2022-2023學(xué)年河南大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2022-2023學(xué)年河南大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）【答案】D【詳解】試題分析：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【解析】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．2．已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由直接列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，故選：A3．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，則，解得.故選：A.4．把3個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【分析】分析每一個(gè)小球的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法，第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有（種）.故選：B.5．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【分析】利用關(guān)系求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，求即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式，所以，設(shè)，則，所以.故選：B6．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意令，進(jìn)而根據(jù)題意得在上單調(diào)遞減，故，進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)闈M足，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.所以.故選：A7．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.8．已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)整數(shù)，使得點(diǎn)在直線l上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由定義域得為正整數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，直線l過(guò)定點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可判斷的值，進(jìn)而列不等式組確定參數(shù)范圍.【詳解】點(diǎn)在直線l上方，即，因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)正整數(shù)解.設(shè)，則單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，所以.又，故可得圖象如下圖，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)，有無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)解，不合題意，故，又有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，故2是唯一的正整數(shù)解，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線l過(guò)定點(diǎn)，則原命題可轉(zhuǎn)化為直線l繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而滿足條件，可由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，由數(shù)形結(jié)合列式求解.二、多選題9．滿足方程的的值可能為（

）A．1 B．3 C．5 D．【答案】AB【解析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】解：因?yàn)樗曰?，或，或，或時(shí)，，故舍去；時(shí)，，故舍去；時(shí)，；時(shí)，；故選:AB【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的極大值點(diǎn)為C．的極小值為 D．的最大值為【答案】AB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值判斷ABC，取特值判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由得：或，由得：，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，C錯(cuò)誤；函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且是的極大值點(diǎn)，A正確，B正確；顯然，D錯(cuò)誤.故選：AB11．設(shè)圓C：，直線l：，則下列結(jié)論正確的為（

）A．C的半徑為2 B．l恒過(guò)定點(diǎn)C．l可能與C相切 D．當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短【答案】ABD【分析】化簡(jiǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A，令，代入直線方程即可判斷B，將代入圓方程即可判斷C，當(dāng)直線與定點(diǎn)與圓心連線所在直線互相垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可判斷D.【詳解】對(duì)A，，所以的半徑為2，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，將代入圓方程有，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓一定相交；對(duì)D，圓心，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．一定存在點(diǎn)使平面C．一定存在點(diǎn)使平面D．的最小值為2【答案】AC【分析】根據(jù)線面垂直，線線垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合空間幾何體側(cè)面展開(kāi)圖中最短距離的計(jì)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：因?yàn)闉檎叫?，故可得，又面面，故可得，又面，故可得面，又面，故可得，故正確；對(duì)B：因?yàn)?/面面，故//面，若存在點(diǎn)，使得//面，又面，故可得面//面，顯然矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)A所證可得：面，又面，故可得，故只需，此時(shí)面，定有面，故C正確；對(duì)D：將四棱錐的側(cè)面的展開(kāi)圖繪制如下：因?yàn)槊婷?，故可得，又面，故面，又面，故可得，即三角形為直角三角形，同理可得：三角形也為直角三角形，且△△，其中，，故，則，同理，則，故三角形為等邊三角形，則.即的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中線線垂直，線面垂直，線面平行的判定和性質(zhì)，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是多次準(zhǔn)確的對(duì)垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.三、填空題13．設(shè)雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】解析過(guò)程略14．2025年河南省實(shí)行新高考，小明需要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地

理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時(shí)選擇，則小明不同的選科情況有種．【答案】16【分析】根據(jù)題意，可分為三類(lèi)：（1）若物理和歷史同時(shí)不選；（2）若選物理，不選歷史；（3）若不選物理選歷史，結(jié)合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，且物理和歷史不能同時(shí)選擇，可分為三類(lèi)：（1）若物理和歷史同時(shí)不選，共有種選法；（2）若選物理，不選歷史，共有種選法；（3）若不選物理，選歷史，共有種選法；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得不同的選科情況共有種.故答案為：16.15．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.【答案】【分析】先由題意，設(shè)，再由題中數(shù)據(jù)，得到，，，推出，，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)，因?yàn)?，所以，即又，，所以，，因此，，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可，屬于常考題型.16．若函數(shù)在區(qū)間上，對(duì)，，，為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】.【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的值域，再根據(jù)三角形函數(shù)的定義列式可求出結(jié)果.【詳解】，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，所以，解得.故答案為：.四、解答題17．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若＝，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由求得，由求得公差，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)求和得證得結(jié)論.【詳解】（1）由得，又，∴公差，.（2）由（1）可得:.故成立.18．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．19．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再驗(yàn)證是否滿足，（2）由（1）得，然后利用分組求和和裂項(xiàng)相消求和法求【詳解】解：（1）數(shù)列滿足①當(dāng)時(shí)，，②①②，得：，故；當(dāng)時(shí)，解得，首項(xiàng)符合通項(xiàng)，故．（2）由（1）得：所以．20．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，為等邊三角形，，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的射影O為線段AD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面SBC；(2)已知點(diǎn)E在線段SB上，，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明和，利用線面垂直的判定定理證明出平面SOB，再利用面面垂直的判定定理證明出平面平面SBC.（2）以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】（1）（1）如圖，連接BD.在菱形ABCD中，，故為等邊三角形.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?由條件可知底面ABCD，又平面ABCD，所以，因?yàn)?，OS，平面SOB，所以平面SOB.因?yàn)槠矫鍿BC，故平面平面SBC.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，，所以可以以為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，，，，所?由，得，設(shè)是平面OEC的法向量，由得，令，則，，則，又因?yàn)槠矫鍮OE的一個(gè)法向量為，所以，故由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題干條件，可求得a、c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可求得b值，即可得答案.（2）當(dāng)直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，將直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，表達(dá)式，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得直線BN的方程，即可求得定點(diǎn)；當(dāng)直線平行x軸時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得證.【詳解】（1）解：由橢圓定義知：，所以，又，則，所以橢圓方程為.（2）證明：當(dāng)直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，由消去，整理得：，所以①，②，又，所以直線BN的方程為，即③，又，所以④，將①?②式代入④式化簡(jiǎn)得：⑤，⑤代入③化簡(jiǎn)得直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線平行x軸時(shí)，交點(diǎn)A，為長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，則直線BN為x軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn).綜上：直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義、韋達(dá)定理的應(yīng)用等知識(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)為：設(shè)直線時(shí)，需檢驗(yàn)與x軸平行的直線是否滿足題意.22．已知函數(shù)，．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，由函數(shù)單調(diào)性討論恒成立問(wèn)題即可；（2）由導(dǎo)數(shù)法直接研究或由換元法化簡(jiǎn)后研究恒成立問(wèn)題.【詳解】（1），