新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 對數(shù)函數(shù)的最值問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【解析】【分析】利用基本不等式或反例可得正確的選項.【詳解】對于A，取，則，最小值不為8；對于B，因為，但無解，從而此函數(shù)的最小值不為8，對于C，取，則，此函數(shù)的最小值不為8，對于D，，當且僅當時等號成立，故此函數(shù)的最小值為8，故選：D.2．A【解析】【分析】畫出的圖象，然后討論與，的大小關系，利用對數(shù)函數(shù)的性質，得出的解析式，然后求出最小值即可．【詳解】由已知可得，畫出的圖象，如下圖所示，當即時，由圖象知，在上單調遞減，所以，當即時，由圖象知，在上單調遞增，所以，當即時，由圖象知，在上單調遞減，在單調遞增，所以的最大值可能為或，又，所以當時，，當時，，綜上由對數(shù)函數(shù)的性質知的最小值為．故選:A3．C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調性得出函數(shù)在時取得最小值．【詳解】，因為是增函數(shù)，因此當時，，，當時，，，而時，，所以時，．故選：C．4．D【解析】【分析】由題設知在恒成立，結合正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質可得，再根據(jù)正弦、對數(shù)函數(shù)的區(qū)間單調性及恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，即在恒成立，當時，上，不滿足題設，所以，此時在上遞減，遞增，要使不等式恒成立，則，即，綜上.故選：D5．A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對分兩種情況討論，結合二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A6．C【解析】【分析】根據(jù)解析式可得其單調性，根據(jù)x的范圍，可求得的最大值和最小值，根據(jù)題意，列出方程，即可求得a值.【詳解】由題意得在上為單調遞增函數(shù)，所以，，所以，解得，又，所以.故選：C7．C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性得到，參變分離后換元，得到，利用在上的單調性求出最大值，從而得到實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當時，要使得不等式有意義，需要在恒成立，可得，此時不等式恒成立等價于恒成立，即.令，則，且，所以.因為在上單調遞減，所以，當時，取得最大值為1，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.8．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的最小值，的最小值即可列式求解．【詳解】函數(shù)在上單調遞增，則有，又在上單調遞減，則有，因為，，使得，于是得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D9．C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題為真命題，求出的取值范圍，結合充分不必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】∵命題“任意x∈[1，2]，－a0”為真命題，∴在[1，2]上恒成立，此時，∴a1，故命題“任意x∈[1，2]，－a0”為真命題的一個充分不必要條件是a2，故選：C10．A【解析】【分析】令，，，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再由，令，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質判斷的單調性，即可得到的最值，即可求出函數(shù)的最大值與最小值之和；【詳解】解：，令，，，由，可知，故函數(shù)的圖象關于原點對稱，設的最大值是，則的最小值是，由，令，當時，在，遞減，所以的最小值是，的最大值是，故，的最大值與最小值的和是，當時，在，單調遞增，所以的最大值是，的最小值是，故，故函數(shù)的最大值與最小值之和為8，綜上：函數(shù)的最大值與最小值之和為8，故選：A．11．A【解析】【分析】分兩種情況分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質即可求解.【詳解】當時，是減函數(shù)，，則，解得；當時，是增函數(shù)，，則，解得，又，所以；綜上取值范圍是.故選A【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質、利用單調性解不等式，分類討論，屬于中檔題.12．A【解析】令，只存在最小值，結合已知可得，再由對數(shù)函數(shù)的定義域，最小值為正數(shù)，建立的不等量關系，求解即可.【詳解】令，函數(shù)有最小值，，且，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)和二次函數(shù)的性質，要注意對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎題.13．A【解析】【分析】函數(shù)式變形后把作為一個整體，結合二次函數(shù)的性質求解．【詳解】由題意知的定義域為.所以，，，時等號成立．故選：A.【點睛】本題考查求對數(shù)型函數(shù)的最值，解題方法利用整體思想（實質就是換元法）結合二次函數(shù)的性質求解．14．A【解析】【分析】令，得到，根據(jù)恒成立，得到，即可求解.【詳解】令，可得函數(shù)表示開口向上的拋物線，且對稱軸為，所以，因為恒成立，所以，即，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：A.15．A【解析】【分析】由f(2)=4運算可得，再由分段函數(shù)的最值結合對數(shù)函數(shù)的單調性即可得解.【詳解】因為f(2)=2m+8=4，所以，所以當x≤3時，，此時，因為函數(shù)存在最小值，所以當x>3時，單調遞增，且loga3≥2，所以,解得a∈.故選：A.16．D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性可知，若函數(shù)存在最小值，則最小值是，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，列式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】∵函數(shù)∴當時，的范圍是；當時，，，由題意存在最小值，則，解得.