導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-高中數(shù)學(xué)

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算

一、選擇題

1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足f(x)=2x￡(1)+7,則6(1)=

()

A.11B.—2

C.1D.2

解析：f(x)=2f(l)+2x,令x=l,得F⑴=2/(1)+2,

：.f(l)=-2.

答案：B

2.設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線以+y+l=O垂直，則”=

X—1

()

A.2B.-2C.--D.-

22

解析】由題意得:切線的斜率為丁:^^三不二-；,所以--=2,解得a=-=,故選C.

(3-1)*2a2

答案B

3.已知f(x)=xlnx,若尸(苞)=2,則濟(jì)=().

2八In2,

A.e2B.eC.~-~D.In2

解析f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)=lnx+1,由F(&))=2,

即Inx<)+l=2,解得x()=e.

答案B

4.設(shè)函數(shù)F(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y=F(x)在x=5處的切

線的斜率為()

A.—"B.0C."D.5

55

解析因?yàn)閒(x)是R上的可導(dǎo)偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)

在x=0處取得極值，即/(0)=0,又/'(x)的周期為5,所以/(5)=0,即曲

線尸f(x)在x=5處的切線的斜率為0,選B.

答案B

5.設(shè)4(x)=sinx,￡(x)=f'o(x),￡(x)=fi(x),…，￡+i(x)=f'.(x),

〃WN,則6013(*)等于().

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

解析,.*4(^)=sinx,fi(x)=cosx,

fAx)=-sinx,fAx)=-cosx,￡(x)=sinx,…

￡,(x)=￡+4(x),故￡oi2(x)=￡(x)=sinx,

??￡013(x)=f'2012(x)=COSX.

答案c

6.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足/"(x)=2xf(l)+lnx,則f'(1)

=().

A.—eB.11C.1D.e

解析由/'(x)=2x/(1)+lnx,得/(x)=2f'⑴+'

x

：.f(1)=2/(1)+1,則f'(1)=-1.

答案B

7.等比數(shù)列｛a〃｝中，a=2,a=4,函數(shù)f(x)=x(x-&)(x—㈤…(x一色)，則尸(0)

=().

A.26B.29C.2'2D.215

ll12

解析函數(shù)f(x)的展開式含x項(xiàng)的系數(shù)為at,a2....a8=(a,?as)=8=2,

12

而/(0)=a,,a2....a?=2,故選C.

答案C

二、填空題

8.已知函數(shù)f(x)=F(5)sinx+cosx,則.

解析由已知：f(x)=rcosx—sinx.

則f'[5)=-L因此f(x)=—sinx+cosx,j=0.

答案0

9.函數(shù)/(x)=/+ax(xwR)在x=1處有極值,則曲線y=/(%)在原點(diǎn)處的切線方

程是.

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(無)=尤3+ax(xeR)在x=l處有極值，貝!Jf'(1)=3+a=0,a=-3.

所求切線的斜率為-3,所以切線方程為y=-3x.

答案3x+y=0

10.若過原點(diǎn)作曲線y=e'的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的斜率為

解析設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(須，加則艮啜=-7尸1.因此切

點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.

答案(1,e)e

11.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2/(2—才)-f+8*—8,則曲線y=f(x)在

x=l處的導(dǎo)數(shù)尸(1)=.

解析?.?/'(X)=2/'(2—X)—/+8X—8,

二*=1時(shí)，AD=2/(1)-1+8-8,

f(l)=h即點(diǎn)(1,1),在曲線y=f(x)上.

又,：F(x)=—2f'(2—x)—2x+8,

x=l時(shí)，f(1)=—2F(1)-2+8,

：.f(1)=2.

答案2

12.已知f(x)=sinx+cosx,記￡(*)=￡'(x),△(*)=￡'(x),…，￡(x)

=fn-\(x)(〃WN*,心2),貝U￡(5)+￡(高^---b72012

,

解析：f2{x}=f\(x)=cosx—sinx,

￡(x)=(cos才―sinx)r=-sinx—cosx,

fAx)=-cosx+sinx,￡(x)=sinx+cosx,

以此類推，可得出￡(X)=￡+4(X)

又,.,￡(才)+乙(才)+73U)+￡(X)=0,

?"圉+專)+…+￡。閆=4圉+聘+玲圉+何=0.

