2023人教版新教材A版高中數(shù)學(xué)必修第三冊同步練習(xí)-6 . 3 二項式定理

第六章計數(shù)原理

6.3二項式定理

6.3.1二項式定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一二項式定理的正用與逆用

l.（a+?2",〃￡N*的展開式的項數(shù)是（）

A.2HB.2H+1

C.2H-1D.2（H+1）

2.設(shè)5=（%-1）3+3。-1）2+3（%-1）+1,則S等于（）

A.（x-1）3B.U-2）3

CJC3D.（X+1）3

3.（2022安徽亳州第一中學(xué)期末）設(shè)

A=3?+c孫3§+的x33+c$x3,B=Gx36+Gx34+ex32+l,貝ijA3的值為（）

A.128B.129C.47D.0

4.用二項式定理展開住+2尸=.

5.（2022北京東城期末）已矢口C於”+加3曠1+鬣3n菖+…+c廠13+q=1024,貝IJ

n=.

題組二展開式中的特定項或特定項的系數(shù)

6.（2022北京八中期末）（l+x）4的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為（）

A.6B.-6C.24D.-2

7.（2022云南昆明一模）（2%-的二項展開式中，第4項的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

8.（2022河南鄭州四中期末的展開式中悌3項的二項式系數(shù)比第2項

的二項式系數(shù)大44,則展開式中的群數(shù)項是（）

A.第3項B.第4項

C.第7項D.第8項

9.（2021廣東肇慶二模乂加_丁的展開式的常數(shù)項為60,則a的值為（）

A.2B.-2C.±2D+3

10.（2022湖南株洲一模）在（您-專）2。的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有

（）

A.6項B.5項C.4項D.3項

11.（2022山東臨沂一模）在（2代+的展開式中，無理項的項數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2022福建漳州二模）（2?+y）6的展開式中,X8產(chǎn)的系數(shù)為______.

13.（2022安徽宿州期末）（/一/f的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是，第

4項的系數(shù)是.

14.（2022湖北武漢期末）（1+%+1?）6的展開式中,%4的系數(shù)為.

題組三賦值法求系數(shù)和

15.（2020山東濟(jì)寧質(zhì)量檢測）若卜-?、私甬a(chǎn)）的展開式的第3項的二項式系數(shù)是

15,則展開式的所有項系數(shù)之和為（）

16.（2021江蘇無錫天一中學(xué)二模）若（2%-1）4=4（）/+。山+32+3+。4,則-ao+ai-故+的-

。4=.

17.（2021江西上饒?zhí)煊又袑W(xué)、余干中學(xué)等六校第一次聯(lián)考）已知多項式

（%+1）5=1（）（%-1）5+0%+。2%2+13^3+44^4+45^5,貝U雨+0+…+恁二.

能力提升練

題組一展開式中的特定項及項的系數(shù)

1.（2022山西臨縣第一中學(xué)期末）（%+1）2+（X+1>+（x+1）4的展開式中含％2項的系數(shù)是

（）

A.9B.10C.llD.12

2.（2022福建泉州期末XRx+Da+l"的展開式中/的系數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.15

3.（2022廣東廣州一模X%+3y）（%-2yA的展開式中x5/的系數(shù)為（）

A.60B.24

C.-12D.-48

4.（2021山東棗莊二模）若％6=00+0］（%+1）+。2（%+1）2+。3（%+1）3+—+。6（%+1）6,貝|1的=

（）

A.20B.-20C.15D.-15

5.（2022四川眉山二模）（％V）（%-2）5的展開式中，含r項的系數(shù)為（）

A.120B.40C.-40D.-80

6.（2022山東淄博一模）若（1-%）8="0+。1（1+%）+。2（1+%）2+…+。8（1+%）8,則。6=（）

A.-448B.-112

C.112D.448

7.（2022湖北鄂州一模）已知（；+叼）（2%-?的展開式中44的系數(shù)為80,則m的值

為（）

A.-2B.2C.-lD.1

8.（2022吉林東北師大附中期末）若（1+。分（1+%）5的展開式中爐與好的系數(shù)之和為

-10,則實數(shù)。=（）

A.-2B.-lC.OD.1

9.（%+}-2）5的展開式的常數(shù)項為.

10.在（％-|）%?￡N*）的展開式中，第4項的系數(shù)為-32,則n=，常數(shù)項

為.

