新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 二次求導(dǎo)函數(shù)處理問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．(1)p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.(2)答案見解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)得到的解析式，分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)為零，當(dāng)變化時、的變化如列表所示，從而得到的單調(diào)性.(2)分，，三種情況討論，分別列出表格，寫出單調(diào)性及極值.（1）（，則令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)a≤時，，則在（0，+∞）上恒小于等于0，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減.（2）①若，則，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，，所以有唯一零點(diǎn)，記為，極小值所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有1個極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).②若a＜0，則令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（Ⅰ）若，即，則在（0，+∞）上恒小于等于0，所以p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn).（Ⅱ）若，即＜a＜0，則因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，，所以在和內(nèi)各有一個零點(diǎn)，分別記為和，p（x）極小值極大值所以P（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，p（x）有1個極小值點(diǎn)，1個極大值點(diǎn).綜上，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有1個極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；若a≤，則p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；若＜a＜0，則P（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，p（x）有1個極小值點(diǎn)，1個極大值點(diǎn).2．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可以求解.(1)因?yàn)楹愠闪?，所以，?令函數(shù)，則恒成立.令函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于，即恒成立，令函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍是；(2)因?yàn)槭堑膬蓚€極值點(diǎn)，所以是方程的兩個根，令，則，有（1）的討論可知，若存在兩個零點(diǎn)，，且，由，即，因?yàn)?，所以，即需證恒成立，由可得，令，則，，所以等價于，即，令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故；【點(diǎn)睛】同構(gòu)函數(shù)是解決第一問的關(guān)鍵，第二問中構(gòu)造函數(shù)解決雙變量的問題是技巧，對于雙變量問題必須轉(zhuǎn)化為單變量才好解決.3．(1)當(dāng)a≤0時，f（x）在上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分a≤0，a＞0討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）構(gòu)造g（x）＝eax-2ax+ln（x+1）-1，求出其導(dǎo)函數(shù)及二階導(dǎo)函數(shù)依次判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)知識得到原函數(shù)的最小值，得證不等式恒成立.(1)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），f′（x）＝2a﹣，①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減；②當(dāng)a＞0時，f′（x）＝，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，即f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明：eax＞f（x），即eax-2ax+ln（x+1）-1＞0，令g（x）＝eax-2ax+ln（x+1）-1，x＞0，則g′（x）＝aeax-2a+，令h（x）＝aeax-2a+，則h′（x）＝a2eax-，令φ（x）＝a2eax-，則φ′（x）＝a3eax+＞0，所以φ（x）即h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h′（0）＝a2-1，①當(dāng)a＝1時，h′（0）＝0，則h′（x）＞0恒成立，即h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有h（x）＞h（0）＝2-2＝0；②當(dāng)0＜a＜1時，h′（0）＝a2-1＜0，h′（x）＝a2eax-＞a2eax-1，則h′（）＞1-1＝0，即存在x0＞0使得h′（x0）＝0，即，且h（x）≥h（x0）＝+-2a＝-2a＝＞0，即h（x）≥0，綜上所述，h（x）≥0恒成立，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）＝0，即eax＞f（x）．4．(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知可得有且只有兩個可用二分法求解的根，由此列不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，由條件可得方程在上有兩個根，由此可求的取值范圍.(1)，令，，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，因?yàn)橛袃蓚€不同的極值點(diǎn)，，所以有且只有兩個可用二分法求解的根，所以，所以，所以，又當(dāng)時，，所以方程在上存在一個根，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；所以當(dāng)時，，所以方程在上存在一個根，所以時，有兩個不同的極值點(diǎn).(2)因?yàn)?，，所以令，與，解得：，，則令，則，令，則，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，，所以，單調(diào)遞增，而，所以令，，令，，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞增，令，，令，，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞增，所以數(shù)對與t一一對應(yīng)存在兩組不同的數(shù)對使得方程成立，等價于存在兩組不同的數(shù)對使得成立，等價于存在兩個不同的使得成立，令，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，，，，，所以【點(diǎn)睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．5．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，利用已知條件結(jié)合函數(shù)極值及函數(shù)值，得出的范圍，進(jìn)而得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.(1)的定義域?yàn)椋?，令，即，解得，?dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是在的唯一最小值點(diǎn)．所以．(2)，定義域?yàn)?，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，又，，故存在，使得．所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．