答案：0

三、解答題

13.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(Dy=Vsinx；(2)y=言;

(3)y=log?(2V+3x+1).

解析：(l)y'=(V)'sinx+V(sinx)*1=2xsinx+fcosx.

ex-1—eA+1e'—1

⑵法一:y'=

eXeX-11—eX+I11eX

-2eA

(3)法一：設(shè)y=log2"，"=2*+3x+l,

14x+3

則，x=y'產(chǎn)“?In2(4"+3)=21+3X+1In2'

法二：y'=[log2(2/+3^+1)]'

—y+3.+*(2*+3x+l”

4x+3

y+3*+

14.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=(2x+l)",(〃GN*)；

⑵y=ln(x+Nl+C);

⑶y=2xsin(2x+5).

解析⑴/=〃(2x+l)i?(2x+l)'=2〃(2葉1)「

1(_2A_A1

(2)/=葉也+丁[尸7TT?

(3)y'=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

15.設(shè)函數(shù)f(x)=/+2勿^+6x+a,g(x)=V—3x+2,其中xCR,a、6為常數(shù),

已知曲線y=f(x)與尸g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線1.

(1)求a、力的值，并寫出切線/的方程；

(2)若方程f(x)+g(x)=RX有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、Xi、XZ,其中X《品，且對

任意的蒞］,f(x)+g(x)〈加(X—1)恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

解析⑴/(x)=3f+4ax+8,g'(x)=2x—3,由于曲線尸f(x)與尸g(x)

在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線，故有/■(2)=g(2)=0,f(2)=^(2)=1,由此解

得a=-2,6=5；

切線/的方程為：x—y—2=0.

(2)由(1)得f(x)+g(x)=f—3/+2x,依題意得：方程x(V—3x+2—㈤=0有

三個(gè)互不相等的根0,x”蒞，故為，也是方程/一3刀+2—/=0的兩個(gè)相異實(shí)根，

所以A=9—4(,2—m)>0=>zz7>—~；

又對任意的xG［xi,%］，f(x)+g(x)〈加(*—1)恒成立，特別地，取x=用時(shí)，

+g(xJ—RXi<一加成立，即0〈一g派0,由韋達(dá)定理知：天+也=3>0,X\X2

=2一加>0,故0〈為〈如對任意的xG［xi，苞］,有x-&W0,x—及20,x>0,則

f(x)+g(x)-mx=x(x—x)(才一尼)WO；

又f(x)+g(x)—mx尸0,

所以函數(shù)在尼］上的最大值為0，于是當(dāng)加0時(shí)對任意的［&,也］,

f(x)+g(x)〈勿(x—1)恒成立.綜上：力的取值范圍是卜1，0).

16.設(shè)函數(shù)f(x)=ax—g曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,『(2))處的切線方程為7x—4y

-12=0.

⑴求f(x)的解析式；

⑵證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線尸x所圍成的三

角形面積為定值，并求此定值.

7

解析(1)方程7才一47-12=0可化為y=-x—3,

b_l

2=2

當(dāng)x=2時(shí)，y=1.又f(x)=a+4.于是，

b_l

4=4

|a=l,3

解得，.故F(x)=x-—.

［6=3.x

⑵證明設(shè)戶(如必)為曲線上任一點(diǎn)，

由f'(x)=l+2知，曲線在點(diǎn)尸(崗，K)處的切線方程為y—%=［1+W)(x—荀),

即夕—卜一M=〔1+/5一幻?

令x=0得，y=——,從而得切線與直線*=0交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,——1

AbVX。）

令尸x,得y=x=2x°,從而得切線與直線尸x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2荀,2吊）.

所以點(diǎn)。（如加處的切線與直線x=0,所圍成的三角形面積為

16

--

2-8

故曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積

為定值，此定值為6.

3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

一、選擇題

1.與直線2x—y+4=0平行的拋物線尸旅的切線方程是().

A.2x—y+3=0B.2x—y—3=0

C.2x—y+l=0D.2x—y—1=0

解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(揚(yáng)，總)，則切線斜率為2風(fēng)”

由2的=2得及=1,故切線方程為y—l=2(x—1)，

即2x—y—1=0.

答案D

2.函數(shù)『=4/+：的單調(diào)增區(qū)間為().

