高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算

若把平面內(nèi)所有的單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，它們的終點(diǎn)組成什么圖形？

提示:以所給點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓.

若你能給出以為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎?

提示:如圖，說(shuō)明平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，故平行四邊形是矩形.

1.下列命題正確的是（）(A)與共線，與共線，則與也共線(B)任意兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)(C)與不共線，則與都是非零向量(D)有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【解析】選C.由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，所以應(yīng)選C.2.已知O、A、B是平面上的三點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足則等于（）(A)(B)(C)(D)【解析】選D.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，3.是A、B、C為三角形三個(gè)頂點(diǎn)的（）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選B.若點(diǎn)A、B、C共線，則不是三角形，反之，若是三角形，則有4.已知其中,為已知向量，則向量=_______，=______.【解析】由已知得兩式相減，化簡(jiǎn)得代入上面的任一式得答案:1.數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量?jī)蓚€(gè)向量只要它們的模相等、方向相同，它們就是相等向量，而與它們的起點(diǎn)在哪里沒(méi)有關(guān)系.這就為我們應(yīng)用向量帶來(lái)方便，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，可以把向量自由平移等.2．向量的線性運(yùn)算規(guī)律向量的加減法都可以推廣到若干個(gè)向量間進(jìn)行.加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”，用字母表示的向量進(jìn)行線性運(yùn)算時(shí)可以類比多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式進(jìn)行.3．共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)(1)向量共線的充要條件中要注意“”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).(2)應(yīng)用共線向量定理時(shí)注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(3)利用向量共線證明平面幾何中點(diǎn)共線或直線平行時(shí)注意強(qiáng)調(diào)平面中這些元素的位置關(guān)系.

向量的概念【例1】判斷下列各命題是否正確.(1)零向量沒(méi)有方向；(2)若則(3)單位向量都相等；(4)向量就是有向線段；(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同；1(6)若則(7)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(8)的充要條件是且【審題指導(dǎo)】以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明其不正確.【自主解答】(1)不正確，零向量的方向任意；(2)不正確，說(shuō)明它們的模相等,但與的方向不一定相同，所以與不一定相等；(3)不正確，單位向量的模均為1,方向任意；(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式；(5)正確；(6)正確，向量相等有傳遞性；(7)不正確,如圖(8)不正確，當(dāng)且方向相反時(shí)，即使也不能得到【規(guī)律方法】涉及平面向量的有關(guān)概念的命題真假判斷，準(zhǔn)確把握概念是關(guān)鍵；掌握向量與數(shù)的區(qū)別，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.【變式訓(xùn)練】給出下列命題:(1)兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.(2)兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.(3)(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零.(4)λ,μ為實(shí)數(shù),若則與共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】選C.(1)錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).(2)正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮?又有方向,故它們不能比較大小,但它們的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大小.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),不論λ為何值,(4)錯(cuò)誤.當(dāng)λ=μ=0時(shí),此時(shí),與可以是任意向量.

向量的線性運(yùn)算【例2】(2010·四川高考改編)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則（）(A)8(B)4(C)2(D)1【審題指導(dǎo)】本題關(guān)鍵是從題中條件找出隱含的條件進(jìn)而利用向量加減法的幾何意義和模的概念求解.2【自主解答】選C.∵∴而故【規(guī)律方法】三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法，共起點(diǎn)的向量和用平行四邊形法則，差用三角形法則；當(dāng)M為BC中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)作為公式記住.【互動(dòng)探究】試判斷本例中△ABC的形狀.【解析】設(shè)計(jì)算時(shí)的平行四邊形為

ACDB,則由知平行四邊形為矩形，∴AC⊥AB，故△ABC為直角三角形.【變式訓(xùn)練】設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（）(A)(B)(C)(D)【解析】選B.因?yàn)樗渣c(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B.【例】如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，且其中一個(gè)三角板ABC為等腰直角三角形，另一個(gè)三角板DBE中∠DEB=30°,若則用,表示【審題指導(dǎo)】本題中兩個(gè)三角形的關(guān)系比較密切，充分利用邊角的關(guān)系及向量的知識(shí)解決即可.【規(guī)范解答】如圖，作DF⊥AB交AB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，不妨設(shè)AB=AC=1，則又∠DEB=30°,∴BD=又∠DBF=45°,∴FD=BF=【規(guī)律方法】在平面圖形中進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，要充分利用平面幾何的有關(guān)知識(shí)，注意圖形中的線段是如何轉(zhuǎn)化為向量的.【變式備選】若則∠AOB平分線上的向量為（）【解析】選B.分別為方向上的單位向量，是以為一組鄰邊的平行四邊形過(guò)O點(diǎn)的一條對(duì)角線，而此平行四邊形為菱形，故在∠AOB平分線上，但∠AOB平分線上的向量終點(diǎn)的位置由決定.