因?yàn)橛星覂H有兩個實(shí)根，所以，又，，且所以，故．又又在單調(diào)遞減，故是在的唯一根，故．所以．【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵第一問利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解，第二問利用求二階導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值及函數(shù)值，得出的范圍，進(jìn)而得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可.6．(1)當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論參數(shù)和時，函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（ⅰ）利用參數(shù)分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合即可證得結(jié)論；（ⅱ）由已知，設(shè)，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可求額，再利用的單調(diào)性可求得，進(jìn)而求得結(jié)果.（1）（1）求導(dǎo)，，當(dāng)時，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.當(dāng)時，由，得，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）（?。┝睿?，設(shè)，求導(dǎo)，令，解得，則x+0-極大值當(dāng)時，取得極大值，且且當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖，數(shù)形結(jié)合可知，即.（ⅱ）因?yàn)?，即，且，不妨設(shè)，將代入中，得，即.設(shè)，則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即，從而有，得在上單調(diào)遞減，由已知條件得，即，∴在上單調(diào)遞減，即，得，，即.又因?yàn)椋O(shè)，由（ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，而，所以在上也單調(diào)遞增，得，得，即.綜上，a的最大值是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)有兩種方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極（最）值，轉(zhuǎn)換為函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)問題，應(yīng)用分類討論思想，在含參函數(shù)含參函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題；（2）參數(shù)分離，即由分離參變量，得到，轉(zhuǎn)化為研究與直線的圖像的交點(diǎn)問題.7．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證；（2）分析要使得在區(qū)間上總存在極值點(diǎn)，則需滿足，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得實(shí)數(shù)的取值范圍，由此得證.(1)∵，則，設(shè)，則，令，解得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，且，即所以，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.(2)由（其中），易知，由（1）可知在上單調(diào)遞增，．由，求導(dǎo)，其中，求導(dǎo)，即在上單調(diào)遞增，故．令，由上可知在單調(diào)遞增．要使得在區(qū)間上總存在極值點(diǎn)，則需滿足，而恒成立恒成立，于是，∴，而，又，∴單調(diào)遞減，且，故，∴，∴單調(diào)遞增，且，故，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；∵在上單調(diào)遞增，故······①又，故要使得恒成立，則只需，同理可得······②且，由①②可知，存在當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，判斷函數(shù)的單調(diào)性，對函數(shù)求導(dǎo)，若，則函數(shù)單調(diào)遞增；若，則函數(shù)單調(diào)遞減，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯思維能力，屬于難題.8．(1)函數(shù)的遞增區(qū)間有，遞減區(qū)間有；(2)的取值范圍為.【解析】【分析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)的性質(zhì)列方程求，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間；(2)化簡不等式，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，討論求其最值，由此可得結(jié)果.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?是的一個極值點(diǎn)，所以，所以，解得，所以，且，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，且函數(shù)的遞增區(qū)間有，遞減區(qū)間有；(2)由(1)，所以可化為，當(dāng)時，不等式可化為，可得,當(dāng)時，不等式可化為，設(shè)或，則，設(shè)，則所以單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，，當(dāng)，，，所以函數(shù)在和上都為增函數(shù)，取，，設(shè)，則當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以或的最小值為h(-1),即，所以當(dāng)時，沒有最小值，但其取值能無限趨近，又恒成立，所以，所以，綜上.【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題的解決的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，是否分離參數(shù)取決于分離參數(shù)是否有利于問題的解決.9．(1)減區(qū)間為，無增區(qū)間.(2)當(dāng)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)，函數(shù)在上有1個零點(diǎn)；當(dāng)，函數(shù)在上有2個零點(diǎn).【解析】【分析】(1)利用二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)果；(2)利用分類討論的思想，根據(jù)函數(shù)與具有相同的零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分別研究當(dāng)、、時的單調(diào)性，利用零點(diǎn)的存在性定理即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，則，且，有，令，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，所以，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；(2)由(1)知當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，此時函數(shù)只有1個零點(diǎn)；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋耘c具有相同的零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時，，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，即函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時，令或，若，則，列表如下：1-0+0-極小值極大值當(dāng)時，，當(dāng)即時，，，又，此時函數(shù)有1個零點(diǎn)，則函數(shù)有1個零點(diǎn)；若，則，列表如下：1-0+0-極小值極大值所以，又，，則此時函數(shù)有2個零點(diǎn)，即函數(shù)有2個零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)在上有1個零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)在上有2個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖像與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題．