中學數(shù)學解題策略

淺談數(shù)學解題策略數(shù)學與計算機科學學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學105012010042蔡明權(quán)目錄中文摘要…………P1引言………………P11.化歸轉(zhuǎn)化策略…………………P22.正難則反法策略………………P33.枚舉與篩選策略………………P44.類比與猜想策略………………p55.歸納與猜想策略………………P76.英文摘要………P9【摘要】：數(shù)學解題策略是為實現(xiàn)解題目的而確定的采取的行動方針、方式和方法。實踐表明：認真審題，仔細觀察是制定策略的主要手段；邏輯是制定策略的有力工具；數(shù)學知識是制定策略的主要依據(jù)；實踐及其他學科知識是制定策略的豐富源泉.【關(guān)鍵詞】：數(shù)學解題；審題；觀察；邏輯；知識；策略引言大多數(shù)情況下，數(shù)學解題接觸的并不是標準的模式化了的問題，而是需要創(chuàng)造性思維才能解決的.這就注定在數(shù)學解題活動中必然有策略問題.策略是總體的行動方針.解題策略是指解答數(shù)學問題時，總體上所采取的方針、原則和方案.解題策略不同于具體的解題方法，它是指導(dǎo)方法的原則，是對解題途徑的概括性認識和宏觀把握，體現(xiàn)了選擇的機智和組合的藝術(shù)，因而是最高層次的解題方法.

策略反映了計謀，雖然數(shù)學解題具有較一般的、常用的某些策略，但是，是否了解和掌握這些策略，能否運用它們指導(dǎo)解題，效果卻是不一樣．沒有策略的解題是盲目、無序的，有策略的解題則是有預(yù)謀的．

數(shù)學解題沒有標準化的模式，但它有著不同的解題策略.數(shù)學解題策略包括:模型策略、化歸轉(zhuǎn)化策略、歸納策略、演繹策略、類比策略、數(shù)形結(jié)合策略、差異分析策略、正難則反策略……策略往往不止一個，還需要解題者進行策略決策．下面我將對化歸轉(zhuǎn)化策略、正難則反策略、枚舉與篩選策略、類比與猜想以及歸納與猜想進行詳細論述.1.化歸轉(zhuǎn)化策略化歸轉(zhuǎn)化策略涉及三個基本要素，即化歸的對象，目標和方向.化歸的對象就是我們所面臨的數(shù)學問題，化歸的目標就是某一已知數(shù)學模型，化歸的方向就是數(shù)學思想方向.1.化繁為簡（以“有理化因子”為轉(zhuǎn)化條件）盡可能的使問題變得簡單一點，是解題的一種最基本的要求.例1.已知的值.【分析】：若將的值直接代入計算，比較繁瑣，難以計算出準確結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)的有理化因子為，如果將參與計算，將用和、積德形式表示出來，然后用整體和、積的形式將原式轉(zhuǎn)化，則可解題.解：設(shè)，則=2.化生為熟例1.(2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第11題)若正方形ABCD的一條邊在直線y=2x-17上,另外兩個頂點在拋物線y=x2上,則該正方形面積的最小值為_______________【解析】：我們可以采用解析幾何中的常規(guī)方法去處理,利用弦長公式與點到直線距離公式去求解.如果考慮到正方形的鄰邊垂直且相等的特殊性質(zhì)與復(fù)數(shù)的性質(zhì),則不妨可以從復(fù)數(shù)角度去處理問題.解：不妨設(shè)點在拋物線上,在直線上令=從而又∵在直線上,∴①又∵//∴,則②聯(lián)立①②解得或∴∴【點評】：正方形的鄰邊垂直且相等的特殊性質(zhì)與復(fù)數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)性是我們產(chǎn)生聯(lián)想的基礎(chǔ)，而對知識之間聯(lián)系的熟悉程度是我們能順利化歸的保證.3.主元轉(zhuǎn)化例1．若不等式對一切均成立，試求實數(shù)的取值范圍.【解析】：，恒成立.令，則要使它對均有，只要有解得：【點評】：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的.但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解.本題中，若視為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于的一次不等式，使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡單易行.2.正難則反策略數(shù)學問題千差萬別、千變?nèi)f化，如果拘泥于某幾種習慣，是不會游刃有余的．解題時，人們思考的習慣大多是正面的，順向的，可有些數(shù)學問題如果正面的、順向進行，則難以解決，這時就應(yīng)轉(zhuǎn)為反面的、逆向思考，這就是正難則反策略．這種策略提醒我們，順向推導(dǎo)有困難時就逆向推導(dǎo)，正面求解有困難時就反面求解，直接求解不奏效時就間接進行，肯定命題有困難時就轉(zhuǎn)而舉反例加以否定．這種逆反轉(zhuǎn)換式思維實際上是一種逆向思維，體現(xiàn)了思維的靈活性，也反映著數(shù)學問題因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一．