廣東省汕尾市2019屆高三上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（ 含答案解析 ）

汕尾市普通高中2019年1月高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出即可．【詳解】，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．2.設(shè)全集，集合，B={x|≤1}，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)不等式的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式得：，又，求交集得結(jié)果．【詳解】解對(duì)數(shù)不等式得：，即，又，所以，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)不等式的解法及交集的運(yùn)算，屬簡(jiǎn)單題．3.如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天B.這15天日平均溫度的極差為15℃C.由折線圖能預(yù)測(cè)16日溫度要低于19℃D.由折線圖能預(yù)測(cè)本月溫度小于25℃的天數(shù)少于溫度大于25℃的天數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)折線圖的意義，逐項(xiàng)判斷即可【詳解】解：A選項(xiàng)，日平均溫度的方差的大小取決于日平均溫度的波動(dòng)的大小，7，8，9三日的日平均溫度的波動(dòng)最大，故日平均溫度的方差最大，正確；B選項(xiàng)，這15天日平均溫度的極差為19℃，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，由折線圖無(wú)法預(yù)測(cè)16日溫度要是否低于19℃，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由折線圖無(wú)法預(yù)測(cè)本月溫度小于25℃的天數(shù)是否少于溫度大于25℃的天數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的識(shí)別，考查方差，極差的理解，是基礎(chǔ)題4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，且焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以.故選：C5.設(shè)向量，若，則（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)共線向量的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，所以，解?故選：B.6.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再求出即可判斷【詳解】，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除，當(dāng)時(shí)，，故排除，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖形的識(shí)別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.8.《數(shù)書九章》是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，其中給出了求多項(xiàng)式的值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了一個(gè)利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的實(shí)例，若輸入的，輸出的則判斷框“”中應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出輸出的值時(shí)判斷框中應(yīng)填入的是什么．【詳解】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程如下，輸入，，，，此時(shí)不滿足循環(huán)條件，輸出；則判斷框中應(yīng)填入的是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了算法與程序框圖的應(yīng)用問題，理解框圖的功能是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．9.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，，則A. B. C. D.或【答案】C【解析】分析】由已知利用余弦定理可得，由正弦定理可求得的值，結(jié)合大邊對(duì)大角可求為銳角，即可求得的值．【詳解】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，為銳角，．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，大邊對(duì)大角在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的定義域是B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及真數(shù)大于0，可判斷；由偶函數(shù)的定義可判斷；由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；由與的關(guān)系可判斷．【詳解】函數(shù)，由，可得，即定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；由，定義域?yàn)?，且，即偶函?shù)，故正確；由，即，故錯(cuò)誤；由，可得的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故錯(cuò)誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是定義域和奇偶性和單調(diào)性、對(duì)稱性，考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】先把化為的形式，再結(jié)合對(duì)稱性確定，之后把代入利用二倍角余弦形成二次函數(shù)即可得解．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，，=結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，故選．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的變形，對(duì)稱性，倍角公式，換元法等，難度適中．12.已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系得：有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題得：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，解得：，即，即，②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線，相切，解得，結(jié)合圖象可知實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，又，即切線方程為：，又此切線過(guò)點(diǎn)，所以解得：，即，即，②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線，相切，得，由得，由圖知，結(jié)合圖象可知：當(dāng)?shù)膱D象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，屬難度較大的題型二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知滿足約束條件，若，則的最大值為_____________.【答案】7.【解析】【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，將轉(zhuǎn)化為：，通過(guò)圖象得出函數(shù)過(guò)時(shí)，取到最大值，求出即可．【詳解】畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖示：將轉(zhuǎn)化為：，通過(guò)圖象得出函數(shù)過(guò)時(shí)，取到最大值，，故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．14.的展開式中的系數(shù)是______．【答案】-40.【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為-1求得值，則答案可求．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為．令，可得．的展開式中的系數(shù)是．故答案為-40．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．15.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足為，若為等邊三角形，則______．【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出坐標(biāo)，再由拋物線的定義，結(jié)合等邊三角形的定義，得到的方程，可得的值．【詳解】拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上一點(diǎn)，則，由題意可得，由于為等邊三角形，則有，即有：，可得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用，屬于中檔題．16.