專題12.2 整式的乘除法【十一大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題12.2整式的乘除法【十一大題型】 【華東師大版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用整式乘法求值】 1【題型2利用整式乘法解決不含某項問題】 1【題型3利用整式乘法解決錯看問題】 2【題型4利用整式乘法解決遮擋問題】 2【題型5整式乘法的計算】 3【題型6整式乘法的應(yīng)用】 3【題型7整式除法的運算與求值】 5【題型8整式除法的應(yīng)用】 6【題型9整式乘法中的新定義問題】 7【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】 8【題型11整式乘法與面積的綜合探究】 9【知識點整式的乘法】單項式×單項式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項式×多項式：乘法分配律．多項式×多項式：乘法分配律．【題型1利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級期中）若(x-1)(x+b)=x2+ax-2，則a+b的值為．【變式1-1】（2023·八年級單元測試）已知x2+x+1=0，則【變式1-2】（2023春·上海松江·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：x2+3x=10，則代數(shù)式(x-2)【變式1-3】（2023·八年級單元測試）如果a、b、m均為整數(shù)，且x+a?x+b=x2【題型2利用整式乘法解決不含某項問題】【例2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知將（x3+mx+n）（x2-3x+4）展開的結(jié)果不含x3和x2項，求m、n的值．【變式2-1】（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如果（y+5）（y+m）的乘積中不含y的一次項．則m的值為（

）A．-5 B．5 C．0 D．3【變式2-2】（2023春·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）已知a為任意實數(shù)，有多項式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，當(dāng)多項式A中不含2次項時，aA．－1 B．0 C．-23 D【變式2-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）若x2+3mx-13x(1)直接寫出m、n的值，即m=___________，n=(2)求代數(shù)式-m【題型3利用整式乘法解決錯看問題】【例3】（2023春·四川內(nèi)江·八年級校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，老師寫出一道整式乘法題：2y+a3y+b．王建由于把第一個多項式中的“+a”抄成了“-a”，得到的結(jié)果為6y2+5y-10；李楠由于漏抄了第二個多項式中（1）求正確的a，b的值；（2）計算這道乘法題的正確結(jié)果．【變式3-1】（2023春?濰坊期末）小明在進(jìn)行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則正確的結(jié)果是（）A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【變式3-2】（2023春?云縣期末）在計算（x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯把a看成了﹣a，得到結(jié)果x2+x﹣6．你能正確計算（x+a）（x+b）嗎？（a、b都是常數(shù)）【變式3-3】（2023春?河源期末）甲、乙兩人共同計算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符號不抄錯，且a＝3，請計算這道題的正確結(jié)果．【題型4利用整式乘法解決遮擋問題】【例4】（2023春?河南月考）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘多項式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy【變式4-1】（2023春?天津期末）在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項式乘多項式，小明回家后，拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你認(rèn)為“□”內(nèi)應(yīng)填寫（）A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x【變式4-2】（2023春?岳麓區(qū)校級期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請求出m2+6mn+9n2的值．【變式4-3】（2023春?江都區(qū)期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘以多項式，放學(xué)后，小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫﹣3x3y3．【題型5整式乘法的計算】【例5】（2023春·重慶渝中·八年級?？计谥校?）計算：x?2x+x(x-2)；（2）(m+1)(m-5)-m(m-6)【變式5-1】（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校?【變式5-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）先化簡，再求值：xx+2+1+x1-x，其中【變式5-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）計算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【題型6整式乘法的應(yīng)用】【例6】（2023春·浙江寧波·八年級校考期中）長方形的長和寬分別是a厘米、b厘米,如果長方形的長和寬各減少3厘米．