故選：D．17．B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性；畫出圖象，數(shù)形結合即可判斷函數(shù)的單調性以及最值.【詳解】因為函數(shù)f(x)=lg(|x-2|+1)，所以函數(shù)f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函數(shù).由y=lgx的圖象向左平移1個單位即可得到y(tǒng)=lg(x+1)的圖象，再將其進行翻折變換即可得到y(tǒng)=lg(|x|+1)的圖象，再將其圖象向右平移2個單位即可得到y(tǒng)=lg(|x-2|+1)的圖象.數(shù)形結合，可知f(x)在區(qū)間(-∞，2)內是減函數(shù)，在區(qū)間(2，+∞)內是增函數(shù).由圖象可知函數(shù)存在最小值為0.所以①②正確.故選：.【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)圖象的應用，涉及其單調性和最值的求解，屬綜合基礎題.18．B【解析】【分析】由題意可得內層函數(shù)要有最小正值，且外層函數(shù)為減函數(shù)，可知0＜a＜1．再由二次函數(shù)的判別式小于0求得a的范圍，取交集得答案．【詳解】解：令，要使函數(shù)有最大值，則內層函數(shù)要有最小正值，且外層函數(shù)為減函數(shù)，可知0＜a＜1．要使內層函數(shù)要有最小正值，則，解得．綜合得a的取值范圍為．故選：B.19．A【解析】【分析】分別討論和，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調性列方程即可得解.【詳解】由題意解得或（舍去），①當時，函數(shù)在定義域內為增函數(shù)，則由題意得，所以即，解得或（舍去）；②當時，函數(shù)在定義域內為減函數(shù)，則由題意得，所以即，解得；綜上可得：或.故選：A.【點睛】本題考查了分類討論思想的應用，考查了對數(shù)函數(shù)單調性的應用，屬于基礎題.20．A【解析】根據(jù)題意，先求得，把不等式在上恒成立，轉化為在上恒成立，結合指數(shù)冪的運算性質，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的值域為，可得函數(shù)的最大值為，當時，函數(shù)顯然不存在最大值；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)有最大值，即，解得；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數(shù)無最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函數(shù)在上單調遞增，所以，即，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.21．A【解析】【分析】根據(jù)題意，轉化為命題“，”為真命題．利用不等式恒成立得出關于的不等式求解.【詳解】由題意知且，命題“，”為真命題，當時，，易知在上單調遞減，其最小值為，則由恒成立得，即；當時，恒成立，則，此時函數(shù)為增函數(shù)，故，得．綜上，，即實數(shù)的取值范圍是．故選：A22．A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，分和兩種情況分類討論，結合函數(shù)的單調性，列出不等式，即可求解.【詳解】當時，由，可得，則，又由，此時不等式不成立，不合題意；當時，函數(shù)在上單調遞減，此時函數(shù)在上單調遞增，又由在上單調遞增，要使得不等式在內恒成立，可得，解得.故選：A.23．B【解析】【分析】首先根據(jù)的解集為得到，根據(jù)函數(shù)的最大值為－1，得到，再解方程即可.【詳解】因為的解集為，所以，因為，函數(shù)的最大值為－1，則，解得.故選：B24．B【解析】分類討論最值，當時，當時，分別求出最值解方程，即可得解.【詳解】由題：函數(shù)（，且）在區(qū)間上的最小值為2，當時，在單調遞增，所以最小值，解得；當時，在單調遞減，所以最小值，解得，不合題意，所以.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的取值，需要分類討論，關鍵在于熟練掌握對數(shù)函數(shù)的單調性.25．B【解析】討論的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的最大值．【詳解】解：因為(且)，即(且)，①當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以；②當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以；所以的最大值為或故選：B【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調性的性質，利用函數(shù)單調性與的關系是解決本題的關鍵，注意要對進行分類討論．26．B【解析】【分析】分類討論，分析復合函數(shù)的單調性，明確函數(shù)的最大值，解不等式即可.【詳解】令，則，當時，，對稱軸為，此時，在上單調遞減，而單調遞增，∴在上單調遞減，∴，∴，即，不適合題意；當時，，對稱軸為，此時，在上單調遞減，而單調遞減，∴在上單調遞增，∴，∴，即，又，∴，綜上，a的取值范圍是(0，1)故選：B.27．A【解析】【分析】本題先將條件轉化為不等式，再根據(jù)不等式求解即可.【詳解】解：∵對任意，存在，使得，∴∵，∴，∵，∴∴，解得，故選：A.【點睛】本題考查恒成立問題與存在性問題，關鍵在于問題的轉化，是中檔題.28．B【解析】【分析】分別求出分段函數(shù)每一段函數(shù)得最大值，然后取大者即可的解.【詳解】解：當時，，則，當時，，因為，則，所以，綜上所述，故選：B29．D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性分類討論得最大值，從而求得參數(shù)值．【詳解】當時，在上單調遞增，，即，解得；當時，在上里調遞減，即解得；綜上：或，故選：D．30．A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調性，可判斷，再由對數(shù)函數(shù)的單調性，求得的單調性和最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】解：由于，，可得，，當時，則，在不恒成立；故，由在單調遞增，在單調遞減，可得在單調遞增，則的最大值為，由題意可得，即有，解得，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，注意運用函數(shù)的單調性，考查分類討論思想和運算能力、推理能力．31．