題組二賦值法求系數(shù)和

11.（多選）已知（1-21）2°21=。（）+。］%+。2^2+的％3+…+。2021%2021,貝|J（）

A.展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22。21

B.展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)和為二匚

C展開式中所有偶數(shù)項系數(shù)和為干

D.>詈+墨+…1

12.（2020湖北武漢武昌實驗中學(xué)期中）若（3%-2）5=的^+34+。32+32+?%+。0,則

ao+ai+2a2+343+4474+5。5的值是（）

A.15B.-32

C.-27D.-17

13.（2022江西部分學(xué)校期末）若（1+2%）（1-X+/）9=。0+41%+。2<+…+4可？貝ij

。1+。2+…+。18的值是（）

A.OB.lC.2D.3

14.（2022遼寧大連八中期末）若（2-%）5=q（）+a[,則（⑷+勿+而?-

（0+6+。5）2=（）

A.-32B.32

C.-243D.243

15.（2022北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)月考）已知（2x-1）5=45必+。4/+。3/+。2%2+。\x+a（）,

則|ao|+|Qi|+…+%1=（）

A.lB.243

C.121D.122

16.（2021湖南長沙第一中學(xué)月考）若（1+2%產(chǎn)2。=4（）+0（%+2）+42（%+2）2+...+

（）

。2020（%+2>°2匕￡R，則a]?2+。2?2?+...+故020,2202=.

17.在（2%-3y+l）5的展開式中，不含y的所有項的系數(shù)和為（用數(shù)值作答）.

18.（2020山東棗莊滕州一中月考）已知（1+加?。=10+41%+念/+…+的3°,其中/*0,

且。6+14的=0.

（1）求實數(shù)m的值；

（2）求。2+"4+。6+。8+。10.

題組三二項式定理的綜合應(yīng)用

19.（2022湖南岳陽部分學(xué)校期末）1.957的計算結(jié)果精確到個位的近似值為

（）

A.106B.107

C.108D.109

20.（2022福建福州閩侯期末）今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過

82021天后是（）

A.星期二B.星期三

C星期四D.星期五

21.（2022浙江寧波部分中學(xué)期末）設(shè)〃金N*,貝!J5以+5?鬣+53髭+…+5"邛除以7的余

數(shù)為（）

A.0或5B.1或3

C.4或6D.0或3

22.（2021河北邯鄲邯山第一中學(xué)期中）設(shè)q￡Z,且0%<13,若512020+?能被13整除,

則。=（）

A.0B.lC.llD.12

23.（多選X2021山東青島期中）我國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除

法有較深的研究.設(shè)a力，皿〃2>0）為整數(shù)，若a和。被根除得的余數(shù)相同，則稱a和。

220

對模m同余，記為a=b（mod⑼.若tz=c%+c^ox3+c^ox3+...+c^x3,a=/?（mod5）,則b

的值可以是（）

A.2005B.2006

C.2020D.2021

24.（2021江蘇連云港期末）（1）求9"2被100除所得的余數(shù)；

⑵用二項式定理證明:11叫1能被100整除.

25.求證:當(dāng)〃￡N*時,（1+⑸〃+（1-何”為偶數(shù).

答案與分層梯度式解析

第六章計數(shù)原理

6.3二項式定理

6.3.1二項式定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B根據(jù)二項式定理可知，展開式共有(2〃+1)項.

2.CS=(x-l)3+3(x-l)2+3(x-l)+l

=C^(x-1)3+Ci(x-1)2+Cj(x-1)+Cf

=[(x-l)+l]3=x3.

3.AA-B=C?X37-C1X36+C^X35-C^X34+C^X33-C^X32+C^X31-C^X3°=(3-1)7=27=128.

4.答案/+8招+24/+32%+16

解析(x+2)4=C$x420+C^x32,+Cix222+Cix,23+C^24=r*+8x3+24x2+32x+16.

5.答案5

解析Cg3"+C13"T+鬃B"2+…+C3T3+3=以3勺1。+就3，嘆11+鬃3尺2><14...+喘73儀

1"“+喘3°1"=(3+1)"=4"=1024=22即22"=2叱解得n=5.

6.A(l+x>的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為第=6,故選A.

7.B(2x-l)5的二項展開式中的第4項為7>造(42.(_1)3=_40/,所以所求系數(shù)為-40.