例1.設(shè)為實系數(shù)二次函數(shù)，試證明：中至少有一個不小于.【分析】：三個數(shù)中至少有一個不小于的情況有7種，而三個數(shù)都小于的情況只有一種，可見“正面”復(fù)雜，“反面”簡單，所以應(yīng)該走正難則反的道路.證明：假設(shè)同時有，則：①②③①+③得：，④②得：⑤④與⑤矛盾，所以結(jié)論成立.例2：已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.【分析】：說明集合是以方程①至少有一個實根是大于的元素組成的非空集合，方程①的實根分三種情況兩正；一正根一零根；（3）一正根一負根，分別求解十分麻煩，這時采取“正難則反”的解題策略，即在為全集的情況下，求出方程①兩根均為非正時的取值范圍,最后利用“補集”思想求解：設(shè)全集==，若方程的兩根皆為非正，即,由韋達定理得：又，故集合在中的補集為，即所求的取值范圍為.【點評】:本題運用的“正難則反”的解題策略，正是運用了“補集”思想，對于一些比較復(fù)雜，比較抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的數(shù)學問題，就從問題的反面入手.一般地說，當“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確時，宜考慮用補集的思想方法.3.枚舉法策略當我們面臨的問題存在大量的可能的答案（或中間過程），而暫時又無法用邏輯方法排除這些可能答案中的大部分時，就不得不采用逐一檢驗這些答案的策略，也就是利用枚舉法來解題，枚舉法策略要求逐個考察了某類事件的所有可能情況，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的.例1.乒乓球團體比賽，采取五盤三勝制，即兩個隊進行比賽，哪個隊先勝了三盤就取得了比賽的勝利，現(xiàn)在兩隊進行比賽，A隊最終獲勝，請問：各盤的勝負情況有多少種可能？【分析與解】：兩個隊的總比分有種情況，即：①隊以勝；②隊以勝；③隊以獲勝.這樣，我們就可以分三類，畫枝形圖枚舉出各盤的勝負情況.若隊以勝，只能有一種情況，可以表示為說明共比賽盤，都是隊獲勝。若隊以勝，說明共比賽盤，所以有種可能，可以這樣畫枝形圖（如圖1）.圖1圖2若隊以勝，說明共比賽盤，隊勝了盤.可能隊先勝第一盤，也可能有隊先勝第一盤.請你按這兩類考慮后面盤的勝負情況，在括號內(nèi)填勝隊字母，完成枝形圖（如圖2）.所以各盤的勝負情況有（種）可能.這道題，我們先從整體上進行分類，然后畫枝形圖枚舉出每一類中的可能情況，這種枚舉方法可以幫助我們解答一些比較復(fù)雜的計數(shù)問題.例2、對自然數(shù)列進行淘汰.淘汰原則是：凡不能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)均被淘汰.如：“”應(yīng)被淘汰，但可以寫成兩個合數(shù)與的和，不應(yīng)被淘汰.那么保留下來的數(shù)從小到大數(shù)下去，第個數(shù)是多少？【分析與解】：根據(jù)題意，要想直接考慮第個數(shù)是多少，比較困難，我們可以從反面枚舉出所有被淘汰的數(shù)，知道淘汰了幾個數(shù)，就能求出剩下的第個數(shù)是多少了.首先根據(jù)按從小到大的順序找出三個偶合數(shù)，再找出最小的奇合數(shù)，填在下面括號內(nèi).偶合數(shù)：；最小的奇合數(shù)是,因為,說明從開始的偶數(shù)都能寫成兩個合數(shù)的和不能被淘汰.而,說明從開始的奇數(shù)也都不應(yīng)被淘汰.所以被淘汰的數(shù)有共有個.所以保留下的第個數(shù)是.注：本題如果從正面進行解答，其過程中存在大量的可能答案，而暫時又無法用邏輯方法排除這些可能答案中的大部分，正面進行枚舉肯定是行不通的，因此本題考慮從問題的反面進行枚舉.4.類比與猜想策略類比是從人們已經(jīng)掌握的事物的屬性，推測正在研究中的事物的屬性，它們舊有認知為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果.運用類比推理的一般步驟如下：首先,找出兩類比對象之間可以確切表述的相似性；然后,用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì),從而得出猜想；最后檢驗猜想.一．結(jié)構(gòu)類比：如果所求解問題的結(jié)構(gòu)與某一熟悉的數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)相類似,可以將待解決問題的條件或結(jié)論與這一熟悉的數(shù)學問題相類比,通過猜測、進行適當?shù)拇鷵Q或直接利用這個熟悉的數(shù)學問題的解決辦法，有可能使問題獲得解決.例1：已知【分析】:題設(shè)條件與一元二次方程有根的條件在結(jié)構(gòu)上相類似,故根據(jù)已知條件,可構(gòu)造出一個一元二次方程,并使這個方程有兩個相同的根,然后根據(jù)方程結(jié)論成立.證明：當時,由已知條件得,故結(jié)論成立；當時,構(gòu)造一元二次方程因為，所以一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.又因為方程的一個根為,所以方程的另一根，故即.2.