理想中心勢(shì)場(chǎng)一般態(tài)演化的近似研究 讀書筆記

《理想中心勢(shì)場(chǎng)一般態(tài)演化的近似研究》讀書筆記一維諧振子的本征值問題屬于定態(tài)問題。本文首先給出了一維諧振子本征值問題的Heisenberg矩陣力學(xué)解法，Dirac算子代數(shù)解法和Schr?dinger波動(dòng)力學(xué)解法。在此基礎(chǔ)上，給出了一維半壁諧振子勢(shì)阱（壘）問題的解法。然后討論了相干態(tài)和壓縮態(tài)，它們是非經(jīng)典量子效應(yīng)，在超標(biāo)準(zhǔn)量子極限的高精度光學(xué)測(cè)量、超低噪光通信及量子通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，是物理學(xué)研究前沿課題之一。最后從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓縮態(tài)。從Dirac算子代數(shù)中求解出的本征態(tài)即諧振子的相干態(tài)，并由降算符與升算符、光子數(shù)與相位的最小不確定關(guān)系得出相干態(tài)和壓縮態(tài)。與空間有關(guān)的一維定態(tài)Schr?dinger方程為：在量子力學(xué)中，如不作特別說明，都假定勢(shì)能V取實(shí)數(shù)，即V=V*。若對(duì)應(yīng)于某個(gè)能量E，方程（2.1）只有一個(gè)解，則稱能級(jí)E不簡(jiǎn)并。若對(duì)應(yīng)于某個(gè)能量E，方程（2.1）不只一個(gè)解，則稱能級(jí)E是簡(jiǎn)并的。設(shè)是方程（2.1）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值為E，則也是方程（2.1）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值也是E。且總可以找到方程（2.1）的一組實(shí)解，凡是屬于E的任何解，均可表成這組實(shí)解的線性疊加。2.1求解波函數(shù)采用自然單位，則(15)因此H具有相空中的旋轉(zhuǎn)不變性，令(16a)(16b)利用，容易得(17)對(duì)H進(jìn)行因式分解(18)式中(19)則[，]=0(20)因?yàn)?21)(22)所以為正定Hermite算符，亦為正定Hermite算符設(shè)(23)n為正數(shù)，表示的一個(gè)本征態(tài)，由(17)(18)式得(24a)(24b)(25a)(25b)因此可知，若為的本征態(tài)，且本征值為n，則與也是的本征態(tài)，且本征值為n-1，n+1。由(25a)式可知是的本征態(tài)，從的某個(gè)本征態(tài)出發(fā)，逐次用降算符運(yùn)算可得的一系列本征態(tài)，，，，…(26)相應(yīng)的本征值為n，n-1，n-2，…(27)因?yàn)闉檎℉ermite算符，它的所有本征值必須。設(shè)的最小本征值為，本征態(tài)為。故它的必須滿足(28)由此可得(29)即是的本征值，對(duì)應(yīng)本征值為=0，因此可記為。由(25b)式可知，也是的本征態(tài)，從的最小本征值=0對(duì)應(yīng)的本征態(tài)出發(fā)，逐次運(yùn)用算符可得的全部本征態(tài)，，，…(30)相應(yīng)本征值為0，1，2，…(31)可以得的歸一化本征態(tài)(32)它是的本征態(tài)(33)，n=0，1，2…(34)添上能量單位，，n=0，1，2….(35)2.2求解波函數(shù)由(28)式=0即得，，(36)解得(37)由歸一化條件得，(38)由(32)式得，即=(39)令，則(36)式可寫成:=(40)=(41)(42)易得=，即n的奇偶性決定諧振子波函數(shù)的奇偶性。2.3Hermite多項(xiàng)式的遞推關(guān)系(43)(44)因此(45)(46)由(45)(46)兩式得(47)即=得(48)由(43)得==(49)而(50)由(49)(50)兩式得(51)線性諧振子彈簧振動(dòng)、單擺是諧振子，它們的位移或角位移滿足方程：諧振子在物理中很重要，很多物理問題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個(gè)原子的微振動(dòng)，就可以看成在各自平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。