電工電子技術(shù)及應(yīng)用 課件 第八章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

8.1數(shù)字信號與數(shù)字電路8.2數(shù)制和碼制8.3邏輯代數(shù)基礎(chǔ)8.4邏輯函數(shù)及其表示方法8.5邏輯函數(shù)的化簡8.6具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡8.1數(shù)字信號與數(shù)字電路８．１．１連續(xù)量和離散量連續(xù)量通常稱做模擬量，它在時間上和數(shù)量上是連續(xù)的物理量。如溫度計用水銀長度來表示溫度高低。其特點(diǎn)是數(shù)值由連續(xù)量表示，其運(yùn)算過程也是連續(xù)的。溫度變化的連續(xù)量曲線圖如圖８．１．１所示。離散量又稱數(shù)字量，它是將模擬量離散化之后得到的物理量。即任何儀器設(shè)備對于模擬量都不可能有完全精確的表示，因為它們都有一個采樣周期，在該采樣周期內(nèi)，其物理量的數(shù)值都是不變的，而實際上的模擬量則是變化的。這樣就將模擬量離散化，從而成為離散量。如一天中以每小時為單位測量一次溫度的值，則得到２４ｈ內(nèi)離散的時間點(diǎn)上的溫度值，如圖８．１．２所示。８．１．２數(shù)字波形

數(shù)字波形是邏輯電平對時間的圖形表示。通常，將只有兩個離散值的波形稱為脈沖波形，在這一點(diǎn)上脈沖波形與數(shù)字波形是一致的，只不過數(shù)字波形用邏輯電平表示，而脈沖波形用電壓值表示而已。與模擬波形的定義相同，數(shù)字波形也有周期性和非周期性之分，如圖８．１．３所示。

周期性數(shù)字波形同樣用周期Ｔ或頻率ｆ來描述，而脈沖波形的頻率常稱為脈沖重復(fù)率。脈沖波形的參數(shù)如下：（１）脈沖寬度ｔｗ：表示脈沖作用的時間。（２）占空比ｑ：表示脈沖寬度ｔｗ占整個周期Ｔ的百分?jǐn)?shù)，其表達(dá)式為圖８．１．４所示為周期性數(shù)字波形及其周期、頻率、脈沖寬度和占空比。在實際數(shù)字系統(tǒng)中，數(shù)字波形不能立即上升或下降，而要經(jīng)歷一段時間，因此，有必要定義上升時間ｔｒ和下降時間ｔｆ。圖８．１．４所示的數(shù)字波形是理想的，通常認(rèn)為它的ｔｒ和ｔｆ均為０。實際的數(shù)字波形是非理想的，它的ｔｒ和ｔｆ均為有限值，如圖８．１．５所示。

脈沖波形上升時間的定義是從脈沖波形幅值的１０％～９０％所經(jīng)歷的時間。脈沖波形的下降時間則相反，即從脈沖幅值的９０％下降到１０％所經(jīng)歷的時間。ｔｒ和ｔｆ的典型值約為幾納秒（ｎｓ），視不同類型的器件和電路而異。脈沖寬度的定義是脈沖幅值為５０％時前后兩個時間點(diǎn)所跨越的時間。８．２數(shù)制和碼制８．２．１進(jìn)位計數(shù)制數(shù)字電路經(jīng)常遇到的技術(shù)問題是：人們在日常生活中，習(xí)慣于用十進(jìn)制數(shù)，而在數(shù)字系統(tǒng)中，例如數(shù)字計算機(jī)中，多采用二進(jìn)制數(shù)，有時也采用八進(jìn)制或十六進(jìn)制數(shù)。這就需要進(jìn)行數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換。在講述數(shù)制之前，必須先說明以下幾個概念。·基數(shù)———在某種數(shù)制中，允許使用的數(shù)字符號的個數(shù)，稱為這種數(shù)制的基數(shù)。·系數(shù)———任一種Ｎ進(jìn)制中，第ｉ位的數(shù)字符號Ｋｉ，稱為第ｉ位的系數(shù)?！?quán)———任一種Ｎ進(jìn)制中，