A.(0,+0°)

C.(—8,—1)

解析由尸得/=8x—+令>>0,即8x—60,解得4

函數(shù)y=4f+：在十8)上遞增.

答案B

3.已知/'(x)的定義域?yàn)镽,/i(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所

示，貝M)

A.f(x)在x=1處取得極小值

B.f(x)在x=l處取得極大值

C.f(x)是R上的增函數(shù)

D.f(x)是(-8,1)上的減函數(shù)，(1,+8)上的增函數(shù)

解析：由圖象易知F(*)20在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函數(shù).

答案：C

4.已知直線尸在x是y=lnx的切線，則4的值為().

11

A.eB.—eC?一D.一—

ee

解析設(shè)(x?,In場)是曲線y=lnx與直線y=Ax的切點(diǎn),

由y'=一知_/\x=x=—

X,￥?0

由已知條件：-解得及=e,k=~.

AbAoe

答案c

5.函數(shù)/'(x)=己才3+"在刀=l處有極值，則ab的值為()

a

A.2B.-2C.3D.-3

解析f(A-)=3ax+b,由F(；)=3《)+6=0,可得aA=-3.故選D.

答案D

6.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/'(x),若滿足5—1)/(x)20,則必有().

A.Ao)+A2)<2A1)B.AO)+f(2)^2/(I)

C.f(0)+f(2)22f(l)D.A0)+/(2)>2f(l)

解析不等式(x—i)r(*)eo等價(jià)于］：一120,x—1WO,

或

xfX

可知/'(x)在(-8,1)上遞減，(1,+8)上遞增，或者/'(X)為常數(shù)函數(shù)，因此

f(0)+f(2)22f(l).

答案C

7.函數(shù)/<x)的定義域?yàn)镽,f(-l)=2,對任意xdR,f'(x)>2,則f(x)>2x

+4的解集為().

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(-8,+oo)

解析設(shè)g(x)=f(x)—2x—4,由已知g'(x)=F(*)—2>0,

則g(x)在(一8,十8)上遞增，又g(—i)=f(—i)—2=0,

由g(x)=F(x)—2%—4>0,知x>一1.

答案B

二、填空題

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x(e、+l)+；A則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

乙

解析：因?yàn)閒(x)=x(e'+l)+，？，

所以〃(x)=ev+l+xe*+x=(e'+l)?(x+1).

令F(x)>0,即(e'+l)(x+l)>0，解得x>一1.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+-).

答案：(-1,十8)

9.函數(shù)f(x)=%—3/+1在x=處取得極小值.

解析f(x)=3*—6x,令/(x)=0,得荀=0,也=2,當(dāng)X6(—8,0)時(shí)，

f(x)>0,

當(dāng)xW(0,2)時(shí)，fUXO,當(dāng)x￡(2,+8)時(shí)，f(x)>0,顯然當(dāng)x=2時(shí)f(x)

取極小值.

答案2

10.若曲線f(x)=af+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析（x）=5ax'+[,xe（0,+8）,

...由題意知5/+卜°在(0,+8)上有解.

即一春在(°,+8)上有解.

白e（—8,0）..,￡（—8,o）.

（0,+8）,

答案(一8,0)

11.函數(shù)f(x)=司ax—文(a〉0)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析由“一系20心>0)解得OWxWa,即函數(shù)/<x)的定義域?yàn)閇0,a],尸(x)

3a

3ax—4f-4Qo

,由尸3<0解得后亍，因此/V)的單調(diào)遞減區(qū)間

2yjax-xyjax—x

口3a

是甲a

3a

答案W，a

12.己知函數(shù)f{x}=x{x~a）.

若f(x)在(2,3)上單調(diào)則實(shí)數(shù)a的范圍是

若/'(x)在(2,3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的范圍是一

解析由/'(x)—a/得/■'(x)=3x?-2ax=3

(2a

丁WO，

3Q

若f(x)在(2,3)上不單調(diào)，則有〈°解得：3<a<-

八2a,，

2<y<3,

答案(一8,3]UI，+8),(3,野

三、解答題

13.已知函數(shù)/'(x)=a*+61nx在x=l處有極值)

乙

(1)求a,6的值；

(2)判斷函數(shù)了=〃X)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=aV+6inx,

所以/(x)=2ax+~.

x

又函數(shù)f(x)在x=l處有極值;，

(f=0,j2a+6=0,(二

所以<,_1即1_1解得<”亍

u=2-ia=?U=-l.