共線向量定理的應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，(1)若求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使共線.【審題指導(dǎo)】證明(1)時(shí)，可以考慮證明共線，再說(shuō)明它們有一個(gè)公共點(diǎn).解答(2)時(shí)，利用共線向量定理設(shè)出使成立的實(shí)數(shù)λ，利用方程思想求k.【自主解答】【規(guī)律方法】共線向量定理的條件和結(jié)論是充要條件，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).提醒：若，是兩個(gè)不共線的非零向量，則的充要條件是λ=μ=0.這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛.【變式訓(xùn)練】設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若與起點(diǎn)相同，t∈R，t為何值時(shí)，，，三向量的終點(diǎn)在一條直線上？【解析】設(shè)化簡(jiǎn)整理得：∵與不共線，故時(shí)，三向量的終點(diǎn)在一條直線上．

平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練【典例】(2010·湖北高考)已知△ABC和點(diǎn)M滿足若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m=（）(A)2(B)3(C)4(D)5【審題指導(dǎo)】利用判斷M的位置，再利用向量加法的平行四邊形法則求m.【規(guī)范解答】選B.設(shè)D為BC中點(diǎn)，由得∴D、M、A三點(diǎn)共線且M為AD的靠近D的三等分點(diǎn)，∴∴m=3.【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)兩點(diǎn)錯(cuò)誤：一是有兩向量的和時(shí)想不到利用平行四邊形法則，二是共線向量定理應(yīng)用不熟練，無(wú)法確定M的位置，導(dǎo)致最終無(wú)法求解.解答本類題易犯的錯(cuò)誤：1.對(duì)平面圖形中特殊的點(diǎn)、線段等的性質(zhì)記憶不準(zhǔn)確、不牢固.2.向量關(guān)系式反映的平面圖形的性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】在正△ABC所在平面上有三點(diǎn)P、Q、R，滿足則△PQR的面積與△ABC的面積之比為（）（A）1∶2（B）1∶3(C)1∶4(D)1∶5【解析】選B.由即

P為線段AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得Q、R的位置，∵∴△PQR的面積為△ABC的面積減去三個(gè)小三角形面積，所以所求面積比為1.(2011·沈陽(yáng)模擬）△ABC中，向量所在直線（）（A）垂直于BC（B）平分BC邊（C）過(guò)△ABC的內(nèi)心（D）過(guò)△ABC的外心【解析】選C.∵與都是單位向量，由向量加法的平行四邊形法則，是一菱形的對(duì)角線的對(duì)應(yīng)向量，必平分∠BAC.∴所在直線必過(guò)△ABC的內(nèi)心.2.(2011·揭陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且則△ABC的內(nèi)角A等于（）（A）30°（B）60°（C）90°（D）120°【解析】選A.由得由O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且∠CAO=60°，故選A.3.(2011·杭州模擬)若A、B、C三點(diǎn)共線，O是這條直線外的一點(diǎn)，滿足則m的值為（）（A）1（B）2（C）-3（D）-4【解析】4.(2011·黃石模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量其中若且0≤λ≤μ≤1，C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是（）【解析】選A.當(dāng)λ=μ時(shí)，C點(diǎn)在對(duì)角線上任一位置均可，排除B、C.當(dāng)λ=0時(shí)，C點(diǎn)在邊OB上，排除D.一、選擇題（每小題4分，共20分）1.在四邊形ABCD中，且，那么四邊形ABCD為()(A)平行四邊形(B)菱形(C)長(zhǎng)方形(D)正方形【解析】選B.由且知四邊形ABCD為平行四邊形且鄰邊相等,∴四邊形ABCD為菱形.2.已知向量其中、均為非零向量，則的取值范圍是（）(A)［0,］(B)［0,1］(C)(0,2］(D)［0,2］【解析】選D.由已知向量是兩個(gè)單位向量的和，當(dāng)這兩個(gè)單位向量同向時(shí)，||max=2，當(dāng)這兩個(gè)單位向量反向時(shí)，||min=0.3.(2011·東城模擬)對(duì)于非零向量與，“+2=”是“∥”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選A.“+2=”

“∥”，但“∥”

“

+2=”，所以“

+2=”是“∥”的充分不必要條件.4.已知向量表示“向東航行1km”，向量表示“向南航行1km”，則向量表示()(A)向東南航行2km(B)向東南航行km(C)向東北航行2km(D)向東北航行km【解析】選B.如圖，∴又∴表示向東南航行km.5.(2011·合肥模擬)如圖，已知用,表示則=（）【解析】選B.二、填空題（每小題4分，共12分）6.已知=,=，且||=||=2，∠AOB=60°，則|+|=______.【解題提示】先利用題目條件判斷圖形的形狀，再求解.【解析】由已知，以||、||為鄰邊的平行四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，|+|表示該菱形的較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)，∴|+|=答案:7.（2011·中山模擬）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