稱為第ｉ位的權(quán)。１．幾種常用數(shù)制１）十進(jìn)制在十進(jìn)制中，每一位有０～９十個數(shù)碼，計數(shù)的基數(shù)是１０。超過９的數(shù)必須用多位數(shù)表示，其中低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢十進(jìn)一”，故稱為十進(jìn)制。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：任意一個十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱為位權(quán)展開式，展開形式如下所示：如：從計數(shù)電路的角度來看，采用十進(jìn)制是不方便的。因為構(gòu)成計數(shù)電路的基本思路是把電路的狀態(tài)與數(shù)碼對應(yīng)起來，而十進(jìn)制的十個數(shù)碼，必須由十個不同的而且能嚴(yán)格區(qū)分的電路狀態(tài)與之對應(yīng)，這樣將在技術(shù)上帶來許多困難，而且也不經(jīng)濟(jì)，因此在計數(shù)電路中一般不直接采用十進(jìn)制。２）二進(jìn)制二進(jìn)制在目前數(shù)字電路中應(yīng)用最廣泛。在二進(jìn)制中，每一位僅有０和１兩個數(shù)碼，計數(shù)的基數(shù)是２。低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢二進(jìn)一”，故稱為二進(jìn)制。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：２．幾種進(jìn)制間的對應(yīng)關(guān)系十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制間的對應(yīng)關(guān)系如表８．２．１所示。８．２．２數(shù)值之間的轉(zhuǎn)換１．非十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制非十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是：把各個非十進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開求和即可。２．十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為其他進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制的方法分為整數(shù)和小數(shù)部分。（１）整數(shù)部分轉(zhuǎn)換采用除基取余法。即把十進(jìn)制整數(shù)Ｄ轉(zhuǎn)換成Ｎ進(jìn)制數(shù)的步驟如下：①將Ｄ除以新進(jìn)位制基數(shù)Ｎ，記下所得的商和余數(shù)。②將上一步所得的商再除以Ｎ，記下所得商和余數(shù)。③重復(fù)步驟②，直到商為０。④將各個余數(shù)轉(zhuǎn)換成Ｎ進(jìn)制的數(shù)碼，并按照和運(yùn)算過程相反的順序把各個余數(shù)排列起來，即為Ｎ進(jìn)制的數(shù)。（２）小數(shù)部分轉(zhuǎn)換采用乘基取整法。即把十進(jìn)制的純小數(shù)Ｄ轉(zhuǎn)換成Ｎ進(jìn)制數(shù)的步驟如下：①將Ｄ乘以新進(jìn)位制基數(shù)Ｎ，記下整數(shù)部分。②將上一步乘積中的小數(shù)部分再乘以Ｎ，記下整數(shù)部分。③重復(fù)步驟②，直到小數(shù)部分為０或者滿足精度要求為止。④將各步求得的整數(shù)轉(zhuǎn)換成Ｎ進(jìn)制的數(shù)碼，并按照和運(yùn)算過程相同的順序排列起來，即為所求的Ｎ進(jìn)制數(shù)。３．二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制與八進(jìn)制之間由于正好滿足

關(guān)系，故轉(zhuǎn)換十分方便。１）二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制方法：根據(jù)它們在數(shù)位上的對應(yīng)關(guān)系，將二進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制。每三位一組構(gòu)成一位八進(jìn)制數(shù)。整數(shù)部分從最低位開始，小數(shù)部分從最高位開始，每三位二進(jìn)制一組，當(dāng)最后一組不夠三位時，應(yīng)在整數(shù)部分的左側(cè)和小數(shù)部分的右側(cè)添加“０”，湊足三位。４．二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換１）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)方法：根據(jù)它們在數(shù)位上的對應(yīng)關(guān)系，將二進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制，每四位一組構(gòu)成一位十六進(jìn)制數(shù)。整數(shù)部分從最低位開始，小數(shù)部分從最高位開始，每四位二進(jìn)制一組，當(dāng)最后一位不夠四位時，應(yīng)在整數(shù)部分的左側(cè)和小數(shù)部分的右側(cè)添加“０”，湊足四位。８．２．３二進(jìn)制編碼在日常生活中通常習(xí)慣使用十進(jìn)制，而計算機(jī)硬件是基于二進(jìn)制的，因此需要用二進(jìn)制編碼表示十進(jìn)制的０～９十個碼元，即ＢＣＤ碼。至少要用四位二進(jìn)制數(shù)才能表示０～９，因為四位二進(jìn)制有１６種組合。現(xiàn)在的問題是要在１６種組合中選出１０個，分別表示０～９，故不同的組合將構(gòu)成不同的ＢＣＤ碼。