10．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求a的值；（2）化簡，利用導(dǎo)數(shù)求出，分類討論，分別求出，令求解即可.(1)∵，∴，，又，所以切線方程為因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，故．(2)，，設(shè)，則∵，∴，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，則，∴，故．②當(dāng)，即時，，，，即，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，則，∴，∴．由，令函數(shù)，且，，在上單調(diào)遞增，，∵，∴．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.11．(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論和，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）知，在處取得最小值，要證，即證時，，構(gòu)造函數(shù)，證明在上大于等于即可.(1)由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；綜上所述：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由（1）知，在處取得唯一極小值，即最小值，所以，欲證當(dāng)時，，即證當(dāng)時，，令，，則，又令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又,，即，存在唯一使得恒成立，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減；所以的最小值在或處取得，又因?yàn)?，所以，即?dāng)時，，故當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)恒成立；(2)恒成立；12．(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分情況討論其正負(fù)，即可得的單調(diào)性.（2）通過函數(shù)有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成，然后根據(jù)比例，構(gòu)造出，得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性，進(jìn)而可求.(1)）令，則，且對稱軸而易知當(dāng)時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增當(dāng)時在單調(diào)遞減.(2)有兩個零點(diǎn)且，則，設(shè)，

，，，所以，，設(shè)，，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，，則，在遞增，又，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了含參函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，方程與函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題，利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性的問題，分情況討論，轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，二階求導(dǎo)等綜合性的函數(shù)知識，在做題時要理清思路，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題.13．(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）方法1：證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，分別得到，即證；方法2：令，易得在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理可得存在唯一的，使得，則結(jié)合基本不等式即可證明；（2）構(gòu)造，；則，時，在上為單調(diào)增函數(shù)，分別討論，，即可.(1)的定義域?yàn)椋椒?：要證，即證．記，，由于，當(dāng)時，，則在上為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，，則在上為單調(diào)增函數(shù)，所以．又，令，得，當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，所以，得證．方法2：，令，因?yàn)?，所以在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，又，，所以存在唯一的，使得．因?yàn)樵趨^(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，且滿足，，所以，得證．(2)令，則，；則，時，在上為單調(diào)增函數(shù)①當(dāng)時，，且，所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，即，符合題意．②當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，且，所以存在唯一的，使得，且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即不恒成立，不合題意．③當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以存在唯一的，使得，且在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即不恒成立，不合題意．綜上，．【點(diǎn)睛】（1）證明單變量不等式時，構(gòu)造兩個函數(shù)，證明其中一個函數(shù)最小值大于另一個函數(shù)的最大值為重要的方法之一；也可以通過“隱零點(diǎn)”達(dá)到證明的目的．（2）“切點(diǎn)型零點(diǎn)”問題往往通過先猜后證的方式簡化思維量、運(yùn)算量．14．(1)在上遞增.(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合二次求導(dǎo)的方程求得的單調(diào)性；（2）由，結(jié)合二次求導(dǎo)的方法，對進(jìn)行分類討論，利用構(gòu)造函數(shù)法，求得的最小值.(1)且，，令所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以在上遞增.(2)，依題意可知：在上單調(diào)，則在上遞增，所以①在上恒成立.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上遞增，，與①矛盾.當(dāng)時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以時，的最小值，，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以當(dāng)時，也即取得最小值為.【點(diǎn)睛】在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，若一次求導(dǎo)無法解決問題，可考慮利用二次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.求解過程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.15．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論時，函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)，列式即可解出；（2）根據(jù)分離參數(shù)可知，不等式在上恒成立，等價于在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)因?yàn)?