【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：全冊作業(yè)與測評 單元質(zhì)量評估(一)（附答案）

單元質(zhì)量評估（一）

（第一、二章）

（120分鐘150分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的）

1.下列推理錯誤的是（）

A.AGZ,AGa,BG/,BGa=>[aa

B.A￡a,A￡B,B￡a,B￡B=anB=AB

C.Ida,a

D.AEZ,lua=A￡a

【解析】選C.若直線/Cla=A,顯然有/Qa,A￡/,但人￡a.

2.一個等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體

是（）

A.球體B.圓柱

C.圓臺D.兩個共底面的圓錐組成的組合體

【解析】選D.等腰三角形的底邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，所得幾何體是兩個共底面的

圓錐組成的組合體.

3.如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的（）

ABCD

【解析】選A,由直觀圖知，原四邊形一組對邊平行且不相等為梯形，且梯形兩腰

不能與底垂直.

4.下列命題正確的是（）

A.一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則此直線與平面垂直

B.兩條異面直線不能同時垂直于一個平面

C.直線與平面所成的角的取值范圍是:0°<9^180°

D.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0°<9<90°.

【解析】選B.A錯誤，一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，并不意味著和平

面內(nèi)的任意直線垂直，所以此直線與平面不一定垂直；B正確，由線面垂直的性質(zhì)

定理可知，兩條異面直線不能同時垂直于一個平面；C錯誤，直線與平面所成的角

的取值范圍是:0°W6W90°;D錯誤，兩異面直線所成的角的取值范圍是：0°<

0W90°.

5.（2015?深圳高二檢測）用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾

何體，則它的俯視圖是（）

【解析】選B.D選項為正視圖或側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所

以內(nèi)圓是虛線.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

正視圖側(cè)視圖

n

俯視圖

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判

斷.

【解析】選B.由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，經(jīng)分析可知

該幾何體為三棱柱.

6.（2015?安徽高考）已知m,n是兩條不同直線，a,B是兩個不同平面,則下列命

題正確的是（）

A.若a,B垂直于同一平面,則a與B平行

B.若m,n平行于同一平面，則m與n平行

C.若a,B不平行,則在a內(nèi)不存在與B平行的直線

D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面

【解析】選D.

選項具體分析結(jié)論

A平面a,B垂直于同一個平面，則a,B相交或平行錯誤

B直線m,n平行于同一個平面，則m與n平行、相交、異面錯誤

若a,B不平行，則在a內(nèi)存在與B平行的直線，如a中平

C錯誤

行于a與B交線的直線，則此直線也平行于平面0

D若m,n垂直于同一個平面，則m〃n,其逆否命題即為選項D正確

7.（2015?長白山高一檢測）已知一平面平行于兩條異面直線,一直線與兩異面直

線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.斜交D.不能確定

【解析】選B.根據(jù)線面平行的性質(zhì)，在已知平面內(nèi)可以作出兩條相交直線與已知

兩條異面直線分別平行.因此，一直線與兩異面直線都垂直，一定與這個平面垂

直.

8.如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則棱錐的體積與原

正方體的體積之比為（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：6

【解析】選D.設(shè)正方體的棱長為a,則棱錐的體積VF錯誤！未找到引用源。X錯

誤！未找到引用源。XaXaXa二錯誤！未找到引用源。，又正方體的體積V2=a1所

以錯誤!未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。.

9.（2015?福建高考）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于

正視圖例視圖

俯視圖

A.8+2錯誤!未找到引用源。B.11+2錯誤!未找到引用源。

C.14+2錯誤!未找到引用源。D.15

【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱，所以S=2

X（1+2）XIX錯誤！未找到引用源。+2X2+1X2+1X2+錯誤！未找到引用源。X

2=11+2錯誤！未找到引用源。.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓臺上、下底面面積分別是冗，4j側(cè)面積是6n,則這個圓臺

的體積是（）

A.錯誤!未找到引用源。B.2錯誤!未找到引用源。nC.錯

誤!未找到引用源。D.錯誤!未找到引用源。

【解析】選D.上底半徑r=l,下底半徑R=2.因為S鋤=6TT,設(shè)母線長為I,則

n（1+2）?/=6TT.所以/=2.所以高h(yuǎn)二錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。.

所以V=錯誤！未找到引用源。n?錯誤！未找到引用源。（/+1X2+22）=錯誤！未找

到引用源。n.

10.在長方體ABCD-A1B1C.D1中,AB=BC=2,AA,=1,則BG與平面BBDD所成的角的正

弦值為（）

A.錯誤!未找到引用源。B.錯誤!未找到引用源。C.錯誤！

未找到引用源。D.錯誤!未找到引用源。

【解析】選D.在平面ABCD內(nèi)過點G作BD的垂線，垂足為

連接BE.錯誤！未找到引用源。=&EJ■平面BDDB,

所以NGBE的正弦值就是所求角的正弦值.因為BG二錯誤！未找到引用源產(chǎn)錯誤!