故選B.

8.B由題意可得鬣?=44,即(〃+8)(〃-11)=0,，〃=1L

故(%?+9)=@曰+9)淇展開式的通項為TrH=C：i(x?)u-G)=C[1-x2(0<r<ll,r6N),

令號t=0,解得『3,.?.展開式中的常數(shù)項是第4項，故選B.

9.C@2_/的展開式的通項為Tr+]=cKax2)6T.(—5y=cMr(_i)y,o-rGN,

令12-3尸0,解得『4.

由題意得皓-1)%2=60,解得斫±2,故選C.

10.C(您一a)2°的展開式的通項為及+廣③?(怯嚴(yán)工(一方)「=

40-5r20-r

(-1/-263(0gw20,reN).

令：竺尹，則只有『2,8,14,20時次=5,0,-5,-10為整數(shù).

6

故系數(shù)是有理數(shù)的項共有4項.

故選C.

11.B根據(jù)題意(2豉4-￡)6的展開式的通項為T』=C￡2質(zhì))而67=26"(白空,0WW6,reN,

分析可得，當(dāng)/-0,2,4,6時3寸應(yīng)的項為有理項，

即有4個有理項,而展開式共有7項，

故卜?+￡)6的展開式中，無理項的項數(shù)為3.

故選B.

12.答案240

解析(2f+y)6的展開式的通項為7“咯(附了=2a52勿產(chǎn)尸0」,2,3,4,5,6,令k2,則T^Cl^y2,

故42的系數(shù)為鬃=240.

13.答案84；-y

解析評一MT的展開式的通項為7』=砥。2)9｛一刀「=6(-Jx",尸o,l,2,...,9,

由『3可得北=量?(_519=_a9,

所以第4項的二項式系數(shù)是篇=84,第4項的系數(shù)是-號.

14.答案90

解析因為(i+x+x^Yi+a+mp,

所以其展開式的通項為了M+尸昭戶小戶愛能”爐官久筋及其中0W右心6,rGN#GN,

為得到(l+x+x2-的展開式中/的系數(shù)，則令r+k=4,

故當(dāng)『2,Q2時占4的系數(shù)為髭第=15;

當(dāng)日3,仁1時,/的系數(shù)為髭瑪=60;

當(dāng)二4,七0時，f的系數(shù)為CgC?=15,

所以(l+x+x2-的展開式中K*的系數(shù)為15+60+15=90.

故答案為90.

15.B由題意知鬣=若"=15,解得n=6或“=-5(舍去)，故二項式為(％-，，

令日,得所有項系數(shù)之和為(￡)6*

16.答案-81

解析令A(yù)-1,得(-3)4=劭-41+42-。3+。4,所以-。0+41-。2+。3-。4=-81.

17.答案31

解析令X=l,得0+。2+的+44+。5=25=32,

令尸0,得5=1,即47()=-1,

所以ao+fli+...+as=32-l=31.

能力提升練

1.B當(dāng)位2且“GN*時,(l+x)"的展開式的通項為

所以(1+x)"的展開式中含x2項的系數(shù)為第，

故(1+X>+(1+X)3+(1+X)4的展開式中，含/項的系數(shù)是第+釐+鬃=10.

故選B.

2.A(x+l)6的展開式的通項為T,^i=C^-r,0<z<6,rGN,

令6-片5,得片1,則令6-片6,得尸0,則-xC"6=-N,

二原式展開式中爐的系數(shù)為6-1=5.

故選A.

6rrr

3.B(x-2y)6的展開式的通項為Tr+1=C^(-2y)=(-2)C^-y,

所以(x+3y)(x-2y)6的展開式中含的項為x.(-2)2C1//+3y(-2)'C|jt5y=(4Ci-6Ci)-x5y2,

故的系數(shù)為4髭-6瑪=24.

故選B.

4.B易得川=?+1)-1]6淇展開式的通項為j；+[=c9(x+l產(chǎn).(/)「,令6*3,得r=3,所以劣=皓

(-1)3=-20,故選B.

5.B由-3(上2)5=總-2)5-/-2)5,可得其展開式中含%2的項為x-C^x-(-2)4-i-C1x3-(-2)2=80^-40^=40^,

故含r項的系數(shù)為40.

故選B.