在平面四邊形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以斜邊的等腰直角三角形，以為折痕把折起，當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的體積為______．【答案】.【解析】【分析】證明和全等，得到和都是直角，于是得出是兩個(gè)直角三角形和的公共斜邊，于是得出為四面體的外接球的直徑，求出的長(zhǎng)度，可得出外接球的半徑，即可求出外接球的體積．【詳解】在四面體中，由已知條件可知，，則，所以，，所以，和是公共斜邊的直角三角形，則是四面體外接球的一條直徑，易知，，且，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，因此，四面體的外接球的體積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積與體積，解本題的關(guān)鍵在于找出四面體外接球的直徑，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S2＝0，S6﹣S3＝21.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）an＝2n﹣3；（2）Tn【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)所給條件得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和；【詳解】（1）數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S2＝0，S6﹣S3＝21.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則：，解得：，d＝2，所以，an＝2n﹣3；（2）由于：an＝2n﹣3，所以：，所以：（），，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，ABCD為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．（1）證明：平面平面PBC；（2）為直線PC的中點(diǎn)，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【解析】【分析】（1）由ABCD為矩形，得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面PAB，則，結(jié)合，由線面垂直的判定可得平面PAD，進(jìn)一步得到平面平面PBC；（2）取AB中點(diǎn)O，分別以O(shè)P，OB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MAD與平面MBD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方關(guān)系求得二面角的正弦值．【詳解】（1）證明：為矩形，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，則，又，，平面PAD，而平面PBC，平面平面PBC，即證.（2）取AB中點(diǎn)O，分別以O(shè)P，OB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，是以為直角的等腰直角三角形，得：，，，，，，．設(shè)平面MAD的一個(gè)法向量為，由可得，取，得；設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為，由可得，取，得．.設(shè)二面角的平面角為，則.二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角，是中檔題．19.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓C的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】19.20.或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求得直線的方程.【小問1詳解】由題意，得，解得，所以橢圓C的方程是．【小問2詳解】由（1）得，所以，當(dāng)直線的方程為時(shí)，，則，不符合題意.當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，由，得．則有，，．由，得．又，，可得：，整理，得．即，解得．所以或．故直線l的方程為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與相交有關(guān)的向量問題的解決方法：在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的向量問題時(shí)，一般需利用相應(yīng)的知識(shí)，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系，再將其用橫(縱)坐標(biāo)的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解．20.微信運(yùn)動(dòng)是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào)，很多手機(jī)用戶加入微信運(yùn)動(dòng)后，為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友，運(yùn)動(dòng)的積極性明顯增強(qiáng)．微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)為了解用戶的一些情況，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取了100名用戶，統(tǒng)計(jì)了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：萬(wàn)步人5205018331（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的坐標(biāo)平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標(biāo)明各小長(zhǎng)方形的高；（Ⅱ）若視頻率分布為概率分布，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取3人，求至少2人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率；（Ⅲ）若視頻率分布為概率分布，在微信運(yùn)動(dòng)用戶中隨機(jī)抽取2人，其中每日走路不超過(guò)0.8萬(wàn)步的有人，超過(guò)1.2萬(wàn)步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，完成頻率分布表，由此能作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）這100人中只有25人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步，在這100人中隨機(jī)抽取3人，利用互斥事件概率加法公式能求出至少2人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率；（Ⅲ）由題知微信好友中任選一人，其每日走路步數(shù)不超過(guò)0.8萬(wàn)步的概率為，超過(guò)1.2萬(wàn)步的概率為，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，或，時(shí)，，當(dāng)，或，時(shí)，，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和．【詳解】（Ⅰ）根據(jù)題意，補(bǔ)充下表，萬(wàn)步人5205018331頻率0.050.200.500.180.030.030.010.1250.51.250.4500750.0750.025根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出頻率分布直方圖如下：（Ⅱ）這100人中只有25人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步，在這100人中隨機(jī)抽取3人，至少2人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率為．（Ⅲ）由題知微信好友中任選一人，其每日走路步數(shù)不超過(guò)0.8萬(wàn)步的概率為，超過(guò)1.2萬(wàn)步的概率為，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，或，時(shí)，，當(dāng)，或，時(shí)，，的分布列為：012.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量概率分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查頻率分布直方圖、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程能力，是中檔題．21.函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若不等式在定義域上恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的值，得到關(guān)于的方程，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)，故，得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】（Ⅰ），，，整理可得，解得，（Ⅱ）由題意知，，，設(shè)，，故在遞增，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上有唯一實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故0時(shí)，取最小值，由，得，故，，解得：，故的范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多