二次函數(shù)的總結

【知識要點】1.二次函數(shù)的定義：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù).2.拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將y=ax2沿著y軸（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）個單位得到函數(shù)y=axk；將y=ax2沿著x軸（左“+”，右“-”）平移h（h﹥0）個單位得到y(tǒng)=a（x.在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項后進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內進行加減（（左加右減）．【典型例題】例1（2010陜西省中考題）已知拋物線C：y=x+3x-10，將拋物線C平移得到拋物線C’.若兩條拋物線C、C’關于直線x=1對稱，則下列平移方法中，正確的是（）A.將拋物線C向右平移個單位B.將拋物線C向右平移3個單位C.將拋物線C向右平移5個單位D.將拋物線C向右平移6個單位【知識要點】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是以（－，）為頂點，以x=－為對稱軸的一條拋物線.2、在畫二次函數(shù)的圖象時應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸交點，與y軸交點.3、拋物線y=ax2+bx+c的圖象位置及性質與a、b、c的關系：（1）當a﹥0時，開口向上，a越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸.在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而減小；在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大.此時，y有最小值y=，頂點（－，）為最低點.（同樣的方法，分析當a﹤0時的情況）（2）ab﹥0時，對稱軸在y軸左側；ab=0時，對稱軸是y軸；ab﹤0時，對稱軸在y軸右側.c﹥0時，與y軸正半軸相交；c=0時，經過原點；c﹤0時，與y軸負半軸相交.【典型例題】例1若拋物線y=a(x+1)+b和拋物線y=2x的形狀相同，且經過點（2，3），求的值。例2已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②b＜a+c；③a+b+c＞0；④2a-b＞0；⑤9a-3b+c＜0．其中正確的有（）A、2個B、3個C、4個D、5個【知識要點】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點△﹥0拋物線與x軸相交.②有一個交點△=0拋物線與x軸相切.③沒有交點△﹤0拋物線與x軸相離.2．一次函數(shù)y=kx+n（k≠0）的圖象L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象G的交點，由方程組的解的數(shù)目確定：①當方程組有兩個不同的解時L與G有兩個交點；②方程組只有一組解時L與G只有一個交點；③方程組無解時L與G有沒有交點.3．二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標分別為A，B,則==【典型例題】例1已知拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,且交點為A(2,0)．(1)求b、c的值．(2)若拋物線與y軸交點為B，坐標原點為O，求△OAB的周長（答案可帶根號）．例2二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內的圖象大致為（）yxyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．1Oxy【知識要點】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)具體情況，選擇適當方法.二次函數(shù)常見的表達式有三種：（1）已知任意三點求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三點坐標值分別代入一般式，得到關于a，b，c的三元一次方程組，求出a，b，c，即可得二次函數(shù)解析式.（2）已知頂點或最大（?。┲登蠼馕鍪接庙旤c式，即y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）．其方法是：先將頂點坐標（h，k）或最大（?。┲荡腠旤c式，再把另一點坐標代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.（3）已知與x軸兩交點坐標求解析式用交點式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：將拋物線與x軸兩交點橫坐標x1，x2代入交點式，然后將拋物線上另一點坐標代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.【典型例題】例1如圖20－4－1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等.直線y=3x－7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是4，另一點是這條拋物線的頂點M，求這條拋物線的解析式.圖例1圖例1例2已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為分析：方法一：因為拋物線的對稱軸為x=2，則可設解析式為y=a（x－2）2+b，再將兩點坐標代入求出a、b的值.方法二：將兩點坐標代入y=ax2+bx+c中，得到兩個方程式，再由x=－=2得到一個方程，然后聯(lián)立解這個方程組，得a、b、c的值.方法三：因為拋物線的對稱軸是x=2，由線的對稱性可知，拋物線與x軸另一交點為（－1，0）.可由交點式求出解析式.解：y=－x2+2x+【能力提升】存在問題1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點A（-2，0），B，與y軸交于點C，tan∠ABC=2．（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得經過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？【知識要點】1.二次函數(shù)的定義：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù).2.拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將y=ax2沿著y軸（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）個單位得到函數(shù)y=axk；將y=ax2沿著x軸（左“+”，右“-”）平移h（h﹥0）個單位得到y(tǒng)=a（x.