6.C由題意得,(l-X)8=(X-l)8=[(l+x)-2]8=ao+41(l+X)+a2(l+X)2+...+a8(l+X)8^46=咯(-2)2=112.

故選C.

7.A(：+7ny^(2x-j,)5=^(2x-y)5+/??y(2x->,)5,

15rrr5-

其中,32x-y)5的展開式的通項為T^1=rC^(2x)-(-y)=(-D-2-'C^-y,0<r<5,reN,

令｛；I；=2'可知無解，即：(2x-y)5的展開式中沒有含x2/的項；

〃少(2x-y)；的展開式的通項為，+產(chǎn)四，麾(2%產(chǎn).(-?=(-1盧25為C標(biāo),產(chǎn)，

令口濟(jì)解得2

即my(2x-y)5的展開式中含的項的系數(shù)為(-1)3.25%C1=-4O〃2.

又G+嗎)(2x-y)5的展開式中力的系數(shù)為80,

所以-40〃2=80,解得m=-2.

故選A.

8.A易得(1+or)(l+x)5的展開式中，含x2的項為1xC02+axxC&x=(10+5a)x2,

含x3的項為1xC^+axxC^C10+1O^)X3,

所以10+5。+10+10。二?10懈得。=2,

故選A.

9.答案-252

解析解法一:由G+；-2)5=(立產(chǎn))5=與咨，

易得(x-l嚴(yán)的展開式的通項為7>+1=仁0-”"(-1)；

令10-r=5,得-5,此時可得常數(shù)項為-252.

解法二:當(dāng)x>0時,(x+：—2)s=(a-淇展開式的通項為4+1=/(五嚴(yán)(一套)「=

(-1)1心(百)1°-2：令10-2尸0,得尸5,此時常數(shù)項為-C;o=-252;當(dāng)x<0時,(％+5一27=一(1+言

同理可得常數(shù)項為-C3=-252.故所求常數(shù)項為-252.

解法三:(%+?2)=(%+:2)(%+；2)(%+:2).(%+:2)(%+:2),

要得到常數(shù)項有以下方式：(1)5個式子都取-2,相乘得(-2)5=-32;(2)5個式子取1個X,取I個;余下的都取-

2,得加瑪門?(-2)3=-160;(3)5個式子取2個x,取2個3取1個-2,得熊心黑(2)|=-60.

故所求常數(shù)項為-32-160-60=252.

10.答案4;24

解析易得(x-1)n的通項為(-|)r,O<r<n,MGN,

所以7>(：獷(一步(-2冏#6,

則(-2戶以=-32=(-2)5,得量=(-2)2=4,

即的三0=4="=4,

所以(；一滬(.第

2

其展開式的常數(shù)項為C次=6X4=24.

11.ABD對于A,二項式系施之和為C%2i+Go2i+…+C髭;=22叫故A正確；

對于B,令X=?l,得32°21=40.0+42-6+…?。2021,①

令41,得?1=。()+。1+。2+。3+…+。2021,②

①+②，可得32_1=2(〃0+。2+...+〃2020),

32O21_I

。0+。2+...+。2020=---,故B正確；

2021

對于C,①■②，得3+1=-2(a1+a3+...+t?2021),

32021+1

Cl\+。3+…+。2021二------,故C錯誤；

對于D,令x=0,得俏=1,

令號,得O=ao+B+藍(lán)+…+翳

?號受…鏢故D正確?

11.D令m0,可得(?2)Jg所以4o=?32,設(shè)於廣^彳^戶田⑴二心小四代吃工+^^+⑶1+3則

f'(x)=3x5x(3x-2)4,^,(x)=5a5X4+4a4X^-^3a3X1+2a2X+a\,

所以3x5X(3x-2)4=56/5X4+4674X3+3(73X2+2d2X+d!l,

令x=l,可得15=。|+2。2+3。3+4?4+5。5,

所以。()+。1+2。2+3。3+4。4+5。5=-32+15=-17.

故選D.

13.A令x=0,得。0二1,

令x=1,得ao+a\+02+.??+〃]8+?！?=(1+2)(1-1+1)9=3,

又(l+2x)(l?x+/)9的展開式中含”的項為2?(f)9=2x?所以09=2,

所以。1+。2+…+。18=3-的-。19=3-1-2=0,故選A.

