本章整合數(shù)學 省賽獲獎

本

章

整

合專題1專題2專題3專題一

合情推理和演繹推理在解題中的應(yīng)用1.合情推理的應(yīng)用歸納推理和類比推理是常用的合情推理,都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納類比,然后提出猜想的推理.從推理形式上看,歸納推理是由部分特殊的對象得到一般性的結(jié)論的推理方法,它在科學研究或數(shù)學學習中有著重要的作用,有助于發(fā)現(xiàn)新知識、探索新規(guī)律、檢驗新結(jié)論,或預測答案、探索解題思路等;類比推理是由特殊到特殊的推理,它以比較為基礎(chǔ),有助于啟迪思維、觸類旁通、拓寬知識、發(fā)現(xiàn)命題等.合情推理的結(jié)論不一定正確,有待于演繹推理的驗證,而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的,合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.專題1專題2專題3應(yīng)用1給出一個“三角形”的數(shù)表如圖:此表構(gòu)成的規(guī)則是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的數(shù)是上一行相鄰兩個數(shù)的和.試求第四行的數(shù)中能被999整除的數(shù).提示:認真觀察、分析數(shù)表的結(jié)構(gòu)特征,分析歸納出第四行的各數(shù)與第一行中的數(shù)的關(guān)系,進而可解.解:首先找出第四行數(shù)的構(gòu)成規(guī)律.專題1專題2專題3通過觀察、分析,可以看出:第四行的任一個數(shù)都和第一行中相應(yīng)的四個相鄰的數(shù)有關(guān).具體關(guān)系可以從上表看出,如果用an表示第四行的第n個數(shù),那么an=8n+4.現(xiàn)在要找出an=8n+4=999k的an,顯然k應(yīng)是4的倍數(shù).注意到第四行中最大的數(shù)是7

980<999×8,所以k=4.由此求出第四行中能被999整除的數(shù)是999×4=3

996,它是第四行的第(3

996-4)÷8=499(項),即a499=3

996就是第四行中能被999整除的數(shù).專題1專題2專題3應(yīng)用2若把三角形的正弦定理和余弦定理類比到三棱柱中,你能得出什么結(jié)論?并給出證明.提示:類比時,要先明確三角形(平面圖形)和三棱柱(立體圖形)中可類比元素的對應(yīng)(如三角形的邊長和三棱柱的側(cè)面積對應(yīng),三角形的內(nèi)角與三棱柱側(cè)面形成的二面角對應(yīng)等),然后再進行猜想.解:如圖,作與三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱都垂直的截面A'B'C',設(shè)∠B'A'C'=α,∠A'B'C'=β,∠B'C'A'=γ,則α,β,γ分別為三個側(cè)面所成二面角的平面角.專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題1專題2專題32.演繹推理的應(yīng)用演繹推理是由一般到特殊的推理方法,又叫邏輯推理,其在前提和推理形式均正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確,演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲取的.提示:充分利用函數(shù)與其導數(shù)之間的關(guān)系,以及一元二次方程根的分布情況,將條件轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系來解決問題.專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題二

直接證明和間接證明1.綜合法和分析法綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但這兩種證明方法的思路截然相反.分析法既可用于尋找解題思路,也可以是完整的證明過程,分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互滲透,在解題中綜合法和分析法的聯(lián)合運用,能轉(zhuǎn)換解題思路,增加解題途徑.提示:這是一道三角不等式的證明題,可考慮分別使用比較法、綜合法、分析法等證明方法進行證明.

專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題1專題2專題32.反證法反證法是一種間接證明命題的方法,它的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的兩個命題為等價命題.反證法反映了“正難則反”的證明思想,它是從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論.應(yīng)用2求證:以拋物線y2=2px(p>0)上的任意不同的四點為頂點的四邊形不可能是平行四邊形.提示:若從正面進行證明,需證對邊不平行或不相等,這既不易確定目標,又不易比較斜率大小或邊的長度.若把結(jié)論的反面作為條件,則等量關(guān)系(斜率相等)便很明確,思路也很清晰.專題1專題2專題3

證明:在拋物線y2=2px(p>0)(如圖所示)上任取不同的四點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),專題1專題2專題3專題1專題2專題3專題三

數(shù)學思想方法1.一般與特殊的思想一般與特殊的思想是本章中體現(xiàn)出的一個比較明顯的思想方法,它主要應(yīng)用于歸納、猜想、證明中.常見題型是:第一步給出命題(與正整數(shù)有關(guān))的結(jié)構(gòu);第二步要求學生計算出三至四個初始值;第三步要求學生通過已計算出的初始值,應(yīng)用不完全歸納法,發(fā)現(xiàn)命題的一般性規(guī)律,做出科學的猜想和判斷——敢于猜想、善于猜想,最后對相關(guān)問題加以證明.專題1專題2專題32.轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法.數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸.轉(zhuǎn)化與化歸的原則是,將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題;將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題;將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題;將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,使問題便于解決.無論是本章中用分析法、綜合法、反證法證明問題的過程,還是在平時進行問題解決的推理過程,都用到了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

應(yīng)用1已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*).(1)求a2,a3,a4;(2)由(1)的結(jié)果猜想an用n表示的表達式.專題1專題2專題3提示:解答本題的關(guān)鍵是,首先根據(jù)題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系式準確求得這個數(shù)列的前幾項,然后認真觀察所寫出的數(shù)列中的前幾項與其序號間的關(guān)系,分析、歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律,最后寫出這個數(shù)列的通項公式.專題1專題2專題3

12345671(2016·北京高考)某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.在這10名學生中,進入立定跳遠決賽的有8人,同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則(

)A.2號學生進入30秒跳繩決賽

B.5號學生進入30秒跳繩決賽C.8號學生進入30秒跳繩決賽

D.9號學生進入30秒跳繩決賽1234567解析將30秒跳繩成績確定的學生,按其成績從大到小,把他們的序號排列為3,6,7,10,1與5并列,4;由題意可知3,6,7號同時進入立定跳遠和30秒跳繩的決賽.假設(shè)5號學生沒有進入30秒跳繩決賽,則1號和4號學生也沒有進入30秒跳繩決賽.這與“同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人”矛盾.故5號學生進入30秒跳繩決賽,應(yīng)選B.答案B12345672(2016·山東高考)觀察下列等式:123456712345673(2016·全國甲高考)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是

.

解析由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.答案1和312345674(2016·北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC;(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;(3)設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由.1234567解(1)因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)因為AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在點F,使得PA∥平面CEF.證明如下:取PB中點F,連接EF,CE,CF.又因為E為AB的中點,所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF,所以PA∥平面CEF12345675(2016·全國丙高考)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN∥平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.123456712345676(2015·課標全國Ⅰ高考)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;123456