由表８．２２可見，用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個碼字來表示十進(jìn)制數(shù)碼，因各位的權(quán)值依次為８、４、２、１，故稱８４２１ＢＣＤ碼；５４２１碼的權(quán)值依次為５、４、２、１；２４２１碼的權(quán)值依次為２、４、２、１；余３碼由８４２１碼加００１１得到；格雷碼是一種循環(huán)碼，其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個碼字，僅有一位代碼不同，其他位相同。８．３邏輯代數(shù)基礎(chǔ)８．３．１邏輯的相關(guān)概念１．邏輯和邏輯值所謂邏輯，是指事物的前因和后果所遵循的規(guī)律。當(dāng)兩個二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算，這種運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算。正邏輯就是用“１”表示條件滿足或事件發(fā)生；用“０”表示條件不滿足或事件沒有發(fā)生。負(fù)邏輯就是用“０”表示條件滿足或事件發(fā)生；用“１”表示條件不滿足或事件沒有發(fā)生。本書采用正邏輯。應(yīng)該注意的是，邏輯值“１”和“０”與二進(jìn)制數(shù)字“１”和“０”是完全不同的概念，它們不表示數(shù)量的大小，而是表示不同的邏輯狀態(tài)。２．邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)是一種二值代數(shù)系統(tǒng)，任何邏輯變量的取值范圍僅是“０”和“１”兩個值。３．邏輯變量和邏輯函數(shù)邏輯變量：如果一個事物的發(fā)生與否具有排中性，即只有完全對立的兩種可能性，則可將其定義為一個邏輯變量。邏輯函數(shù)：若一個邏輯問題的條件和結(jié)果均具有邏輯特性，則可分別用條件邏輯變量和結(jié)果邏輯變量表示，通常稱結(jié)果邏輯變量為條件邏輯變量的函數(shù)。８．３．２邏輯代數(shù)中的基本運(yùn)算

在邏輯代數(shù)中有或、與、非三種基本邏輯運(yùn)算，這三種基本邏輯運(yùn)算的開關(guān)模擬電路圖如圖8.3.1所示。運(yùn)算是一種函數(shù)關(guān)系，它可以用文字描述，亦可以用邏輯表達(dá)式描述，還可以用表格或圖形來描述。描述邏輯關(guān)系的表格為真值表。下面分別討論三種基本的邏輯運(yùn)算。１．或運(yùn)算———邏輯加

有一個事件，當(dāng)決定該事件的諸變量中只要有一個存在，該件事就會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“或”邏輯關(guān)系，也稱為邏輯加，或者稱為或運(yùn)算、邏輯加運(yùn)算。