1一維諧振子的定態(tài)本征問題1.1經(jīng)典模型經(jīng)典力學(xué)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體在線性回復(fù)力f=kx作用下進(jìn)行的一種運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系可以表示為取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且作為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能可以表示為(1.1)其中k是諧振子的勁度系數(shù)，為諧振子的質(zhì)量，是振動(dòng)角頻率。以此為基礎(chǔ)，簡(jiǎn)諧振子的能量可表示為.(1.2)1.2量子模型在量子力學(xué)中，作為一個(gè)重要的物理模型，一維諧振子問題是許多周期性運(yùn)動(dòng)的代表。原子分子的振動(dòng)、黑體輻射、晶格振動(dòng)以及量子場(chǎng)論中的場(chǎng)量子化等都可以借用諧振子這一物理模型來(lái)處理。這里，我們簡(jiǎn)單回顧一下量子諧振子模型的相關(guān)理論。一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程可以表示為(1.3)將一維諧振子的勢(shì)能(1.1)式代入定態(tài)薛定諤方程(1.3)中，可以得到(1.4)令(1.5)并且作一個(gè)變量代換，令(1.6)方程(1.4)可變?yōu)?1.7)式(1.7)一個(gè)變系數(shù)二級(jí)常微分方程。當(dāng)很大時(shí)，λ與ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞時(shí)該式可寫為（1.8）它的解ψ上式即方程(1.7)的漸近解。因?yàn)椴ê瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件要求當(dāng)ξ→±∞時(shí)ψ應(yīng)為有限，所以我們對(duì)波函數(shù)只取指數(shù)上的負(fù)號(hào)，即根據(jù)上面的討論，可以把ψ寫成如下形式（1.9）式中的待求函數(shù)H在ξ有限時(shí)應(yīng)為有限，而當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H的行為必須保證為有限，因?yàn)橹挥羞@樣才能滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。式(1.9)對(duì)ξ求二階微商有將上式代入(1.7)后，可得到H滿足的方程為（1.10）采用級(jí)數(shù)解法，把H展成ζ的冪級(jí)數(shù)來(lái)求方程的解時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)必須含有限項(xiàng)，才能在ξ→±∞時(shí)使為有限，而級(jí)數(shù)只含有限項(xiàng)的條件是λ為奇數(shù)，即n=0,1,2,…由此可求得一維諧振子的能量本征值En，即其量子化能級(jí)為n=0,1,2…（1.11）這表示一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級(jí)間距相等，均為。對(duì)于（1.11）式中不同的n值，方程（1.10）有不同的解。這里的稱為厄密（HermitIan）多項(xiàng)式,可以表示為（1.12）此外，由（1.9）式可得，對(duì)應(yīng)能量的相應(yīng)波函數(shù)是（1.13）式中是歸一化常數(shù)，它由歸一化條件可確定為一個(gè)量子系統(tǒng)，若其哈密頓量可標(biāo)記為，則該系統(tǒng)的演化算符可用表示。這里，哈密頓量算符出現(xiàn)在指數(shù)上，因此演化算符無(wú)法直接作用在相應(yīng)的初態(tài)上，為利用這個(gè)演化算符考慮某態(tài)隨時(shí)間的演化，我們采取兩套方案進(jìn)行討論。用Fourier變換求一維線諧振子的波函數(shù)和能量本征值用Fourier變換把一維線諧振子的薛定諤方程化為比較容易求解的一階微分方程，解出一階微分方程后再利用Fourier逆變換得到薛定諤方程的級(jí)數(shù)解，最后利用波函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)處等于0的邊條件確定能量本征值和本征函數(shù)．以一維諧振子為研究對(duì)象,討論了一維諧振子初態(tài)隨時(shí)間的演化問題,采用了常用的精確求解法并發(fā)展了近似求解法。最后對(duì)兩種方法所得結(jié)果進(jìn)行分析比較,得到其結(jié)果一致的結(jié)論,從而為確定的哈密頓量系統(tǒng)的態(tài)演化問題提供了一套理論處理方案。一維諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型，在理論上及實(shí)際應(yīng)用中，它往往能使復(fù)雜的問題大大地簡(jiǎn)化。目前對(duì)于一維諧振子的