新長方形的面積比原長方形的面積減少了多少平方厘米（用含的代數(shù)式表示）？【變式6-1】（2023春·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)校考期末）用長為24米的木條，做成一個“目”字形的窗框（如圖所示，窗框外沿ABCD是長方形），若窗框的橫條長度都為x米．（1）用代數(shù)式表示長方形ABCD的面積．（2）當(dāng)x=3時，求出長方形ABCD的面積．【變式6-2】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，用一張高為30cm，寬為20cm的長方形打印紙打印文檔，如果左右的頁邊距都為xcm，上下頁邊距比左右頁邊距多1cm.（1）請用x的代數(shù)式表示中間打印部分的面積.（2）當(dāng)x=2時，中間打印部分的面積是多少平方厘米？【變式6-3】（2023春·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動減去a，同時B區(qū)就會自動加上3a，且均顯示化簡后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為______，B區(qū)顯示的結(jié)果為______．(2)計算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當(dāng)a＝1時，代數(shù)式乘積的值．【知識點2整式的除法】單項式÷單項式：系數(shù)相除，字母相除．多項式÷單項式：除法性質(zhì)．多項式÷多項式：大除法．【題型7整式除法的運算與求值】【例7】（2023春·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）下列計算27a2÷A．27a2÷(C．(27÷13÷9)【變式7-1】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）已知4m2-7m+6=0【變式7-2】（2023·四川·石室佳興外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知多項式2x2﹣4x﹣1除以一個多項式A，得商式為2x，余式為x﹣1，則這個多項式A＝_____．【變式7-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：由兩個或兩類對象在某些方面的相同或相似，得出它們在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫類比法.多項式除以多項式可以類比于多位數(shù)的除法進(jìn)行計算．如圖1：∴278÷12=232，∴x即多項式除以多項式用豎式計算，步驟如下：①把被除式和除式按同一字母的指數(shù)從大到小依次排列（若有缺項用零補齊）．②用豎式進(jìn)行運算．③當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時，運算終止，得到商式和余式.若余式為零，說明被除式能被除式整除．例如：x3+2x2-3÷x-1根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：(1)多項式x2+5x+6除以多項式x+2，所得的商式為(2)已知x3+2x2-ax-10能被(3)如圖2，有2張A卡片，21張B卡片，40張C卡片，能否將這63片拼成一個與原來總面積相等且一邊長為a+8b的長方形？若能，求出另一邊長；若不能，請說明理由．【題型8整式除法的應(yīng)用】【例8】（2023春·八年級統(tǒng)考期末）某農(nóng)場種植了蔬菜和水果，現(xiàn)在還有兩片空地，農(nóng)場計劃在這兩片空地上種植水果黃瓜、白黃瓜和青黃瓜．已知不同品種的黃瓜畝產(chǎn)量不同，其中白黃瓜的畝產(chǎn)量是青黃瓜的12，如果在空地種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為2：3：4，則水果黃瓜的產(chǎn)量是白黃瓜與青黃瓜產(chǎn)量之和的2倍；如果在空地上種植白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的面積之比為5：4：3，則白黃瓜、青黃瓜和水果黃瓜的總產(chǎn)量之比為【變式8-1】（2023春?渝中區(qū)校級期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個長方體構(gòu)成的，大長方體的長、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長方體的長、寬、高分別為：2a、a、a（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？（2）若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？【變式8-2】（2023春?蜀山區(qū)期中）愛動腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學(xué)小游戲，兩人各報一個整式，麗麗報的整式A作被除式，娜娜報的整式B作除式，要求商式必須為﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）（1）若麗麗報的是x3y﹣6xy2，則娜娜應(yīng)報什么整式？（2）若娜娜也報x3y﹣6xy2，則麗麗能報一個整式嗎？若能，則是個什么整式？說說你的理由．【變式8-3】（2023·八年級單元測試）甲、乙兩個同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為3千米/小時，乙步行的速度是5千米/小時，兩人騎車的速度都是15千米/小時.現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時從A地出發(fā)，走了一段路程后，乙放下自行車步行，甲到乙放自行車的地方處改騎自行車.