例如在如圖８．３．１（ａ）所示電路中，燈Ｆ亮這個事件由兩個條件決定，當(dāng)開關(guān)Ａ與Ｂ中有一個閉合時，燈Ｆ就亮。因此燈Ｆ與開關(guān)Ａ與Ｂ滿足或邏輯關(guān)系，表示為讀成“Ｆ等于Ａ或Ｂ”，或者“Ｆ等于Ａ加Ｂ”。若以Ａ、Ｂ表示開關(guān)的狀態(tài)，“１”表示開關(guān)閉合，“０”表示開關(guān)斷開；以Ｆ表示燈的狀態(tài)，“１”表示燈亮，“０”表示燈滅，則根據(jù)邏輯關(guān)系得到表８．３．１，該表稱為真值表。真值表是反映邏輯變量（Ａ、Ｂ）與函數(shù)（Ｆ）因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。這里必須注意的是１＋１＝１。２．與運(yùn)算———邏輯乘有一個事件，當(dāng)決定該事件的諸變量中必須全部存在，該件事才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“與”邏輯關(guān)系。例如在如圖８．３．１（ｂ）所示電路中，當(dāng)開關(guān)Ａ與Ｂ都閉合時，燈Ｆ才亮，因此它們之間滿足與邏輯關(guān)系。與邏輯也稱為邏輯乘，其真值表如表８．３．２所示，邏輯表達(dá)式為讀成“Ｆ等于Ａ與Ｂ”，或“Ａ乘Ｂ”。“與”邏輯和“或”邏輯的輸入變量不一定只有兩個，可以有多個。３．非運(yùn)算———非邏輯關(guān)系當(dāng)一事件的條件滿足時，該事件不會發(fā)生，而條件不滿足時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“非”邏輯關(guān)系。例如在如圖８．３．１（ｃ）所示電路中，當(dāng)開關(guān)Ａ斷開時，燈Ｆ才亮，因此它們之間滿足非邏輯關(guān)系。真值表見表８．３．３。邏輯表達(dá)式為讀成“Ｆ等于Ａ非”。在實際應(yīng)用中，與、或、非邏輯運(yùn)算的實現(xiàn)由與之對應(yīng)的基本單元電路來完成，通常把它們稱為與門、或門和非門，可以用相應(yīng)的邏輯符號來表示，如圖８．３．２所示。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種最基本的邏輯運(yùn)算：邏輯與、邏輯或和邏輯非，利用這三種基本邏輯運(yùn)算，可以解決所有的邏輯運(yùn)算問題，因此它們構(gòu)成了邏輯運(yùn)算的“完備邏輯集”。即任何一個邏輯問題都可以用與、或、非運(yùn)算的組合來實現(xiàn)。在處理復(fù)雜的邏輯問題時，通?？梢杂门c、或、非之間的不同組合構(gòu)成復(fù)合邏輯運(yùn)算，也就出現(xiàn)了相應(yīng)的復(fù)合門電路。常見的復(fù)合門電路有與非門、或非門、與或非門、異或門和同或門電路等。４．與非門電路與非門電路相當(dāng)于一個與門和一個非門的組合，可完成以下邏輯表達(dá)式的運(yùn)算：與非門電路用如圖８．３．３所示的邏輯符號表示，通過對與非門所完成的運(yùn)算分析可知，與非門的邏輯功能是：只有當(dāng)所有的輸入端都是高電平時，輸出端才是低電平；而輸入端只要有低電平，輸出必為高電平。５．或非門電路或非門電路相當(dāng)于一個或門和一個非門的組合，可完成以下邏輯表達(dá)式的運(yùn)算：或非門電路用如圖８．３．４所示的邏輯符號表示。通過對或非門所完成的運(yùn)算分析可知，或非門的邏輯功能是：只有當(dāng)所有的輸入端都是低電平時，輸出端才是高電平；而輸入端只要有高電平，輸出必為低電平。６．與或非門電路與或非門電路相當(dāng)于兩個與門、一個或門和一個非門的組合，可完成以下邏輯表達(dá)式的運(yùn)算：與或非門電路用如圖８．３．５所示的邏輯符號表示。通過對與或非門所完成的運(yùn)算分析可知，與或非門的邏輯功能是：由于Ａ、Ｂ之間以及Ｃ、Ｄ之間都是與運(yùn)算關(guān)系，故只要Ａ、Ｂ或Ｃ、Ｄ任何一組同時為１，輸出Ｆ就是０；只有當(dāng)每一組輸入都不全是１時，輸出Ｆ才是１。與或非門電路也可以由多個與門和一個或門、一個非門組合而成，從而具有更強(qiáng)的邏輯運(yùn)算功能。７．異或門電路異或門電路可以完成邏輯異或運(yùn)算，運(yùn)算符號用“⊕”表示。