新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 平面向量基本定理及其應(yīng)用（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第第頁(yè)參考答案1．B【解析】【分析】根據(jù)基底的定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以兩向量不能作為一組基底；對(duì)于C，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于D，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底.故選：B．2．A【解析】【分析】由正六邊形性質(zhì)及向量加法的線性運(yùn)算可判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由正六邊形的性質(zhì)可知，所以，故A正確；對(duì)于B，由正六邊形的性質(zhì)可知，從而可知與不可能共線，故B不正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，由正六邊形的性質(zhì)可知與平行，故向量與不能構(gòu)成一組基底，故D不正確.故選：A3．D【解析】【分析】根據(jù)共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線即可.【詳解】A選項(xiàng)：令，因?yàn)?，不共線，所以，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項(xiàng)：令，因?yàn)?，不共線，所以，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項(xiàng)：令，因?yàn)?，不共線，所以，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項(xiàng)：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D4．D【解析】【分析】由平面向量基本定理可知可以用和表示出來(lái)，從而得到，即可得到【詳解】由題意可知：所以即故選：D5．B【解析】【分析】由向量加法法則，把分別表示為，，然后由已知條件得，，兩者結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】由，得，，又，，，所以．故選：B．6．D【解析】【分析】由題，，，結(jié)合向量加法法則即可求得【詳解】，故選：D7．B【解析】【分析】根據(jù)集合圖形中線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得，又，，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值.【詳解】在等腰中，已知?jiǎng)t，因?yàn)榉謩e是邊的點(diǎn)，所以，而，左右兩邊平方得，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，即的最小值為.故選：B.8．B【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故選：B9．B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算及平面向量基本定理求解即可.【詳解】由題意知，因?yàn)椋裕?故選：B.10．B【解析】【分析】利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.【詳解】由題可得：．故選：B．11．A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，對(duì)于①，故兩向量共線；對(duì)于②，故兩向量共線；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共線.【詳解】對(duì)于①，，，故兩向量共線；對(duì)于②，，，故兩向量共線；對(duì)于③，，假設(shè)存在，因?yàn)?，是不共線向量，故得到無(wú)解.故選：A.12．A【解析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解.【詳解】.故選：A13．D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理判斷．【詳解】當(dāng)與共線時(shí)，A項(xiàng)不正確；當(dāng)與是相反向量，λ＝μ≠0時(shí)，＝，故B項(xiàng)不正確；若與不共線，則與、共面的任意向量可以用，表示，對(duì)空間向量則不一定，故C項(xiàng)不正確，D項(xiàng)正確．故選：D．14．B【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算法則求得，可得，則，展開(kāi)后利用基本不等式可得的最小值為，結(jié)合的最小值為列方程求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則，又由點(diǎn)三點(diǎn)共線，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，則有,解可得或(舍），故，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算法則，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.15．B【解析】【分析】如圖所示，取、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，將和化為基向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立以、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，∴，，∴.故選：B．16．D【解析】【分析】根據(jù)向量共線轉(zhuǎn)化為，利用三點(diǎn)共線求實(shí)數(shù)的取值.【詳解】，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查向量共線，平面向量基本定理，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.17．D【解析】【分析】選基底，用基向量表示出所求，由二次函數(shù)知識(shí)可得.【詳解】記，因?yàn)?，所?故選：D18．B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算即可求解.【詳解】依題意，，故選：B19．B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.20．A【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案.【詳解】同理：，，所以,所以與反向平行.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線定理和平面向量基本定理，重點(diǎn)考查向量的表示，屬于基礎(chǔ)題型.21．B【解析】【分析】根據(jù)，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得A，根據(jù)點(diǎn)在邊上，且，得到，再由余弦定理結(jié)合兩邊平方，得到，令，得到，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值時(shí)a，b，c的關(guān)系，再利用正弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.22．B【解析】設(shè)，由，，得到，結(jié)合平面向量的基本定理，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則在平行四邊形ABCD中，因?yàn)?，，所以點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所以。故選：B.【點(diǎn)睛】平面向量的基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路：1、應(yīng)用平面向量的基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)時(shí)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；2、用平面向量的基本定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.23．C【解析】【分析】根據(jù)圖示即可求出．【詳解】如圖所示：，．故選：C．24．B【解析】【分析】以為基底表示有關(guān)向量，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算和定義求解.【詳解】設(shè),則.，故選：B.25．C【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，把向量用向量和表示，結(jié)合可求得的值.【詳解】由已知條件,圖形如下圖所示：,解得.故選：.26．C【解析】【分析】逐一判斷選項(xiàng)中的向量是否共面，可得選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，有，則，，共面，不能作為基底，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，共面，不能作為基底，故B不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，共面，不能作為基底，故D不正確，對(duì)于C，設(shè)（為不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)），解得與題意不符，所以，，不共面，可以作為基底，故C正確，故選：C.27．