高維與低維類比：通常把直線叫做一維空間,平面叫做二維空間,立體幾何中所說的"空間"叫做三維空間,除此之外,"維數(shù)"還泛指未知數(shù)的個數(shù)、變量的個數(shù)、方程或不等式的次數(shù)等.當研究一個維數(shù)較高的問題時，先考查并解決一個與它類似而維數(shù)較低的問題，然后將解決后者時所用的方法或所得的結(jié)果試用與解決比原來的維數(shù)較高的問題，這就是高維與低維類比的手法，這種手法通常稱為降維.例1.試推導(dǎo)一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【分析】：首先利用待定系數(shù)法推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.設(shè)一元二次方程的兩個根是,則有，將右端展開,比較同次項系數(shù)得,，這啟發(fā)我們用類似的方法推導(dǎo)一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解:設(shè)次多項式的個根為,則將上式右端展開、整理，并比較等式兩邊同次項次數(shù)得：這就是次多項式的根與系數(shù)的關(guān)系定理（韋達定理）.【點評】：通過一元次方程與一元二次方程的類比,導(dǎo)出一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系.這就是高次與低次類比解決問題的范例.韋達定理在多項式理論中有廣泛的應(yīng)用,且常常應(yīng)用于相應(yīng)的次方程的根與系數(shù)的討論.注意,韋達定理的逆定理也是成立的,即若數(shù)滿足上述方程組,則它們是次多項式的根.運用類比推理應(yīng)注意的幾個問題運用類比推理應(yīng)注意的幾個問題運用類比推理應(yīng)注意的幾個問題運用類比推理應(yīng)注意的幾個問題第一，要善于觀察事物的特點．注意從不同事物身上發(fā)現(xiàn)它們的共同或相似之處，并追究造成這種共同或相似的原因．要大膽放寬眼界，不受自己的研究對象與學科的限制．第二，要善于聯(lián)想．從一事物聯(lián)想到與它性質(zhì)相似的其他事物；從一種方式方法聯(lián)想到與其作用類似的其他方式方法；從一個概念或定理聯(lián)想到與它關(guān)系比較密切的一串概念或定理．第三，類比常與歸納、演繹綜合運用，另外它也離不開分析．歸納、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想、直覺等心智運動串聯(lián)起來的，因此必須自覺掌握創(chuàng)造性思維等特征，并運用到實際工作中去．5.歸納與猜想在解決數(shù)學問題時，往往從特殊探求一般；或者從現(xiàn)有的條件、結(jié)論，通過觀察、類比、聯(lián)想，進而猜想我們未知的知識和結(jié)論.這種思考方法就是歸納與猜想.歸納和猜想是學習數(shù)學、解決數(shù)學問題的行之有效的方法之一.它能使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從特殊問題中總結(jié)出一般規(guī)律.我們?nèi)魧σ恍┪覀儾皇煜さ纳踔翢o從下手的數(shù)學問題進行有目的觀察試驗、歸納、猜想常能得到一些有益的啟發(fā)，為解決數(shù)學問題提供一定的方向和依據(jù).例1.依次計算數(shù)列,前四項的值，由此猜測的有限表達式.解：由此猜想：下面用數(shù)學歸納法證明這一猜想：證明：①當②假設(shè)當即：則當時，時，等式也成立.由①②知對任何的等式都成立.例2.依次計算數(shù)列前四項的值，由此猜測的有限表達式.解：由此猜想：證明：①當②假設(shè)當即：則當時，時，等式也成立.由①②知對任何的等式都成立.【點評】：歸納猜想策略是“歸納——猜想——證明”思想過程，它是通過觀察、嘗試、探索規(guī)律，從而對命題的結(jié)論予以猜測，然后再用數(shù)學歸納法證明.以上兩個例子都是從特殊問題中總結(jié)出一般規(guī)律，然后進行大膽猜想，最后再利用數(shù)學歸納法對其進行驗證，從而得出最終結(jié)論.參考文獻：[1]楊永壽，馬玉堂，初等數(shù)學解題思維策略研究[M]，甘肅出版社編，1999．[2]曾建國,數(shù)學解題策略選講[M]．哈爾濱：工業(yè)大學出版社，2011，01.[3]王學賢，中學數(shù)學解題策略.[M]．天津：新蕾出版社，1995.[4]吳鳳珍，中學數(shù)學解題策略與分析[M].哈爾濱：哈爾濱地圖出版社，2005.[5]殷堰工，數(shù)學解題策略精編[M].上海：上海科技出版社，1994.[6]陳清華．現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學講義[EB]．福州：福建師范大學，2008[7]朱華偉，錢展望，數(shù)學解題策略[M].科學出版社，2009.英文摘要Onmathematicsproblem-solvingstrategiesMathematicsproblem-solvingstrategiesisinoedertoachievethepurposeofproblemsolvingandcertainactionprinciple,wa