異或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為由對異或運(yùn)算的規(guī)則分析可得出結(jié)論：當(dāng)兩個變量取值相同時，運(yùn)算結(jié)果為０；當(dāng)兩個變量取值不同時，運(yùn)算結(jié)果為１。如推廣到多個變量異或時，當(dāng)變量中１的個數(shù)為偶數(shù)時，運(yùn)算結(jié)果為０；１的個數(shù)為奇數(shù)時，運(yùn)算結(jié)果為１。異或門電路用如圖８．３．６所示的邏輯符號表示，表８．３．４說明邏輯表達(dá)式：也可完成異或運(yùn)算。所以異或運(yùn)算也可以用與、或、非運(yùn)算的組合完成。８．同或門電路同或門電路可以完成邏輯同或運(yùn)算，運(yùn)算符號用“☉”表示。同或運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為同或運(yùn)算的規(guī)則正好和異或運(yùn)算相反，同或門電路用如圖８．３．７所示的邏輯符號表示。８．３．３邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式表８．３．５給出了邏輯代數(shù)的基本公式。這些公式也稱為布爾恒等式。反演律公式可以推廣到多個變量：這些基本定律可以直接利用真值表證明，如果等式兩邊的真值表相同，則等式成立。８．３．４邏輯代數(shù)的三個基本定理１．代入定理任何一個含有變量Ａ的等式，如果將所有出現(xiàn)Ａ的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入定理。例如，在Ｂ·Ａ＋Ｃ()＝ＢＡ＋ＢＣ中將所有出現(xiàn)Ａ的地方都代以函數(shù)Ａ＋Ｄ，則等式仍成立，即得２．反演定理對于任何一個邏輯表達(dá)式Ｆ，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“０”換成“１”，“１”換成“０”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Ｆ的反函數(shù)（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演定理。在使用反演定理時，還需注意遵守以下兩個規(guī)則：（１）仍需遵守“先括號、然后乘、最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。（２）不屬于單個變量上的反號應(yīng)該保留不變。３．對偶定理對偶的概念為：在一個邏輯函數(shù)式Ｆ中，實行加乘互換，“０”、“１”互換，得到的新的邏輯式記為則稱為Ｆ的對偶式（注意原反不能互換）。對偶規(guī)則為：有一邏輯等式，將等號兩邊進(jìn)行對偶變換，所得到的新的邏輯式仍然相等。顯然對對偶式再求對偶，應(yīng)該得到原函數(shù)Ｆ，即用對偶規(guī)則去觀察基本公式，發(fā)現(xiàn)“與”和“或”、“與或型”和“或與型”的公式存在對偶關(guān)系。這樣在記憶基本公式時，只需記住基本公式的一半，而另一半按對偶規(guī)則即可求出。８．４邏輯函數(shù)及其表示方法８．４．１邏輯函數(shù)如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫做：Ｆ＝ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，…）由于變量和輸出（函數(shù)）的取值只有０和１兩種狀態(tài)，故Ｆ是二值邏輯函數(shù)。任何一件具體的因果關(guān)系都可以用一個邏輯函數(shù)來描述。例如，圖８．４．１所示的一個舉重裁判電路，可以用一個邏輯函數(shù)描述它的邏輯功能。比賽規(guī)定在一名主裁判和兩名副裁判中，必須有兩人以上（而且必須包括主裁判）認(rèn)定運(yùn)動員的動作合格，試舉才算成功。開關(guān)Ａ由主裁判控制，開關(guān)Ｂ和Ｃ分別由兩名副裁判控制。運(yùn)動員舉起杠鈴后，裁判認(rèn)為動作合格就合上開關(guān)，否則不合。顯然指示燈Ｆ的狀態(tài)（亮與暗）是開關(guān)Ａ、Ｂ、Ｃ狀態(tài)（合上與斷開）的函數(shù)。