BCD【解析】化簡函數(shù)的解析式，求解函數(shù)的定義域，利用對數(shù)函數(shù)的性質，以及復合函數(shù)單調性的判斷條件，逐項判斷，即可得出結果.．【詳解】，由得，函數(shù)的定義域為；令，則，二次函數(shù)開口向下，其對稱軸為直線，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又函數(shù)在上單調遞增；由復合函數(shù)的單調性，可得在上單調遞增，在上單調遞減；故A錯；因為時，，即，所以在上的最大值為，無最小值；故BC正確；因為，，即，所以的圖象關于直線對稱，故D正確.故選：BCD．【點睛】思路點睛：求解對數(shù)型復合函數(shù)的單調性及最值時，一般根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，以及復合函數(shù)單調性的判定方法，先判斷函數(shù)單調性，再由函數(shù)單調性，即可求出最值等.32．BD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義求得，由復合函數(shù)的單調性得出的單調性，從而可判斷各選項．【詳解】是偶函數(shù)，則，，，恒成立，所以，A錯；，由勾形函數(shù)性質知在時是增函數(shù)，又在時有且為增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，B正確，為偶函數(shù)，因此在上遞減，所以，C錯；易知時，，即的值域是，所以有兩個不相等的實根．D正確．故選：BD．33．ABD【解析】【分析】A.利用分數(shù)指數(shù)冪的互化公式計算；B.利用函數(shù)相等的定義判斷；C.利用換底公式以及對數(shù)運算公式計算；D.利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的最值判斷.【詳解】A.根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的運算公式可知正確，故A正確；B.，根據(jù)函數(shù)相等的定義，可知與表示同一個函數(shù)，故B正確；C.，故C不正確；D.首先設，函數(shù)的定義域是，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，的最大值和最小值互為相反數(shù)，即的最大值和最小值之和為0，所以的最大值和最小值的和為4，故D正確.故選：ABD34．ABC【解析】【分析】先求出，得到時，再由題意得到，即可求出m的范圍，對照四個選項即可得到正確答案.【詳解】定義域為.由題意知時，，即.此時，時，時，，由得.對照四個選項，可以選:ABC.故答案為：ABC35．【解析】【分析】分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調性、內層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，外層函數(shù)為減函數(shù)，對于內層函數(shù)，，則對任意的實數(shù)恒成立，由于二次函數(shù)有最小值，此時函數(shù)沒有最小值；當時，外層函數(shù)為增函數(shù)，對于內層函數(shù)，函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．36．【解析】【分析】根據(jù)題意必須取得一切正數(shù)，進而結合二次函數(shù)的圖像和性質即可得到答案.【詳解】若函數(shù)的值域為，可得取得一切正數(shù)，于是.故答案為：.37．【解析】【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設，研究的最小值即可．【詳解】解：因為函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，所以在上恒成立，又在上單調遞增，則，所以在上恒成立，即在上恒成立，，令，，設，易知在上單調遞增，所以，所以，故答案為：．38．【解析】【分析】把不等式變形為，分和情況討論，數(shù)形結合求出答案.【詳解】解：變形為：，即在上恒成立．令，若，此時在上單調遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖象，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：．綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：39．-2【解析】【分析】通過對數(shù)函數(shù)的單調性，確定函數(shù)在給定區(qū)間內的最大值.【詳解】因為，則，由于是減函數(shù)，所以，故答案為：-240．2【解析】設，則，即求在上的最大值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】設，則，即求在上的最大值，由在上是單調遞增函數(shù)，所以當，即時，函數(shù)有最大值2.故答案為：2.41．（1）；（2）當時，的解集為，當時；（3）.【解析】【分析】（1）將直接代入解析式計算即可.（2）將整理為，解得或，再對討論即可解不等式.（3）將問題轉化為，分別分和討論，求最小值，令其大于，即可求解.【詳解】（1）當時，（2）由得：或當時，解不等式可得：或當時，解不等式可得：或綜上所述：當時，的解集為；當時，的解集為（3）由得：或①當時，，或，解得：②當時，，或，解得：綜上所述：的取值范圍為【點睛】本題主要考查了復合函數(shù)的單調性、考查函數(shù)的最值和恒成立問題、考查分類討論的思想，屬于中檔題.42．（1）；（2）①，；②，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算性質解得，舍去負值可得結果；（2）將化為，利用為增函數(shù)可得，，即.【詳解】（1）由已知得，，，∴，，∴，但，∴.（2）①，由，得，∴的定義域.由于，∴當時，，②由，得，即，因為，所以，考慮函數(shù)，所以，因，，都是增函數(shù)，所以為增函數(shù)，∴，∵，故始終有成立.【點睛】關鍵點點睛：令，轉化為，利用單調性求解是解題關鍵.43．（1）6；（2）；（3），此時；，此時．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目函數(shù)的解析式，代入計算函數(shù)值；（2）因為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性求出實數(shù)t的取值范圍；（3）根據(jù)換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調性求出函數(shù)取最大值，最小值，接著再求取最值時對應的x的值.【詳解】（1）；（2），又，，，所以t的取值范圍為；（3）由，令，，當時，，即，解得，所以，此時；當時，，即，，此時．【點睛】求函數(shù)最值和值域