橢圓的簡單幾何性質(zhì) 高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第一課時(橢圓的簡單幾何性質(zhì))一、探究新知

與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)-樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置，所以，本章對幾種圓錐曲線都是，從范圍、對稱性、頂點及其他特性等方面研究它們的幾何性質(zhì).

下面，我們用橢圓方程

(a>b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?

橢圓上哪些點比較特殊?OxyF1F2M(-c,0)(c,0)yOxF1F2M(0,-c)(0,c)

觀察右下圖,容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形內(nèi)，你能利用方程(代數(shù)方法)確定出它的具體邊界嗎?

用代數(shù)方法研究曲線的范圍，就是利用方程確定曲線上點的橫縱坐標(biāo)取值范圍.F1OyF2x1.范圍:-a≤x≤a，-b≤y≤b

橢圓落在直線x=±a,y=±b組成的矩形框里.所以-a≤x≤a，

-b≤y≤b.二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

觀察橢圓的形狀，可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，如何利用方程說明橢圓的對稱性?2.對稱性:二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)yxOP(x,y)P3(-x,-y)P2(-x,y)P1(x,-y)(1)把(x)換成(-x),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對稱；(2)把(y)換成(-y),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對稱；(3)把(x)換成(-x),(y)換成(-y),方程不變,說明橢圓關(guān)于(

)對稱.yx原點橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸原點是橢圓的對稱中心二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

研究曲線上某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置.

你認(rèn)為橢圓

上哪些點比較特殊?為什么?如何得到這些點的坐標(biāo)?OxyB2(0,-b)A1(-a,0)B1(0,b)A2(a,0)

線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a、2b；a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.3.頂點:

橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點.即：A1(-a,0)、A2(a,0)、

B1(0,-b)、B2(0,b)二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

觀察右圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同形狀的橢圓的扁平程度不同，相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

當(dāng)e=0，則a=b，c=0，焦點重合，橢圓變?yōu)閳A，方程變?yōu)閤2+y2=a2.4.離心率:

橢圓的焦距與長軸長的比

就稱為橢圓的離心率，用e表

示，即.(1)離心率的取值范圍：0<e<1(2)離心率對橢圓形狀的影響：①e越接近1，c就越接近a，b就越小，橢圓就越扁.②e越接近0，c就越接近0，b就越大，橢圓就越圓.

當(dāng)e=0時，橢圓會變成什么圖形？

你能運用三角函數(shù)的知識解釋，為什么

越大，橢圓越扁平?

越小，橢圓越接近于圓嗎?三、典型例題例1

已知橢圓方程為16x2+25y2=400，則它的長軸長是

；短軸長是

；焦距是

；離心率等于

；焦點坐標(biāo)是

；頂點坐標(biāo)是_____________________________.

1086(-3,0)、(3,0)(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)三、典型例題方法歸納1.將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程

的形式.2.確定焦點的位置.三、典型例題例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)離心率e=0.8，焦距為8.(3)長軸是短軸的2倍，且過點P(2,-6).(1)a=6，e=，焦點在x軸上.(4)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，

且焦距為6.三、典型例題例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)離心率e=0.8，焦距為8.(3)長軸是短軸的2倍，且過點P(2,-6).(1)a=6，e=，焦點在x軸上.(4)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，

且焦距為6.解：(2)三、典型例題例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)離心率e=0.8，焦距為8.(3)長軸是短軸的2倍，且過點P(2,-6).(1)a=6，e=，焦點在x軸上.(4)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，

且焦距為6.解：(3)三、典型例題例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)離心率e=0.8，焦距為8.(3)長軸是短軸的2倍，且過點P(2,-6).(1)a=6，e=，焦點在x軸上.(4)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，

且焦距為6.解：(4)三、典型例題方法歸納1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,應(yīng):先定位(焦點),再定量(a、b)2.當(dāng)焦點位置不確定時，要討論！四、課堂小結(jié)1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長離心率

a、b、c關(guān)系(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x、y軸成軸對稱;關(guān)于原點成中心對稱長半軸長為a,短半軸長為b(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2(a>b>0)四、課堂小結(jié)2.方法歸納：

(1)將橢圓方