(2)由(1)可知f(x)Inx,其定義域是(0,+8),且/(才)=刀一,=

2x

x+x-

X?

當(dāng)X變化時(shí)，f(x),Ax)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+°°)

/(x)—0+

F(x)極小值

所以函數(shù)夕=汽彳)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+-).

14.已知/(x)=ex—ax-l.

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求d的取值范圍.

解析：(1)'."(x)=e"—ax—1,:.f(x)=e—a.

令r(x)>0,得e、>a,

當(dāng)aWO時(shí)，有f(x)>0在R上恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，有x21na.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,+8)；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[Ina,+-).

⑵由⑴知-(x)=e'—a

在R上單調(diào)遞增，(x)=e*—a20恒成立,

即aWe',xCR恒成立.

?.?xdR時(shí)，erG(0,+8),a^O.

即a的取值范圍為(一8,0].

15.已知函數(shù)/'(x)=f—ax—1

(1)若/1(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使/'(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍;

若不存在試說明理由.

解析⑴F(x)=3*—a

由4W0,即12aW0,解得aWO,

因此當(dāng)f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(一8,0].

(2)若f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

則對于任意xe(—1,1)不等式f(x)=3f—aW0恒成立

即心3*,又xe(—1,1),則3段3因此a23

函數(shù)7'(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,+8).

16.已知函數(shù)/"(x)=alnx—ax—3(aWR).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)尸/'(x)的圖象在點(diǎn)(2,F(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的

函數(shù)g(x)=f+x[fx+胃在區(qū)間(。3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求

加的取值范圍.

解析(1)根據(jù)題意知，f<x)=~-U—(x>0),

X

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(1,十8)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]；當(dāng)a=0

時(shí)，/"(X)不是單調(diào)函數(shù).

(2)Vf(2)=-|=1,"=—2,

/.f(x)=—21nx+2x—3.

.,.g(x)=x+2^/~2x,

g'(x)=3*+(勿+4)x—2.

???g(x)在區(qū)間(。3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0)=—2,

gt<0,

?力>0.

由題意知：對于任意的H1)vo恒成立，

[g<0,

)37

Jg<0,——</?<—9.

U>0,

【點(diǎn)評】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值等問題時(shí)，主要分以下幾步：，

第一步：確定函數(shù)的定義域；

第二步：求函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，x；

第三步：求方程Fx=0的根；

第四步：利用fx=0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順序?qū)⒍x域分成

若干個(gè)小開區(qū)間，并列出表格；

第五步：由Fx在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷fx在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)

性；

第六步：明確規(guī)范表述結(jié)論.

3.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

一、選擇題

1.函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,8),導(dǎo)函數(shù)6(x)在(a,8)內(nèi)的圖象如圖所

示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,6)內(nèi)有極小值點(diǎn)().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案A

2.若函數(shù)尸/U)可導(dǎo)，則"F(x)=0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的().

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

3.已知函數(shù)f(x)=/+af+(a+6)x+l有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是().

A.(-1,2)B.(—8,-3)U(6,+8)

C.(-3,6)D.(一8,-1)u(2,+8)

解析f(x)=3/+2ax+(a+6),因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，

所以〃(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以4=43一4X3(a+6)>0,

解得aV-3或a>6.

答案B

4.已知函數(shù)f(x)=—x+ax-A在x=2處取得極值，若加、nG[―1,1],則F(加)

+f'(力的最小值是()

A.-13B.-15

C.10D.15

解析：求導(dǎo)得F(x)=—3f+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知/(2)

=0,即一3X4+2aX2=0,二a=3.由此可得/'(x)=一犬+3V—4,

f(X)=-3*+6X,易知/'(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

二當(dāng)加￡［―1,1］時(shí)，f?win=f(0)=-4.又r(x)=-3*+6x的圖象開口向

下，且對稱軸為X=l,?,.當(dāng)1,1］時(shí)，f(z?)ain=F(―1)=-9.故f(勿)

+f(〃)的最小值為一13.

答案：A

5.函數(shù)尸xe,,xW[0,4]的最小值為().

14

A.0B.-C.~

ee

解析y'=e-e-r(^—1)

y'與y隨x變化情況如下：

X0(0,1)1(1,4)4

y'+0一

1_4

y0

/ee

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)尸取到最小值0.