D【解析】【分析】過(guò)作，根據(jù)平面向量基本定理求得，即可求得與的面積之比.【詳解】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．28．A【解析】【分析】由為的中點(diǎn)得到，設(shè)，結(jié)合，得到，再由，得到，然后利用與不共線求得m，n即可.【詳解】解：由為的中點(diǎn)可知，，，設(shè)，則，，，，，與不共線，，解得，故選：.29．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法法則及共線向量，列式求解作答.【詳解】在長(zhǎng)方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，則，而，，所以.故選：C30．A【解析】【分析】設(shè)，由向量的運(yùn)算法則得到，又由，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，所以，解?故選：A.31．B【解析】【分析】利用向量的減法及平面向量基本定理即得.【詳解】因?yàn)椋运?，所以故為等邊三角?故選：B.32．C【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得到和，結(jié)合三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線，得出和，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即；又由，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：C.33．A【解析】【分析】將作為基底表示出，然后求其數(shù)量積即可【詳解】解：因?yàn)樵谥?，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以故選：A34．D【解析】【分析】由兩定點(diǎn)滿足，說(shuō)明三點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)出兩定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把點(diǎn)的坐標(biāo)用的坐標(biāo)及表示，把不等式去絕對(duì)值后可得線性約束條件，畫(huà)出可行域可求出點(diǎn)所表示區(qū)域的面積【詳解】由兩定點(diǎn)滿足，而，則，所以，則三點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，不妨設(shè)，設(shè)，由，得，所以，解得，由，得，或，或，或，可行域如圖中矩形及其內(nèi)部區(qū)域，則區(qū)域面積為，故選：D35．ABC【解析】【分析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時(shí)，最?。划?dāng)M與C重合時(shí)，的值最大，因不含邊界，所以取開(kāi)區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)所以，即當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí)所以，即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開(kāi)區(qū)間，即，結(jié)合選項(xiàng)可知ABC符合，D不符合故選：ABC36．BD【解析】【分析】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，可判斷選項(xiàng)A；從而可得，可判斷選項(xiàng)B；連結(jié)交于點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)C；先判斷出，結(jié)合向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以AH與CF是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；又，所以．所以，B項(xiàng)正確；由上過(guò)程可知，連結(jié)交于點(diǎn),在直角三角形中，為的中點(diǎn)，則,又，所以，C項(xiàng)錯(cuò)誤；又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：，延長(zhǎng),相交于點(diǎn)，則所以，故，所以，D項(xiàng)正確．故選:BD.37．ABC【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【詳解】選項(xiàng)A：作為基底的兩個(gè)向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；選項(xiàng)B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；選項(xiàng)C：在方向上的投影向量為：，故C正確；選項(xiàng)D：平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯(cuò)誤故選：ABC38．ABC【解析】利用向量加法的三角形法則、數(shù)乘運(yùn)算及平面向量基本定理進(jìn)行解題．【詳解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對(duì)；∵，∴，∴，又F為AE的中點(diǎn)，∴，B對(duì)；∴，C對(duì)；∴，D錯(cuò)；故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量加法的三角形法則、數(shù)乘運(yùn)算，考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．39．##0.9【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用表示出，再設(shè)，；用分別表示出求出與，再將其代入，可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值．【詳解】如圖所示，中，，∴，又點(diǎn)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，設(shè)，，∴，又，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為.故答案為：．40．【解析】【分析】由平面向量線性運(yùn)算可得，結(jié)合已知條件以及三點(diǎn)可得，根據(jù)的代換由基本不等式即可求最小值，列方程即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則，又由點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，則有，即，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?41．【解析】【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案.【詳解】，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的分解、線性運(yùn)算.42．【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則有，得，所以，故答案為：43．【解析】【分析】利用平面向量基本定理分別把向量，用基底{，}表示出，結(jié)合得到含有系數(shù)，的的基底表示，與直接根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到的的基底表示比較，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，且，不共線，所以，兩式相加得，顯然,所以，故答案為：．44．【解析】【分析】設(shè)是中點(diǎn)，用向量表示，平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求中線長(zhǎng)，然后由求出取值范圍，即可得結(jié)論．【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，則，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，．故答案為：．45．（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，進(jìn)而可得結(jié)果.（2）設(shè)，則，則，，由，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）∵∴∴由已知∴，∴，∴（2）∵，N為的中點(diǎn)，易證與全等，則，設(shè)，則∵∵∴∴46．(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面各對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義可得，整理即可得到表示的線性表達(dá)式.（2）由向量數(shù)量積的定義可得，結(jié)合（1）的結(jié)論，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，整理即可得關(guān)于t的函數(shù).(1)∵，，∴，即，∴.(2)∵，，∴，又且，∴，即，∴，即，.47．(1)(2)，7，6【解析】【分析】（1）由已知得，，為的中點(diǎn)，可得答案；（2）設(shè)，得，設(shè)，可得，即，由，不共線和平面向量基本定理求得、，可得答案.(1)根據(jù)題意因?yàn)椋?，所以，所以，為的中點(diǎn)，，，所以，.(2)因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線