高等數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2

PAGEPAGE1@第二講導(dǎo)數(shù)與微分一、考試要求1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解(了解)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義（經(jīng)濟(jì)意義，含邊際和彈性），會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2、掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程（*）所確定的函數(shù)及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、內(nèi)容提要1、導(dǎo)數(shù)與微分的定義（1）導(dǎo)數(shù)的定義：（2）左右導(dǎo)數(shù)：（3）幾何意義：切線法線（4）微分的定義：若則dy=A2、導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則3、求導(dǎo)方法（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：設(shè)y=f(u),u=(x),則y=f[(x)]（2）參數(shù)方程求導(dǎo)：,（3）隱函數(shù)F(x,y)=0求導(dǎo)：三種方法：直接求導(dǎo)、公式法、微分形式不變性（4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)(適用于冪指函數(shù)、多項(xiàng)連乘除的情形）(5)高階導(dǎo)數(shù)(6)抽象函數(shù)、隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)三、重要公式與結(jié)論1、一般地，1)2)3)這里2、f(x)在x處可微f(x)在x處可導(dǎo)3、若f(x)在x=處連續(xù)，且若fˊ(x)在x=處連續(xù)，且若f″(x)在x=處連續(xù)，且若f(x)在x=處連續(xù)，且若f(x)在x=處連續(xù)，且不存在4、可導(dǎo)的偶（奇）函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為奇（偶）函數(shù).可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為同周期的函數(shù).5、注：在處有則（一階微分方程）6、可微可導(dǎo)連續(xù)7、設(shè)，則在處可導(dǎo)的充分必要條件為設(shè)，則在處可導(dǎo)的充分必要條件為8、常見導(dǎo)數(shù)不存在的情形1）、在x=處導(dǎo)數(shù)不存在，但在處可導(dǎo)2），在x=0處當(dāng)α>1時(shí)導(dǎo)數(shù)存在；α≤1時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在.四、典型題型與例題題型一、有關(guān)導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)已知極限求，或已知求極限涉及抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)抽象函數(shù)沒給出可導(dǎo)的條件，考察在某點(diǎn)處的可導(dǎo)性或?qū)Ш瘮?shù)例1、設(shè)，則在處可導(dǎo)的為（）（A）存在（B）存在（C）存在（D）存在例2、設(shè)在處連續(xù)，且，則（）例3、（0634）設(shè)在處連續(xù)，且，則（A）且（B）且（C）且（D）且例4、(04123)設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加（B）在內(nèi)單調(diào)減少（C）對(duì)（D）對(duì)例5、設(shè)是以4為周期的函數(shù)，且，則例6、設(shè)可導(dǎo)，自變量在處取得增量時(shí)相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為0.1，則（）（A）-1（B）0.1（C）1（D）0.5例7、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，且是周期為2的周期函數(shù)，滿足求曲線y=f(x)過點(diǎn)x=-1處的切線方程為例8、曲線與曲線相切，則=(A)4e(B)3e(C)2e(D)e【】題型二、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法：1、利用2、設(shè)，則在處可導(dǎo)的充分必要條件為3、設(shè)，則在處可導(dǎo)的充分必要條件為例9、設(shè)在處可導(dǎo)，求例10、設(shè)，則在處（A）不連續(xù)（B）連續(xù)但不可導(dǎo)（C）可導(dǎo)但在不連續(xù)（D）可導(dǎo)且在連續(xù)例11、求函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。例12、（034）設(shè)，其中在處連續(xù)，則是在處可導(dǎo)的（A）充分必要條件（B）必要但非充分條件（C）充分但非必要條件（D）既非充分也非必要條件題型三、變限積分求導(dǎo)方法：1、2、若被積表達(dá)式中含有，提出再令，使被積表達(dá)式中不含有。例13、求例14、.設(shè)求.例15、設(shè)連續(xù)，（為常數(shù)），求，并討論在處的連續(xù)性題型四、利用導(dǎo)數(shù)公式及法則求導(dǎo)熟記16個(gè)求導(dǎo)公式四則運(yùn)算法則反函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則隱含數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（極坐標(biāo)）注：1、直接求導(dǎo)或微分2、多項(xiàng)乘積的導(dǎo)數(shù)可考慮對(duì)數(shù)求導(dǎo)法3、區(qū)別例16、設(shè)方程確定y是x的函數(shù)，求3、公式法例17、設(shè)函數(shù)由確定，求例18、（022）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對(duì)應(yīng)處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。題型六、高階導(dǎo)數(shù)方法：1、數(shù)學(xué)歸納法2、重要函數(shù)的高階倒數(shù)公式3、萊布尼茲公式4、冪級(jí)數(shù)展開（泰勒公式）例19、（0023）求的。法一、用萊布尼茲公式，時(shí)時(shí)，法二、泰勒公式例20、（102）函數(shù)處的階導(dǎo)數(shù)=.【答案】應(yīng)填.【分析】利用函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式.【詳解】.令，得所求