，，，所以?dāng)時，則在上單調(diào)遞增，的最小值為不符合，舍去；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在的最小值為，則不符合，舍去；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，則．(2)在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，，設(shè)，在上恒為正，則在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．(1)；(2).【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后得到斜率并寫出切線方程，再將點(diǎn)（0,0）代入切線方程解出，最后得到切線方程；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，且發(fā)現(xiàn)，然后設(shè)并求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分，，和四種情況進(jìn)行討論得到的單調(diào)性，進(jìn)一步得到的單調(diào)性，討論出函數(shù)在處的極值，最后得到答案.(1)時，．設(shè)切點(diǎn)，則，故切線l的方程為，由于切線l過點(diǎn)，則，即，解得，故切線方程為．(2)，，令，則，①當(dāng)時，可知，在上單調(diào)遞增，又，則時，即，單調(diào)遞減，時，即，單調(diào)遞增故在時取得極小值，故滿足條件．②當(dāng)時，則在上為增函數(shù)，又，若，，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，而，于是，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；若，，而，則存在使得，且時，則即單調(diào)遞減，又，故時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，此時為的極大值點(diǎn)，不合題意．若，則，限定，故，于是當(dāng)且時，，那么存在，使得.所以時，，在上單調(diào)遞增，而，于是，時，即，單調(diào)遞減，時，即，單調(diào)遞增，此時為的極小值點(diǎn)，符合題意．綜上所述：函數(shù)在處取極小值時a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題難度較大，首先需要對函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，緊緊抓住“導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的增減”；其次，“時”這一步函數(shù)的放縮有一定的技巧性，平常注意歸納總結(jié).17．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)2【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分別解不等式，可得；（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過二次求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得最值，然后可得.(1)，由解得，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)當(dāng)時，所以記，則記因?yàn)楫?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以存在，記，則…①所以當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增所以當(dāng)時，由最小值…②將①代入②可得所以，因?yàn)閍為整數(shù)，所以a的最大值為2.18．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論的最值情況，證明的最小值大于0即可；（2）對t分類討論，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，討論的變號零點(diǎn)個數(shù)情況即可(1)由題，，故，令，則，當(dāng)時，可知，易得在，在，故，又，又，故，即，得證；(2)由（1）得，原問題等價于在上有且僅有兩個變號零點(diǎn)，i.當(dāng)時，，遞增，不符合情況；ii.當(dāng)時，由，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，所以，故在上有且僅有兩個變號零點(diǎn)的充要條件為，解得，iii.當(dāng)時，，遞減，不符合情況；綜上所述，當(dāng)時，在上有且僅有兩個變號零點(diǎn)，即函數(shù)在上有且僅有兩個極值點(diǎn)19．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，點(diǎn)斜式即可得切線方程；（2）由題意可構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論的思想，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性由求解可得.(1)，，又，故在點(diǎn)處的切線方程為．(2)當(dāng)，令，得，，令，則．①若時，得，則在上單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，不符合題意；②若，令，得．（?。┤?，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，此時，不符合題意；（ⅱ）若，則，在上恒成立，所在上單調(diào)遞減，，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立．綜上所述，a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由原不等式在時恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，是解決問題的第一步，再利用導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性，即函數(shù)值的正負(fù)，由于含有參數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).20．(1)當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極大值.(2)【解析】【分析】（1）分，，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性可得；（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，通過二次求導(dǎo)可判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可得所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后可解.(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時，恒成立，在定義域上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，由解得，在上單調(diào)遞增，由解得，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極大值綜上，當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極大值，無極小值.(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，記則記因?yàn)椋运栽谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)樗?，?dāng)時，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減所以，當(dāng)時，有最大值.所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)得時，，由此得證；（2）將問題等價于對于任意恒成立，令，求導(dǎo)函數(shù)，令，分，兩種情況，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)證明：因?yàn)?