若以１表示開關(guān)閉合，０表示開關(guān)斷開；以１表示燈亮，以０表示燈暗，則指示燈Ｆ是開關(guān)Ａ、Ｂ、Ｃ的二值邏輯函數(shù)，即

Ｆ＝ｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ）８．４．２邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)除用文字描述以外，還有五種描述形式：真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖。在此先介紹真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和波形圖，卡諾圖將在８．５節(jié)中詳細(xì)介紹。１．真值表真值表：將輸入變量各種可能的取值組合及其對應(yīng)的輸出函數(shù)值排列在一起而組成的表格。例如：用真值表表示一個舉重裁判電路的邏輯關(guān)系（設(shè)有三個裁判Ａ、Ｂ、Ｃ）。分析：輸入變量Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)三個裁判，個人認(rèn)為通過，取值為“１”，否則，為“０”；輸出變量Ｆ對應(yīng)舉重結(jié)果，結(jié)果通過，取值為“１”，否則，為“０”。則可列出所有可能的情況，得到的真值表見表８．４．１。優(yōu)點(diǎn)：直觀明了，便于將實際邏輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式。缺點(diǎn)：難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換；變量較多時，列函數(shù)真值表較繁瑣。２．邏輯函數(shù)式將輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，就得到了所需的邏輯函數(shù)式。對于每一個邏輯函數(shù)式都對應(yīng)一種邏輯電路。而同一個邏輯函數(shù)式又有多種不同的表達(dá)形式。例如：３．邏輯圖邏輯圖：用基本邏輯單元和邏輯部件的邏輯符號構(gòu)成的變量流程圖。例如：要畫出表達(dá)式Ｆ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ對應(yīng)的邏輯電路圖，只要用邏輯運(yùn)算的圖形符號代替表達(dá)式中的代數(shù)運(yùn)算符號便可得到如圖８．４．２所示的邏輯圖。優(yōu)點(diǎn)：最接近實際電路。缺點(diǎn)：不能直接進(jìn)行運(yùn)算和變換；所表示的邏輯關(guān)系不直觀。４．波形圖如果將邏輯函數(shù)輸入變量的每一種可能出現(xiàn)的取值與對應(yīng)的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到表示該函數(shù)的波形圖，例如：已知Ａ、Ｂ的波形如圖８．４．３所示，畫出Ｆ＝ＡＢ的波形。５．各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換既然同一個邏輯函數(shù)可以用不同的方法來描述，那么各方法之間必然能相互轉(zhuǎn)換。１）真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換由真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法如下：（１）找出真值表中使邏輯函數(shù)Ｆ＝１的那些輸入變量取值的組合。（２）每組輸入變量取值的組合對應(yīng)一個乘積項，其中取值為１的寫入原變量，取值為０的寫入反變量。（３）將這些乘積項相加，即得Ｆ的邏輯函數(shù)式。由邏輯函數(shù)式列出真值表只需把輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐個代入邏輯式中求出函數(shù)值，列表即可得到真值表。２）邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換從給定的邏輯函數(shù)式轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯圖時，只要用圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的邏輯運(yùn)算符號并按運(yùn)算優(yōu)先順序?qū)⑺鼈冞B接起來，就可以得到所求的邏輯圖。從給定的邏輯圖轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯函數(shù)式時，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號的輸出邏輯式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)式。３）波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換在從已知的邏輯函數(shù)波形圖求對應(yīng)的真值表時，首先需要從波形圖上找出每個時間段里輸入變量與函數(shù)輸出的取值，然后將這些輸入、輸出取值對應(yīng)列表，就得到了所求的真值表。在將真值表轉(zhuǎn)換為波形圖時，只需將真值表中所有的輸入變量與對應(yīng)的輸出變量取值依次排列畫出以時間為橫坐標(biāo)的波形，就得到了所求的波形圖。８．４．３邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式先介紹一下最小項的含義。定義：在ｎ變量的邏輯函數(shù)中，如果ｍ為包含ｎ個因子的乘積項，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在ｍ中出現(xiàn)一次，則稱ｍ是ｎ個變量的最小項。簡單地說，最小項就是包含全部變量組合的與項。例如：就是三個變量的最小項組合，共８個（即個）。所以ｎ變量的最小項應(yīng)該有個。為了分析最小項的性質(zhì)，給出了三個變量的所有最小項的真值表，如表８．４．２所示。最小項的性質(zhì)：（１）在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值等于１。（２）任意兩個不同最小項之積恒為０。（３）全體最小項的邏輯和恒為１。（４）兩個邏輯相鄰的最小項之和可以合并為一項，從而消去一對因子。在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值等于１；例如，在三個變量Ａ、Ｂ、Ｃ的最小項中，當(dāng)Ａ＝Ｂ＝１、Ｃ＝０時，如果把的取值１１０看做一個二進(jìn)制數(shù)，那么它所代表的十進(jìn)制數(shù)就是６。為了便于使用方便，將這個最小項記作ｍ６。按照這一約定，就得到了三變量最小項的編號表，如表８．４．３所示。若兩個最小項只有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有邏輯相鄰性。例如，和具有邏輯相鄰性，這兩個最小項相加時定能合并成一項并將一對不同因子消去：８．５邏輯函數(shù)的化簡８．５．１公式化簡法所謂公式法化簡，就是應(yīng)用前面介紹的基本定理消去邏輯函數(shù)表達(dá)式中多余的乘積項和因子，以求得邏輯函數(shù)的最簡與或式或者邏輯函數(shù)的最簡或與式。公式化簡法沒有固定的步驟?，F(xiàn)將經(jīng)常使用的幾種方法歸納如下：（１）并項法：利用Ａ＋

