，得32x-k·3x+2>0，解得k<3x+23x，而3x+23x≥2答