在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項后進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內進行加減（（左加右減）．【典型例題】例1（2010陜西省中考題）已知拋物線C：y=x+3x-10，將拋物線C平移得到拋物線C’.若兩條拋物線C、C’關于直線x=1對稱，則下列平移方法中，正確的是（）A.將拋物線C向右平移個單位B.將拋物線C向右平移3個單位C.將拋物線C向右平移5個單位D.將拋物線C向右平移6個單位【知識要點】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是以（－，）為頂點，以x=－為對稱軸的一條拋物線.2、在畫二次函數(shù)的圖象時應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸交點，與y軸交點.3、拋物線y=ax2+bx+c的圖象位置及性質與a、b、c的關系：（1）當a﹥0時，開口向上，a越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸.在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而減??；在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大.此時，y有最小值y=，頂點（－，）為最低點.（同樣的方法，分析當a﹤0時的情況）（2）ab﹥0時，對稱軸在y軸左側；ab=0時，對稱軸是y軸；ab﹤0時，對稱軸在y軸右側.c﹥0時，與y軸正半軸相交；c=0時，經過原點；c﹤0時，與y軸負半軸相交.【典型例題】例1若拋物線y=a(x+1)+b和拋物線y=2x的形狀相同，且經過點（2，3），求的值。例2已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②b＜a+c；③a+b+c＞0；④2a-b＞0；⑤9a-3b+c＜0．其中正確的有（）A、2個B、3個C、4個D、5個【知識要點】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點△﹥0拋物線與x軸相交.②有一個交點△=0拋物線與x軸相切.③沒有交點△﹤0拋物線與x軸相離.2．一次函數(shù)y=kx+n（k≠0）的圖象L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象G的交點，由方程組的解的數(shù)目確定：①當方程組有兩個不同的解時L與G有兩個交點；②方程組只有一組解時L與G只有一個交點；③方程組無解時L與G有沒有交點.3．二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標分別為A，B,則==【典型例題】例1已知拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,且交點為A(2,0)．(1)求b、c的值．(2)若拋物線與y軸交點為B，坐標原點為O，求△OAB的周長（答案可帶根號）．例2二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內的圖象大致為（）yxyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．1Oxy【知識要點】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)具體情況，選擇適當方法.二次函數(shù)常見的表達式有三種：（1）已知任意三點求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三點坐標值分別代入一般式，得到關于a，b，c的三元一次方程組，求出a，b，c，即可得二次函數(shù)解析式.（2）已知頂點或最大（?。┲登蠼馕鍪接庙旤c式，即y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）．其方法是：先將頂點坐標（h，k）或最大（?。┲荡腠旤c式，再把另一點坐標代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.（3）已知與x軸兩交點坐標求解析式用交點式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：將拋物線與x軸兩交點橫坐標x1，x2代入交點式，然后將拋物線上另一點坐標代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.【典型例題】例1如圖20－4－1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等.直線y=3x－7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是4，另一點是這條拋物線的頂點M，求這條拋物線的解析式.圖例1圖例1例2已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為分析：方法一：因為拋物線的對稱軸為x=2，則可設解析式為y=a（x－2）2+b，再將兩點坐標代入求出a、b的值.方法二：將兩點坐標代入y=ax2+bx+c中，得到兩個方程式，再由x=－=2得到一個方程，然后聯(lián)立解這個方程組，得a、b、c的值.方法三：因為拋物線的對稱軸是x=2，由線的對稱性可知，拋物線與x軸另一交點為（－1，0）.可由交點式求出解析式.解：y=－x2+2x+【能力提升】存在問題1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點A（-2，0），B，與y軸交于點C，tan∠ABC=2．（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得經過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？2、如圖，拋物線（＞0）與y軸交于點C,與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左側，且．（1）求此拋物線的解析式；（2）如果點D是線段AC下方拋物線上的動點，設D點的橫坐標為x，△ACD的面積為S，求S與x的關系式，并求當S最大時點D的坐標；(備用圖)（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點的平行四邊形？若存在求點(備用圖)（（2題圖） 3.如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（2）設拋物線頂點的橫坐標為，①用的代數(shù)式表示點的坐標；②當為何值時，線段最短；（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．4.如圖，在平面直角坐標系中，點A(，0)，B(3，2)，（0，2)．動點D以每秒1個單位的速度從點0出發(fā)沿O