2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題六函數(shù)與導數(shù)微專題1函數(shù)的圖象與性質小題考法3函數(shù)的圖象及應用

小題考法3函數(shù)的圖象及應用(1)(2023·汕頭二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex（2x－1）,x－1)，則f(x)的大致圖象為()(2)(2023·惠州一模)“家在花園里，城在山水間．半城山色半城湖，美麗惠州和諧家園……”一首婉轉動聽的《美麗惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市環(huán)境．下圖1是惠州市風景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在x軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為()A．y＝|x|eq\r(4－x2)B．y＝xeq\r(4－x2)C．y＝eq\r(－x2＋2|x|)D．y＝eq\r(－x2＋2x)(3)(2023·新鄉(xiāng)三模)設函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x－2)＝2f(x)，且當x∈(0，2]時，f(x)＝x(2－x)．若對任意x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤eq\f(3,8)成立，則a的取值范圍是()A．[eq\f(7,2)，＋∞)B．[eq\f(5,2)，＋∞)C．(－∞，－eq\f(3,2)]D．(－∞，－eq\f(5,2)]解析：(1)f(x)＝eq\f(ex（2x－1）,x－1)，定義域為{x|x≠1}，所以f′(x)＝eq\f(ex（2x2－3x）,（x－1）2)，令f′(x)>0?x∈(－∞，0)∪(eq\f(3,2)，＋∞)，所以f(x)在(－∞，0)和(eq\f(3,2)，＋∞)上單調(diào)遞增，排除A、D，當x<0時，2x－1<0，x－1<0，所以f(x)>0，排除B.故選C.(2)由圖可知，“心形”關于y軸對稱，所以上部分的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝xeq\r(4－x2)和y＝eq\r(－x2＋2x)都不滿足，故排除B、D；而y＝|x|eq\r(4－x2)的圖象過點(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且0<x<2時，y＝|x|eq\r(4－x2)≤eq\f(x2＋4－x2,2)＝2，當且僅當x＝eq\r(2)時，等號成立，即函數(shù)y＝|x|eq\r(4－x2)的最大值為2，又“心形”函數(shù)的最大值為1，故排除A；由y＝eq\r(－x2＋2|x|)的圖象過點(0，0)，(－2，0)，(2，0)，且0<x<2時，y＝eq\r(－x2＋2|x|)＝eq\r(－x2＋2x)＝eq\r(－（x－1）2＋1)≤1，當且僅當x＝1時，等號成立，即函數(shù)y＝eq\r(－x2＋2|x|)的最大值為1，滿足題意，故C滿足．故選C.(3)因為當x∈(0，2]時，f(x)＝x(2－x)；f(x－2)＝2f(x)，所以f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，即若f(x)在(0，2]上的點的橫坐標增加2，則對應y值變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)；若減少2，則對應y值變?yōu)樵瓉淼?倍．當x∈(0，2]時，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，f(x)max＝f(1)＝1，故當a<0時，對任意x∈[a，＋∞)，f(x)≤eq\f(3,8)不成立，當x∈(2，4]時，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)＝－eq\f(1,2)(x－3)2＋eq\f(1,2)∈[0，eq\f(1,2)]，同理當x∈(4，6]時，f(x)＝－eq\f(1,4)(x－5)2＋eq\f(1,4)∈[0，eq\f(1,4)]，以此類推，當x>4時，必有f(x)≤eq\f(3,8).函數(shù)f(x)和函數(shù)y＝eq\f(3,8)的圖象如圖所示：因為當x∈(2，4]時，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－3)2＋eq\f(1,2)∈[0，eq\f(1,2)]，令－eq\f(1,2)(x－3)2＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，解得x1＝eq\f(7,2)，x2＝eq\f(5,2)(舍去)，因為當x∈[a，＋∞)時，f(x)≤eq\f(3,8)成立，所以a≥eq\f(7,2).故選A.答案：(1)C(2)C(3)A1．已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象的關鍵是根據(jù)選項中圖象的異同點選擇函數(shù)對應的性質進行具體分析推理，常用排除法．2．數(shù)形結合是解決函數(shù)問題經(jīng)常用到的數(shù)學方法．1．(2023·廣州一模)函數(shù)f(x)＝x－eq\f(sinx,x3)在[－π，π]上的圖象大致為()解析：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x－eq\f(sinx,x3)＝eq\f(x4－sinx,x3)，在[－π，π]上，f(－x)＝－eq\f(x4＋sinx,x3)有f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除C、D，f(－eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)－eq\f(1,（－\f(π,2)）3)<0，排除A，故選B.答案：B2.(2023·廣東模擬)已知函數(shù)y＝f(x)部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝xsin2xB．f(x)＝xsinxC．f(x)＝2|x|sinxD．f(x)＝2|x|sin2x解析：由圖象知f(x)＝0，x∈[0，π]有三個零點經(jīng)驗證只有A、D滿足，排除B、C選項，A中函數(shù)滿足f(－x)＝－xsin(－2x)＝xsin2x＝f(x)為偶函數(shù)，D中函數(shù)滿足f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)為奇函數(shù)，而圖象關于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，選D.故選D.答案：D3．(2023·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x·|x－a|的圖象與直線y＝－4的公共點不少于兩個，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－4B．a(chǎn)≤－4C．－4≤a<0D．a(chǎn)>－4解析：f(x)＝x·|x－a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－a），x≥a，,－x（x－a），x<a，))①當a>0時，其圖象如圖1.函數(shù)f(x)＝x·|x－a|的圖象與直線y＝－4的公共點只有1個，不符合題意．②當a<0時，其