，則，又，所以，所以，故在上單調(diào)遞減．(2)解：不等式等價于對于任意恒成立，即對于任意恒成立，當(dāng)時，則有對于任意恒成立，即，令，則，令，所以，若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故在上為減函數(shù)，所以．若，則，因?yàn)闉椴婚g斷函數(shù)，故存在，使得時，，故當(dāng)時，，這與題設(shè)矛盾．所以，又，故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為．22．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再結(jié)合點(diǎn)在切線上即可求解；（2）根據(jù)已知條件及函數(shù)導(dǎo)數(shù)極值的定義，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值即可證明.(1)因?yàn)?，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得，因?yàn)榍芯€與x軸正半軸交于點(diǎn)，所以，所以；(2)因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)?，所以時，，故在上是減函數(shù)，因?yàn)?，若，則時，，當(dāng)時，，若，則，故當(dāng)時，，所以有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，即，故為增函數(shù)，當(dāng)時，即，故為減函數(shù).所以存在唯一極大值點(diǎn)，又因，即，所以等價于所以，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，故【點(diǎn)睛】解決此類型題第一問直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程結(jié)合點(diǎn)在切線上即可；第二問利用函數(shù)極值的定義及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值即可，但由于此題求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)后函數(shù)是超越函數(shù)無法求函數(shù)的零點(diǎn)，因此需要在一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)求導(dǎo)，進(jìn)而研究函數(shù)的問題就很容易.23．(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)λC明的不等式進(jìn)行變形，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次求導(dǎo)法進(jìn)行證明即可；（2）對函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的定義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，通過構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.(1)因?yàn)?，所以要證明成立，只需要證明成立，即證明成立.設(shè)，，設(shè)，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，所以有，即單調(diào)遞增，所以有，即，所以有；(2)，，令，因?yàn)闉楹瘮?shù)g（x）的兩個不等于1的極值點(diǎn)，所以為是方程不相等的兩個正實(shí)根，所以有：，不妨設(shè)，則，，由直線斜率公式可得：，，所以，設(shè)，，設(shè)，設(shè)，，函數(shù)對稱軸為：，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，有，所以函數(shù)是減函數(shù)，故，而所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用換元法，通過構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24．(1)x－y＋1＝0(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求切線方程.（2）求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定原函數(shù)的單調(diào)性，然后確定極值.根據(jù)不等式，即可求解.(1)由已知得＝ex＋a（sinx＋xcosx），而，f（0）＝1，故在x＝0處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0．(2)當(dāng)a＝－2時，由題意得，，則，令φ（x）＝g′（x），則，當(dāng)時，∴g′（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，∵g′（1）＝－2cos1<0，∴，使g′（x0）＝0，∴當(dāng)時，g′（x）<0，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，g′（x）>0，即在上單調(diào)遞增，∴在（0，π）上有唯一極小值點(diǎn)x0且，∴g（x0）<g（1）＝e－2sin1<．設(shè)，時，，則在上單調(diào)遞增，∴h（x0）＝>h（1）＝e，又∵－2sinx0∈（－2，－2sin1），∴g（x0）＝－2sinx0>e－2，綜上，e－2<g（x0）<．25．(1);(2).【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可；（2）根據(jù)所給極值點(diǎn)得出，換元后可得構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求范圍即可.(1)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，令，則時，，所以在時，單調(diào)遞增，所以，所以，即.(2)因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個極值點(diǎn)（），所以，可得，令，則，所以取對數(shù)可得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在恒成立，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)極值點(diǎn)的定義得出，進(jìn)而換元，求出構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出的范圍.26．（1）見解析，（2）見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性（2）由導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析單調(diào)性后求最小值證明【詳解】（1），時，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，③當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時，令，，，，則在上單調(diào)遞增．，取，由零點(diǎn)存在性定理，存在使得，有，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，故時，．27．(1)或(2)【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)當(dāng)、、、時的單調(diào)性，分別求出函數(shù)的最大值，令，解出對應(yīng)的a即可；(2)將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出即可.(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，，①當(dāng)時，，故函數(shù)單調(diào)遞增，有，解得；②當(dāng)時，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.當(dāng)即時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得或.解得（舍去）或舍去）；當(dāng)即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單