答案A

6.設(shè)a@R,函數(shù)/'(x)=e'+a?e-'的導(dǎo)函數(shù)是-(x),且F(x)是奇函數(shù).若

曲線y=f(x)的一條切線的斜率是則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.In2B.—ln2

x

解析f(x)=e-ae-\這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)在0處有定義，所

以產(chǎn)(0)=0,故只能是a=l.此時(shí)-(x)=e'—eT設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是揚(yáng)，則

3

ex0-e—x0=-,即2(e吊尸一3ex()—2=0,即(ex。-2)(2ex()+1)=0,只能是ex0

=2,解得用=ln2.正確選項(xiàng)為A.

答案A

7.設(shè)函數(shù)f(x)=ax?+8x+c(a,b,<?GR).若x=—1為函數(shù)f(x)e，的一個(gè)極

值點(diǎn)，則下列圖象不可能為尸f(x)的圖象是().

解析若*=一1為函數(shù)f(x)e"的一個(gè)極值點(diǎn)，則易得a=c.因選項(xiàng)A、B的函數(shù)

為/'(才)=a(x+l)2,則=f(x)e*+f(x)(e")'=a(x+1)(x+3)e*,

.?.x=-l為函數(shù)f(x)e'的一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件；選項(xiàng)C中，對稱軸x=一?>

0,且開口向下，...aVO,b>0,.?.f(-l)=2a-Z?<0,也滿足條件；選項(xiàng)D中,

對稱軸x=—?V—l,且開口向上，.?*>(),b>2a,f(-1)=2a-Z?<0,與

La

圖矛盾，故答案選D.

答案D

二、填空題

8.已知/'(才)=2/—6/+3,對任意的xG[—2,2]都有f(x)Wa,則a的取值范

圍為.

解析：由f(x)=6刀2—12x=0,得x=0,或x=2.

又f(-2)=-37,f(0)=3,f(2)=-5,

/(A)IIBX=3,又/'(x)Wa,a23.

答案：[3,+8)

9.函數(shù)f(x)=*-21nx的最小值為.

2

解析由f(x)=2x—=0,得V=1.又尤>0,所以x=l.因?yàn)?Vx<1時(shí)，/(才)

x

<0,x>l時(shí)/(x)>0,所以當(dāng)犬=1時(shí)，f(x)取極小值(極小值唯一)也即最小

值*1)=1.

答案1

10.若fW=/+3a/+3(a+2)^+l有極大值和極小值，則a的取值范圍

解析f(x)=3x?+6ax+3(a+2),

由已知條件」>0,即36a2—36(a+2)>0,

解得水一1,或a>2.

答案(一8,-1)U(2,+8)

11.設(shè)函數(shù)F(x)=aV—3x+l(xWR),若對于任意xd[—1,1],都有f(x)20

成立，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析(構(gòu)造法)若戶0,則不論a取何值，f(x)20顯然成立；

3I3

當(dāng)才>0,即才￡(0,1]時(shí)，f(x)=數(shù)3-3才+120可化為F設(shè)g(x)=F—

xxx

1e,/、-2才

Fx則g(才)=-----xi--------，

-1

所以g(x)在區(qū)間(0,1-

上單調(diào)遞增，在區(qū)間2上單調(diào)遞減,

-

因此g(x)皿=＜；)=4,從而a24.

31

當(dāng)xVO,即xG[—1,0)時(shí)，同理aW——

xx

g(x)在區(qū)間［-1,0)上單調(diào)遞增，

???g(x)n)in=g(—1)=4,從而aW4,綜上可知a=4.

答案4

【點(diǎn)評】本題考查了分類討論思想構(gòu)造函數(shù)，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的知識來解決.

12.已知函數(shù)/'(“)的自變量取值區(qū)間為4若其值域也為4則稱區(qū)間/為f(x)

的保值區(qū)間.若g(x)=x+〃Llnx的保值區(qū)間是［2,+8),則/的值為.

IV—1

解析W5)=1-—=——，當(dāng)x22時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù)，因此g(x)的值域

X.X.

為［2+加一ln2,+°°),因此2+7一1112=2,故加=ln2.

答案ln2

三、解答題

13.已知函數(shù)f(x)+6V+cx在點(diǎn)用處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y=F(x)

的圖象經(jīng)過(1,0),(2,0)點(diǎn)，如圖所示.