＝１，將兩項合并為一項，并消去Ａ和

一對因子。（２）吸收法：利用Ａ＋ＡＢ＝Ａ，可將ＡＢ項消去。（３）消因子法：利用Ａ＋

Ｂ＝Ａ＋Ｂ，可將

Ｂ中的

消去。（４）消項法：利用ＡＢ＋

Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋

Ｃ，可將多余的ＢＣ項消去。（５）配項法：利用Ａ＋Ａ＝Ａ將一項變?yōu)閮身?，或者利用冗余定理增加冗余項，然后（配項）尋找新的組合關(guān)系進(jìn)行化簡。消項法與吸收法類似，都是消去一個多余項。只是前者運(yùn)用冗余定理，后者利用吸收律。由于邏輯函數(shù)的表達(dá)式通常多以與或式給出，函數(shù)的其他表達(dá)形式又可以通過轉(zhuǎn)換來得到與或的形式。所以在此只針對與或式的公式化簡方法。通過具體例題來說明化簡方法。在化簡中若遇到或與式時，可以利用對偶規(guī)則，將或與式轉(zhuǎn)換為與或式?；喭瓿珊?，再利用對偶規(guī)則轉(zhuǎn)換為或與式（原函數(shù)的最簡式）。８．５．２卡諾圖化簡法１．卡諾圖所謂卡諾圖，就是將邏輯函數(shù)的所有最小項用相應(yīng)的小方格表示，并將此２ｎ個小方格排列起來，使它們在幾何位置上具有相鄰性，在邏輯上也是相鄰的?？ㄖZ圖是由美國工程師卡諾（Ｋａｒｎａｕｇｈ）首先提出的。圖８．５．１給出了二到五變量最小項的卡諾圖。二變量卡諾圖：有２２＝４個最小項，因此有四個方格，外標(biāo)的１和０分別表示變量本身和它的反變量。三變量卡諾圖：有２３＝８個最小項，如圖８．５．１（ｂ）所示。四變量、五變量的卡諾圖分別有２４＝１６和２５＝３２個最小項，分別如圖８．５．１（ｃ）、（ｄ）所示。由圖８．５．１可見，卡諾圖的構(gòu)成特點(diǎn)如下：（１）圖中小方格數(shù)為２ｎ，其中ｎ為變量數(shù)。（２）圖形兩側(cè)標(biāo)注了變量取值，它們的數(shù)值大小就是相應(yīng)方格所表示的最小項的編號。（３）變量取值順序按格雷碼排列，使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰。故在圖８．５．１中可以看到，相鄰的兩個最小項僅有一個變量是不同的。（４）處于卡諾圖上下及左右兩端、四個頂角的最小項都具有相鄰性。因此，從幾何位置上可把卡諾圖看成上下、左右封閉的圖形。（５）在變量數(shù)大于、等于５以后已經(jīng)不能直觀地用平面上的幾何相鄰表示邏輯相鄰，此時，以中軸左右對稱位置上的最小項也滿足邏輯相鄰性。實際上，當(dāng)變量數(shù)超過四以后，卡諾圖將失去直觀性的優(yōu)點(diǎn)。２．已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖先將函數(shù)化為最小項之和的形式，再畫出與函數(shù)的變量數(shù)對應(yīng)的卡諾圖，在圖中找到與函數(shù)所對應(yīng)的最小項方格并填入“１”，其余的填入“０”。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于它在卡諾圖中填入“１”的那些最小項之和。３．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原則是根據(jù)具有相鄰性的最小項可以合并，并消去一對不同因子得到的。而在卡諾圖中，最小項的相鄰關(guān)系可以從圖形中直觀地反映出來。１）合并最小項的原則兩個相鄰最小項可合并為１項，消去１對相異因子，保留相同因子。在圖８．５．３（ａ）、（ｂ）中畫出了兩個最小項相鄰的幾種可能情況。例如，圖８．５．３（ｂ）中

和相鄰，故可合并為四個相鄰最小項可合并為１項，并消去兩對相異因子，保留相同因子。例如在圖８．５．３（ｄ）中相鄰，故可合并，合并后得到：八個相鄰最小項可合并為一項，消去三