未找到引用源。，GE=錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。，

所以sinNGBE二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用

源。.

【拓展延伸】探究空間角問題

（1）求空間角的基本原則

求空間角時，無論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問題上.

⑵解題步驟：

①我（或作）出所求角；

②證明該角符合題意；

③構(gòu)造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角.

⑶空間角包括以下三類：

①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是選取合適的點引兩條異面直線的平行線，這兩條

相交直線所成的銳角或直角即為兩條異面直線所成的角.

②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，在此基

礎(chǔ)上進(jìn)一步確定垂足的位置.

③求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角時，首先要確定

二面角的棱，然后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角.一般常用兩種方法：定義法，垂

面法.

11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四

面體ABCD的外接球的體積為（）

A.錯誤!未找到引用源。冗B.錯誤!未找到引用源。nC.錯誤！

未找到引用源。五D.錯誤!未找到引用源。n

【解析】選C.球心。為AC中點，半徑為R=錯誤！未找到引用源。AC=錯誤！未找

到引用源。，V=錯誤！未找到引用源。TTRJ錯誤！未找到引用源。n.

12.（2015?滁州高二檢測）已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,在它的所有內(nèi)接圓

柱中，全面積的最大值是（）

A.2JiR2B.錯誤!未找到引用源。兀C.錯誤!未找到引用

源。KR2D.錯誤!未找到引用源。JiR2

【解析】選B.設(shè)圓柱底面半徑為r,則其高為3R-3r,全面積S=2ny+2nr（3R-3r）

=6nRr-4nr2=-4n錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。nl」,故當(dāng)彳錯

誤！未找到引用源。R時全面積有最大值錯誤！未找到引用源。nR2.

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線

±）

13.設(shè)平面a〃平面B,A,C￡a,B,B,直線AB與CD交于點S,且點S位于平

面a,B之間，AS=8,BS=6,CS=12,則SD=.

【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC〃BD,錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用

源。，解得SD=9.

答案:9

14.（2015?天津高考）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體

積為m3.

【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為1,高為2的圓柱，兩

端是底面半徑為1,高為1的圓錐，所以該幾何體的體積V=/xTTX2+2X錯誤!

未找到引用源。X/XnXl=錯誤!未找到引用源。n（m3）.

答案:錯誤!未找到引用源。K

【補(bǔ)償訓(xùn)練】若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積

是

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【解析】由三視圖可知此幾何體是由一個底面為正方形的四棱柱和一個底面是

梯形的四棱柱拼接而成的，所以此幾何體的體積是V=2X2X4+錯誤！未找到引用

源。X(2+6)X2X4=48(cm3).

答案:48cm3

15.如圖，圓錐SO中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，ABnCD=O,且AB_L

CD,SO=OB=2,P為SB的中點，則異面直線SA與PD所成角的正切值為.

D

【解析】連接P0,則PO/7SA,所以N0PD即為異面直線SA與PD所成的角，且4OPD

為直角三角形，ZP0D為直角，

所以tanNOPD=錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用

源。.

S

/1\>p

.aw

D

答案:錯誤！未找到引用源。

16.(2015?福州高一檢測)如圖,AB是。0的直徑,C是圓周上不同于A,B的點,PA

垂直于。。所在的平面,AE1PB于E,AF±PC于F,因此,J_平面PBC.(填

圖中的一條直線)

【解題指南】將問題轉(zhuǎn)化為證明AF±BC,AF±PC,從而證明AF_L平面PBC.

【解析】因為AB是。0的直徑,C是圓周上不同于A,B的點，所以BC±AC,因為

PA垂直于00所在的平面，所以BC±PA,又PAPIAC二A,所以BC_L平面PAC,AFc平

面PAC,所以AF_LBC,又AF_LPC,BCAPC=C,所以AFJ-平面PBC.

答案:AF

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，已知ABCD是矩形，且PAJ_平面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的

是（）

P

A.平面PAB,平面PAD

B.平面PCD，平面PAD

C.平面PAB,平面PBC

D.平面PCD,平面PBC

【解析】選D.由題意知，直線AB_L平面PAD,直線CD_L平面PAD,故選項A,B均正

確；直線BC_L平面PAB,BCc平面PBC,故選項C正確，選項D錯誤.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟）

17.（10分）（2015?全國卷II）如圖，長方體ABCD—ABCD中,AB=16,BC=10,AA尸8,

點E,F分別在AE,D￡上,A,E=D,F=4,過點E,F的平面a與此長方體的面相交,交

線圍成一個正方形.

DiF

小肖------

AB

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）.

⑵求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

【解析】（1）交線圍成的正方形EHGF如圖.

⑵作EMXAB,垂足為M,則AM=A,E=4,EB尸12,EM=AA產(chǎn)8,

因為四邊形EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.

于是MH二錯誤！未找到引用源。=6,AH=10,HB=6.