(D求為的值;

⑵求a,b,c的值.

解析(1)由/(x)隨x變化的情況

X(—8,1)1(1,2)2(2,+°°)

f(x)+0—0+

可知當(dāng)x=l時(shí)f(x)取到極大值5,則吊=1

⑵/(x)=3af+26x+c,a>0

由已知條件x=l,戶2為方程3ax2+28X+C=0,

"a+b~\-c=5,

_2b_

的兩根，因此V一瓦=3

解得a=2,Z?=-9,c=12.

14.已知函數(shù)f(x)=x：'+ax2+6x+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=l處的切線為/：

2

3x—y+l=O,若x=a時(shí),y=f{x)有極值.

(1)求a,b,c的值；

⑵求尸f(x)在［-3,1］上的最大值和最小值.

解析：(1)由f(x)nf+al+Ax+c,

得f(x)=3*+2ax+8,

當(dāng)x=l時(shí)，切線，的斜率為3,可得2a+6=0.①

2

當(dāng)x=鼻時(shí)，y=f(x)有極值,

0

則/修)=0,可得4a+36+4=0.②

由①②解得a=2,b=~4.

由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=l,.?.f(D=4,

/.1+a~\~b~\~c=4,/.c—5.

.?.a=2,8=—4,c=5.

(2)由(1)可得f(x)="+2D-4X+5,

:?f(x)=3*+4x—4,

2

令f(x)=0,得為=-2,在=鼻.

o

當(dāng)X變化時(shí)，y、y'的取值及變化如下表:

2

X-3(—3,-2)-21

11)3(IJ

f

y+0—0+

95

8單調(diào)遞增/13單調(diào)遞減、單調(diào)遞增/4

y27

在［—3,1］上的最大值為13,最小值為小

15.設(shè)f{x)=—+7^+2ax.

O乙

(1)若f(x)在修+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)0VaV2時(shí)，f(x)在［1,4］上的最小值為一號，求/V)在該區(qū)間上的最大

0

值.

解析(1)由/(*)=—*+x+2a=—(x—2,+；+2a，

當(dāng)xG+回時(shí)，f(x)的最大值為F7=~+2a；令2a>0,得a>—《

_oj)yKy+y

所以，當(dāng)a>—%寸，f(x)在(I，+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.即f(x)在(|,十8)

上存在單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，a的取值范圍是(一看+8)

⑸及”/、n.詼俎171+8al+=l+8a

(2)令/(x)=0,得兩根用=---------，Xi=---2------

所以/'(x)在(一8,X),(尼，+8)上單調(diào)遞減，

在(荀,吊)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0VaV2時(shí)，有為V1V在V4,

所以/13在［1,4］上的最大值為〃意，

97

又f(4)—F(l)=—卞+62<0,即f(4)</(1).

所以f(x)在［1,4］上的最小值為f(4)=8a—曰=—￥.

0O

得a=l,屬=2,從而f(x)在［1,4］上的最大值為f(2)=￥.

16.設(shè)函數(shù)f(x)=x—：—alnx(aeR).

(1)討論F(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)不和及，記過點(diǎn)力(為，〃為))，B(x”/(尼))的直線的

斜率為上問：是否存在a,使得A=2-a?若存在，求出a的值；若不存在，請

說明理由.

思路分析先求導(dǎo)，通分后發(fā)現(xiàn)/(x)的符號與a有關(guān)，應(yīng)對a進(jìn)行分類，依

據(jù)方程的判別式來分類.

解析(l)f(x)的定義域?yàn)?0,+8).

，/、?1ax—ax-\-\

一—=2

F(X)=1+FXXX

令g(x)=f—ax+1,其判別式4=4一4.

①當(dāng)㈤<2時(shí)，/WO,f(x)N0.故F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)aV—2時(shí)，zl>0,g(x)=0的兩根都小于0.在(0,+°°)_t,ff(x)>0.

故Ax)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)a>2時(shí)，/>0,g(x)=0的兩根為*=a一春三,

乙

6?+*\/a2-4

片2-

當(dāng)0<%〈為時(shí)，f(*)>0,當(dāng).<*<尼時(shí)，f(x)<0;

當(dāng)心>在時(shí)，f(x)>0.故/'(x)分別在(0,不)，(而，十8)上單調(diào)遞增，在(內(nèi),

及)上單調(diào)遞減.