14.D對于

令X=l,可得〃()+。1+。2+。3+44+。5=1,

令X=-l,可得。0-的+42-43+。4-〃5=35=243,

所以(。0+42+44)2-(。1+43+的)2=(。0+。1+。2+。3+。4+。5)3尸。1+。2-。3+。4?。5)=243.故選D.

規(guī)律總結(jié)

1.一般地，令3x+0)k/(x),則展開式中的各項系數(shù)之和為火1),各奇數(shù)項系數(shù)之和為3伏1)伏-1)],各偶數(shù)項系

數(shù)之和為3[/0)夕-1)].2."賦值法''是求與二項展開式中系數(shù)(和)有關(guān)的問題的常用方法，賦值就是將展開

式中的字母用具體數(shù)值代替，注意賦的值要有利于問題的解決，賦值時可以取一個值或幾個值，也可以取

幾組值，解決問題時要避免漏項等.

15.B???(2工?1)5=々5r+"44+。3+〃2工2+〃武+〃0=cgz'x5■瑪ZX+cpSx3■…+C復(fù)

〃0<0,0>0,。2<0,。3>0,。4<0,。5>0.

令％=?1,得。0?。]+。2?。3+…?。5=-35,

，|〃o|+|ai|+…+|。51=-。0+41-42+...+〃5=-3()-41+。2-〃3+???-Q5)=35=243.

故選B.

16.答案11。?。

解析令廣-2,則(1-4)2020=00,即00=3202。，

令x=0,則I2°2°=oo+a].2+砂22+...+斂020,2202°,

即〃o+〃i?2+紗2?+…+痣020-22020=1,

故41?2+。2?2?+…+〃2020,22020=1-Oo=1-32°20.

17.答案243

解析要求(243尹1)5的展開式中不含y的項,只需令尸0,所以(2x-3y+l)5的展開式中不含y的所有項的

系數(shù)和為(2x+l)5的展開式中各項的系數(shù)和，令廣1,得35=243.故答案為243.

18.解析(1)(1+〃式嚴(yán)的展開式的通項為7k尸C；o?(如)「=C；oWM所以〃3=C：o加,Q6=C%加,

依題意得(2,0〃26+14第0加=0,即210/%6+14、120加=0,整理得加(加+8)=0,因為〃#0,所以〃?3=_8,所以〃『-2.

(2)由⑴得〃2=-2,所以⑴辦/=俏+0工+斂/+…+小四叱

令X=l,得Clo+Cl|10=(1-2)10=1.?

令X=-l,得。05+。2-的+。4-。5+。6-。7+48-。9+。10=(l+2)l°=3l°.②

①+②,得2(ao+a2+a4+a6+48+aio)=1+310,

1+31°

EP。0+。2+。4+。6+。8+。10=-^—.

又ao=C?o(-2)°=l,

3i、l.1+310[310-1

所以。2+44+。6+。8+。10=----1=---.

19.B1.957=(2-0.05)7=27-C^X26X0.05+C^X25X0.052-...-0.057-27-C^X26X0.05+C^X25X0.052=128-

22.4+1.68=107.28R07.故選B.

20.C因為82O2i=(i+7)2M=c%i+Go2i7+鬣02172+…+C雞豺72021,

所以82。21被7除的余數(shù)為1,故經(jīng)過82021天后是星期四，故選C.

21.A1+54+52量+53(：升…+5"C上1=(1+5)"-1=(7-1)"-1=7"瑪-7叫服+7"々鬃+…+7x(-l)"T(廠1+(-l)”C上1,

此展開式中，除了最后2項外，其余的各項均能被7整除，故它除以7的余數(shù)即為(」)"/除以7的余數(shù)，即

為0或5,故選A.

22.D因為51=52-1,所以512。2。=(52-1)2。2。=(：如o522°20-Go2o52239+...-C瑞髀241,

又因為52能被13整除，所以只需1+a能被13整除，因為aGZ,且0%<13,所以。=12,故選D.

23.BD由題意及二項式定理可得a=C%+GoX3+C至x32+...+(^8x320=(1+3)20=420=(5-1)2。，

則a=C%52o?o59+...-C翁5+C錯，

因為C%52o-C%5叫…-C%5能被5整除，

所以a除以5的余數(shù)為1,

又因為a%(mod5),所以分除以5的余數(shù)也為1,結(jié)合選項可知2006和2021除以5的余數(shù)為1.

故選BD.

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