因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為錯誤！未找

到引用源。.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】圓柱有一個內(nèi)接長方體AG,長方體的體對角線長是10錯誤!未找

到引用源。cm,圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是100口

cm2,求圓柱的體積.

【解析】設(shè)圓柱底面半徑為rem,高為hem.如圖所示，

則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線“尹飛：7

長，則'

錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。

223

所以V1sm=Sh=nrh=nX5X10=250n（cm）.

18.（12分）（2015?常德高一檢測）如圖，在正三棱柱ABC-ABG中，F(xiàn),艮分別是

AC,AC的中點.

求證：⑴平面ABE〃平面C,BF.

(2)平面ABF」平面ACCiAi.

【證明】(1)在正三棱柱ABC-ABG中,

因為F,E分另I是AC,AG的中點，

所以BE〃BF,AF〃CF.

又因為BEnAFFF?GFnBF=F,

所以平面ABE〃平面CiBF.

(2)在正三棱柱ABC-ABG中，

AAJ平面ABC,所以BELAAi.

又BiJ_LAQ“A^IPAAFA,,

所以BFJ平面ACCA,而BRu平面ABE,

所以平面ABF—平面ACC,A,.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖已知在三棱柱ABC-A出C中,AAi_L面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分別

是AA1,BBi,AB,BC的中點.

⑴求證湎PCC」面MNQ.

⑵求證:PG〃面MNQ.

【證明】(1)因為AC二BC,P是AB的中點，所以ABJLPC,因為AAJ面ABC,CG〃AA“

所以CGJ_面ABC,而AB在平面ABC內(nèi)，所以CCJAB,

因為CCiAPC=C,所以AB_L面PCG,

又因為M,N分別是AAbBBi的中點，四邊形AABB是平行四邊形，所以MN〃AB,

所以MN_L面PCG,MN在平面MNQ內(nèi)，

所以面PCG_L面MNQ.

⑵連PBi與MN相交于K,連KQ,

c..C

因為MN〃PB,N為BBi的中點，所以K為PB1的中點，,，丁小

■■....七日3二：：;/;;.”,,“〃]

g蘆，V/

又因為Q是GBi的中點，所以PG〃KQ,/M小

而KQu平面MNQ,PC#平面MNQ,

所以PG〃面MNQ

19.（12分）（2015?北京高考）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABJ_平面ABC,AVAB

為等邊三角形,ACJ_BC且AC=BC=錯誤!未找到引用源。,0,M分別為AB,VA的中點.

⑴求證:VB〃平面M0C.

⑵求證：平面M0CJ_平面VAB.

（3）求三棱錐V-ABC的體積.

【解析】（1）因為0,M分別為AB,VA的中點，所以0M//VB.

又因為OMu平面MOC,VBQ平面MOC,所以VB〃平面MOC.

（2）因為AC=BC,。為AB中點,所以O(shè)C_LAB.

因為平面VAB_L平面ABC,交線AB,OCc平面ABC,所以O(shè)CJ■平面VAB.

因為OCc平面MOC,所以平面MOC_L平面VAB.

（3）由⑵知0C為三棱錐C-VAB的高，

因為AC_LBC且AC=BC二錯誤！未找到引用源。，所以0C=1,AB=2.

因為4VAB為等邊三角形，所以S.B二錯誤！未找到引用源。X2X錯誤！未找到引

用源。:錯誤！未找到引用源。.

VV-ABC:VIAB二錯誤！未找到引用源。義錯誤！未找到引用源。X仁錯誤！未找到引用

源。.

20.（12分）如圖是一個幾何體的三視圖，

俯視圖

（1）畫出這個幾何體的直觀圖.

⑵求這個幾何體的側(cè)面積.

（3）求這個幾何體的體積.

【解析】（1）此幾何體是上底邊長為3,下底邊長為5,高為3的正四棱臺.

（2）棱臺側(cè)面梯形的高為錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。，

所以棱臺的側(cè)面積S后錯誤！未找到引用源。（3+5）X錯誤！未找到引用源。X4

二16錯誤!未找到引用源。.

⑶棱臺的體積V二錯誤！未找到引用源。（S+錯誤！未找到引用源。+S'）-h

二錯誤！未找到引用源。X6+錯誤！未找到引用源。+32）X3=49.

21.（12分）直三棱柱的高為6cm,底面三角形的邊長分別為3cm,4cm,5cm,將

棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值.

【解析】如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角

形的內(nèi)切圓時，圓柱的體積最大，削去部分體積才能最小，設(shè)此

時圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6cm.

因為在aABC中，AB=3cm,

BC—4cm,AC—5cm,

所以aABC為直角三角形.

根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-2R=5,

所以R=1cm,所以V四柱=nR2?h=6ncm3.

而三棱柱的體積為V三枝小錯誤！未找至4引用源。X3X4X6=36(cm3),

所以削去分的