⑵由(1)知，a>2.

因?yàn)閒(x)—f(x^)—(不一T2)+—~~——a(ln-In屬)，所以，k=

XyX2

fXi—fx1In為一In苞

2-1?-a?.

Xi-x2為尼X\—x2

「1、心十0InX|—Inx

又由(1)知，Xi至=1,于是左=2—3?----------------2.

XL涇

什-4,cnJnX\—Inx

右存在a,使得4=2—分則-----------2-1.

XL%

即In義―InX2=xx—x2.

由XiX2=l得也—21n涇=。(涇＞1).(*)

再由（1）知，函數(shù)力"）=￡—；—21n1在（0,+8）上單調(diào)遞增，而也>1,所以

x2—■-21n^>1—7—2In1=0.這與（*）式矛盾.

x21

故不存在a,使得k=2~~a.

【點(diǎn)評】本題充分體現(xiàn)了分類討論思想.近幾年新課標(biāo)高考?？疾楹瑓?shù)的導(dǎo)數(shù)

問題，難度中等偏上，考生最容易失分的就是對參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致

分類不全等

3.4定積分與微積分基本定理

一、選擇題

1.與定積分/『41一cosxd.Y相等的是().

A.y/2/B.^/2J0"sin|dx

C.///sin|^dx|

D.以上結(jié)論都不對

x

解析VI—cosx=2sin2-,/./；，/1.—cosxdx=

jy'lsin：dx=/J『|siii|dx

答案B

2.已知F(x)為偶函數(shù)，且/f(x)ok=8,則「一6f(x)&=()

A.0B.4C.8D.16

解析/—6f(x)<A=2/f(x)/=2X8=16.

答案D

3.以初速度40m/s豎直向上拋一物體，Z秒時(shí)刻的速度片40—10/,則此物

體達(dá)到最高時(shí)的高度為().

16080

A.-mB.~m

00

4020

C.-mD.-m

00

解析r=40—10t2=0,t=2,「(40-10-)dZ=(40Z-103M210

河上40x2—7x8

J0

答案A

4.一物體以v=9.8t+6.5(單位：加/s)的速度自由下落，則下落后第二個(gè)4s

內(nèi)經(jīng)過的路程是()

A.260mB.258m

C.259mD.261.2m

8

解析。⑼8t+6.5)dt=(4.9t?+6.5t)=4.9X64+6.5X8-4.9X16-

6.5X4=313.6+52-78.4-26=261.2.

答案D

5.由曲線直線y=x—2及y軸所圍成的圖形的面積為

().

10

A.-B.4

16

C.-D.6

o

解析由尸7x及產(chǎn)=X-2可得，x=4,所以由尸4才及y=x-2及y車

2）3修|等+20|40=y.

的封閉圖形面積為/(口一才+

答案c

6.已知a=Z77EN*,b=產(chǎn)也,則a,6的大小關(guān)系是（）.

J0

A.a>bB.a=b

C.a<bD.不確定

答案A

7.下列積分中

1*\

①J]dx；②/2xdx；③/n網(wǎng)；

小r萬cos2x,

④J°o.dx,積分值等于1的個(gè)數(shù)是（）.

2%—sinx

A.1B.2C.3D.4

解析①/%x=lnx;=i

②^—2xdx=-^x±2=0，

③/"\(；n2?)=1,

〃cos2.x\JI

(4)J—----------------:--------<ix=~j—o(cosx+sinx)ax

z02cosx-sinx22

=g(sinx—cos)|萬0=1.

答案C

二、填空題

8.如果10N的力能使彈簧壓縮10c/力，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6c加，則力

所做的功為.

解析由F(x)=kx,得k=100,F(x)=100x,W=f"°1100xak=0.18(jO.

答案0.18J

9.曲線y=:與直線夕=x,x=2所圍成的圖形的面積為__________.

X

答案-In2

10.若/(2x—3/)d=0,則k等于.

解析「(「一「放，23

Jo2x—3x9Jo2x/JoNX?=x?0—x°=k-k=0,

.\k=0或k=1.

答案?；?

11./|3-2x|dx=.

「一3

—2x+3,xW1

解析???|3-2削=<3

2x—3,x>5,

33

「|3一2x|