數(shù)學(xué)歸納法教案

PAGEPAGE1數(shù)學(xué)歸納法教案概念：我們一般在證明問題或者求解問題的時候不可以一步得到最終的答案，只可以得到幾個特殊值，因此我們在求解問題的時候往往會用到歸納推理的方法，一般而言我們的歸納法只是不完全歸納法，但是我們?nèi)绻獯鹜暾麄€題目，我們就必須要用到數(shù)學(xué)歸納法來解答。數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是：（1）證明等式或者不等式的第一個值是正確的（2）假設(shè)當(dāng)時等式或者不等式成立，在利用這個假設(shè)來證明當(dāng)時成立。由此我們就可以得到我們想要的答案了。數(shù)學(xué)歸納法基本應(yīng)用于數(shù)列的求解問題，因此在使用數(shù)學(xué)歸納法的過程中我們必須熟悉數(shù)列的基本幾種通項(xiàng)以及求和公式，另外，對于一些基本的整數(shù)類型（數(shù)論）的知識也應(yīng)該要稍作了解。其次，數(shù)學(xué)歸納法還應(yīng)用于不等式的求解問題，那么我們就需要了解不等式的幾個基本性質(zhì)以及幾種基本的不等式的應(yīng)用和證法。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的幾種基本的技巧：（1）兩頭證明法：從兩頭證明題目，從結(jié)論和條件同時出發(fā)來求解，這樣更能夠找到突破點(diǎn)。（2）尋找中間值法：有時候我們在解答數(shù)學(xué)歸納法的不等式以及等式證明問題的時候，我們往往會發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)歸納法的問題的解答之中我們無法證到我們所需要的結(jié)果，或者說是我們要證得的結(jié)果很難有什么發(fā)展空間，那么我們就必須要尋找一個中間的式子或者是數(shù)來輔助證明（3）分析思考法：我們在解答數(shù)學(xué)歸納法的問題中不可以一位的想著那個模式問題，我們可以再使用之前將整個題目思考清楚，再逐步遞推，這樣我們就可以比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律以及證明的方法。例題1（等式證明方法）：在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.詳細(xì)解答：∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.②假設(shè)n=k(k≥2)時，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)①②知，an=對一切n∈N成立.(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=,∴S=Sn=0.例題2（證明不等式）：證明不等式(n∈N)．證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=2．左邊<右邊，不等式成立．②假設(shè)n=k時，不等式成立，即．那么當(dāng)n=k+1時，這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立．由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立．例題3（證明幾何問題）：n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓?。糠治觯涸O(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證．當(dāng)n=2時，由圖(1)．兩個半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f(2)=4=22．當(dāng)n=3時，由圖(2)．三個半徑交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f(3)=9=32．由n=4時，由圖(3)．三個半圓交于6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42．由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=2時，上面已證．②設(shè)n=k時，f(k)=k2，那么當(dāng)n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓?。鄁(k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴滿足條件的k+1個半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓?。散?、②可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓?。f明：這里要注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了多少條？可以從f(2)=4，f(3)=f(2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．練習(xí)：1.已知數(shù)列，滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；（3）求證：當(dāng)時，．2.用數(shù)學(xué)歸納法證明+能被13整除，其中（提示：兩頭證明方法，注意13的倍數(shù)的表示方法，也就是數(shù)學(xué)整數(shù)的分類）3.等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，已知對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求的值；（11）當(dāng)時，記證明：對任意的，不等式成立數(shù)學(xué)歸納法證明4.請問條直線將平面最多分成幾個部分？請用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。提示：（1）不完全歸納得到結(jié)果（2）什么情況下可以將平面分成最多的子部分課后作業(yè)1.在數(shù)列中，其中（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列（2）求證：2.已知數(shù)列的前項(xiàng)為和，點(diǎn)在直線上.數(shù)列{}滿足，前9項(xiàng)和為153.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值.3.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別寫出和