后面不斷這樣交替進(jìn)行，兩人恰好同時到達(dá)B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【題型9整式乘法中的新定義問題】【例9】（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）海倫是古希臘數(shù)學(xué)家，約公元62年左右活躍于亞歷山大，年青時海倫酷愛數(shù)學(xué)，他的代表作《量度論》主要是研究面積、體積和幾何分比問題，其中一段探究三角形面積的方法翻譯如下：如圖，設(shè)三角形面積為S，以三角形各邊為邊向外作正方形，三個正方形的面積分別記作S1、S2、S3，定義：S=S1+S2+S32；S'1=S-S1；S'2=S-S2；S'3=S(1)若S1=3，S2=4，(2)當(dāng)S'1=x-3；S①求Fs的表達(dá)式；②若S1【變式9-1】（2023春·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期中）定義新運算abcd（1）計算23（2）化簡：x+y7xy-【變式9-2】（2023春·安徽六安·八年級六安市第九中學(xué)?？计谥校┙o出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(a,b,c)叫做關(guān)于x的二次多項式ax2+bx+c的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項式a(1)關(guān)于x的二次多項式3x2+2x-1(2)求有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(1,-4,4)的特征多項式的乘積；(3)有序?qū)崝?shù)對(2,1,1)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(a,-2,4)的特征多項式的乘積不含x2項，求a【變式9-3】（2023春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，解答下列問題：定義：如果一個數(shù)的平方等于?1，記為i2＝?1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．例如計算：(2?i)+(5+3i)＝(2+5)+(?1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2?i)＝1×2?i+2×i?i2＝2+(?1+2)i+1＝3+i；根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）計算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）計算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】【例10】（2023春·廣東梅州·八年級統(tǒng)考期末）若正整數(shù)a，b的和為10，則稱a，b“互補”，如果兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字“互補”（如24與26，52與58，簡稱它們“首同尾補”）；那么這兩個數(shù)的積是三位數(shù)或四位數(shù)，其末尾的兩位數(shù)等于兩數(shù)的個位數(shù)字之積，其起始的一位或兩位數(shù)等于兩數(shù)的十位數(shù)字與比這個十位數(shù)字大1的數(shù)之積．例如：24×26=624（積中的6=2×2+1，24=4×652×58=3016（積中的30=5×5+1，16=2×8(1)直接寫出下列各式運算結(jié)果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分別表示兩個兩位數(shù)，其中a表示十位數(shù)字，b和c表示它們的個位數(shù)字，且b+c=10，①依據(jù)題意，兩位數(shù)ab表示為______，兩位數(shù)ac表示為______；②上述速算規(guī)律可用等式表示為__________________；③試說明②中等式的正確性．【變式10-1】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）在運算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學(xué)公式，一定會提高解題的速度．在解答下列問題中，請?zhí)骄科渲械囊?guī)律．(1)計算后填空：x+2x+3=x-1x+4=x-3x-2=(2)歸納猜想后填空：x+ax+b=x(3)運用（2）中得到的結(jié)論，直接寫出計算結(jié)果：x-2x+n=【變式10-2】（2023春·安徽六安·八年級六安市第九中學(xué)校考期中）觀察下面的幾個算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解決下列問題．①16×14=224=1×1+1②23×27=621=2×2+1③32×38=1216=3×3+1…(1)按照上面的規(guī)律，依照上面的書寫格式，直接寫出81×89的結(jié)果______．(2)試說明上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（提示：可設(shè)這兩個兩位數(shù)分別是10n+a，10n+b，其中n，a，b均為1～9的整數(shù)，且a+b=10）．【變式10-3】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）八年級某班數(shù)學(xué)小組研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，將算式計算過程進(jìn)行變形后，得到如下規(guī)律：12×21=121×123×32=121×234×43=121×3……(1)根據(jù)以上規(guī)律，直接寫出78×87的相應(yīng)變形算式；(2)請用含n的代數(shù)式直接表示10n+n+1與10n+10【題型11整式乘法與面積的綜合探究】【例11】（2023春·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期中）從一個邊長為a的正方形紙片（如圖1）上剪去兩個相同的小長方形，得到一個美術(shù)字“5”的圖案（如圖2），再將剪下的兩個小長方形拼成一個新長方形（如圖3）．

(1)求：新長方形的周長（用含有a，b的式子表示），(2)求：美術(shù)字“5”的圖案的面積（用含有a，b的式子表示）．(3)若a=8，剪去的小長方形的