二課時(shí)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期課標(biāo)要求能審清題意，正確建立函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.素養(yǎng)要求1.通過(guò)分析實(shí)際生活問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究?jī)?nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.思考求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，如何確定出函數(shù)的定義域？

提示

除使函數(shù)解析式有意義外，還要從問(wèn)題的實(shí)際意義出發(fā)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定出函數(shù)的定義域.2.填空

(1)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等問(wèn)題一般可以歸結(jié)為函數(shù)的______問(wèn)題，從而可用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決. (2)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題的基本思路最值溫馨提醒

利用導(dǎo)數(shù)解優(yōu)化問(wèn)題，往往歸結(jié)為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，解題中要特別注意以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)問(wèn)題涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，找出變量之間的關(guān)系式；(2)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍；(3)所得的結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.B解得x＝9或x＝－9(舍去).當(dāng)0＜x＜9時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞9時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減.因此，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝f(x)取最大值.故使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為9萬(wàn)件.HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm).題型一面積、體積的最值問(wèn)題(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？解

設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長(zhǎng)為acm.(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0，20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20，30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值.1.解決面積、體積最值問(wèn)題的思路要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的意義，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.2.解決導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域；(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值.思維升華訓(xùn)練1

傳說(shuō)中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來(lái)的.假設(shè)定海神針在變形時(shí)永遠(yuǎn)保持為圓柱體，其底面半徑原為12cm且以每秒1cm等速率縮小，而長(zhǎng)度以每秒20cm等速率增長(zhǎng).已知定海神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm，且在這段變形過(guò)程中，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時(shí)其體積最大.假設(shè)孫悟空將定海神針體積縮到最小時(shí)定形成金箍棒，則此時(shí)金箍棒的底面半徑為_(kāi)_______cm.4解析

設(shè)原來(lái)定海神針的長(zhǎng)度為acm，t秒時(shí)定海神針的體積為V(t)，則V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8.所以V′(t)＝[－2(12－t)·(a＋20t)＋(12－t)2·20]π.因?yàn)楫?dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時(shí)其體積最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此時(shí)V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，當(dāng)t∈(0，2)時(shí)，V′(t)>0，當(dāng)t∈(2，8)時(shí)，V′(t)<0，從而V(t)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，8)上單調(diào)遞減，又V(0)＝8640π，V(8)＝3520π，所以當(dāng)t＝8時(shí)，V(t)有最小值3520π，此時(shí)金箍棒的底面半徑為4cm.例2

位于A，B兩點(diǎn)處的甲、乙兩村合用一個(gè)變壓器，如圖所示，若兩村用同型號(hào)線(xiàn)架設(shè)輸電線(xiàn)路，問(wèn)變壓器設(shè)在輸電干線(xiàn)何處時(shí)，所需電線(xiàn)總長(zhǎng)最短.題型二用料最省、成本(費(fèi)用)最低問(wèn)題解得x＝1.2或x＝－6(舍去).因?yàn)樵赱0，3]上使l′＝0的點(diǎn)只有x＝1.2，所以根據(jù)實(shí)際意義，知x＝1.2就是我們所求的最小值點(diǎn)，即變壓器設(shè)在DE之間離點(diǎn)D的距離為1.2km處時(shí)，所需電線(xiàn)總長(zhǎng)最短.用料最省、成本(費(fèi)用)最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類(lèi)問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象.正確書(shū)寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答.思維升華訓(xùn)練2

某工廠要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌墻壁所用的材料最省，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為(單位：m)____________.32m，16m題型三利潤(rùn)最大、效率最高問(wèn)題(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值42↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.利潤(rùn)最大問(wèn)題是生活中常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，一般根據(jù)“利潤(rùn)＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.解此類(lèi)問(wèn)題需注意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷(xiāo)量要大于0，否則不會(huì)獲利.思維升華解

由題意：x＝2時(shí)y＝800，∴a＋b＝800，又∵x＝3時(shí)y＝150，∴b＝300，可得a＝500.∴x＝5.3時(shí)f(x)有最大值1840.∵1800＜1840，∴當(dāng)x＝5.3時(shí)f(x)有最大值1840，即當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為5.3元/千克時(shí)，使店鋪所獲利潤(rùn)最大.課堂小結(jié)1.掌握1種素養(yǎng)

在解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，一定要認(rèn)真讀題、審題，分析各個(gè)量之間的關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)出變量.2.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

在解決問(wèn)題的過(guò)程中一定要注意自變量的實(shí)際意義及范圍.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是(

)D令S′(x)＝0，解得x＝6.當(dāng)0<x<6時(shí)，S′(x)<0，當(dāng)6<x<12時(shí)，S′(x)>0.2.某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x－35，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤(rùn)為(

) A.16萬(wàn)元 B.18萬(wàn)元 C.19萬(wàn)元 D.21萬(wàn)元C解析由題意，y′＝－3x2＋27，當(dāng)0<x<3時(shí)，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>3時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值，此時(shí)最大值為19萬(wàn)元，故選C.93.現(xiàn)要制作一個(gè)圓錐形漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為t，若要使其體積最大，則其高為(

)B4.欲制作一個(gè)容積為V的圓柱形蓄水罐(無(wú)蓋)，為能使所用的材料最省，它的底面半徑應(yīng)為(

)CB令y′＝0，解得x＝8.當(dāng)0<x<8時(shí)，y′>0，當(dāng)x>8時(shí)，y′<0.∴當(dāng)x＝8時(shí)，y取得最大值，故為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺(tái).故選B.25令y′＝0，得x＝25.故當(dāng)0＜x＜25時(shí)，y′＞0，當(dāng)x＞25時(shí)，y′＜0，所以當(dāng)x＝25時(shí)，函數(shù)y取得極大值，也是最大值，即產(chǎn)量定為25件時(shí)，總利潤(rùn)最大.7.海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30nmile/h，當(dāng)速度為10nmile/h時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)都是每小時(shí)400元.如果甲、乙兩地相距800nmile，那么要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為_(kāi)_______nmile/h.20解析設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為vnmile/h，燃料費(fèi)為y元/h，總費(fèi)用為f(x)元.由題意設(shè)y與v滿(mǎn)足的關(guān)系式為y＝av3(0≤v≤30)，由題意得25＝a·103，當(dāng)0<v<20時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)20<v<30時(shí)，f′(x)>0.∴當(dāng)v＝20時(shí)，f(x)最小，即當(dāng)總費(fèi)用最低時(shí)，海輪的航速為20nmile/h.8.如圖，內(nèi)接于拋物線(xiàn)y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是

________.9.如圖，某城市有一塊半徑為40m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè)為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行改建，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D，OD＝80m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為Sm2.設(shè)∠AOC＝xrad.(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍；(2)試問(wèn)∠AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.10.某產(chǎn)品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件.如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量將會(huì)增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件.(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成關(guān)于x的函數(shù)y＝f(x).解

設(shè)若商品每件降低x元，則一個(gè)星期多賣(mài)的商品為kx2件.由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0，21].(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？解

由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，2)2(2，12)12(12，21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072↘8664↗11664↘0所以當(dāng)x＝12時(shí)，f(x)取得極大值.因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定價(jià)為30－12＝18(元)，能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.11.若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為(

)A2π解析如圖所示，設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h，則V′(h)＝π(3－3h2).令V