廣東省汕頭市2024屆高三上學期期中數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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PAGEPAGE1廣東省汕頭市2024屆高三上學期期中數(shù)學試題一?選擇題1.已知全集,能表示集合與關(guān)系的Venn圖是()A. B.C. D.【答案】D【解析】因為,又,所以,所以,,,根據(jù)選項的Venn圖可知選項D符合.故選:D.2.已知復數(shù)與復數(shù)都是純虛數(shù),則()A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè),則,,由題意可得,解得,所以.故選:D.3.設(shè),則有()A. B.C. D.【答案】C【解析】,,,因為在時單調(diào)遞增,所以,即.故選:C.4.為了進一步學習貫徹黨的二十大精神,推進科普宣傳教育,激發(fā)學生的學習熱情,營造良好的學習氛圍,不斷提高學生對科學?法律?健康等知識的了解,某學校組織全校班級開展“紅色百年路?科普萬里行”知識競賽.現(xiàn)抽取10個班級的平均成績:,據(jù)此估計該校各個班級平均成績的第40百分位數(shù)為()A.77 B.78 C.76 D.80【答案】A【解析】因共10個數(shù)據(jù),則,故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大排列第4個數(shù)據(jù)與第5個數(shù)據(jù)的平均數(shù),即.故選:A.5.已知,點在線段上(不包括端點),向量,的最小值為()A. B.C. D.【答案】C【解析】,點在線段上(不包括端點),故存在,使得,即,即,因為向量,所以,可得,,,由基本不等式得,當且僅當,即時等號成立.故選:C.6.圖1是一個水平放置且高為6的直三棱柱容器,現(xiàn)往內(nèi)灌進一些水,設(shè)水深為.將容器底面的一邊固定于地面上,再將容器傾斜,當傾斜到某一位置時,水面形狀恰好為,如圖2,則()A.3 B.4 C. D.6【答案】B【解析】在圖1中的幾何體中,水的體積為,在圖2的幾何體中,水的體積為,因為,可得,解得.故選:B.7.已知函數(shù)圖象的一部分如圖1,則圖2中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是()A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知,圖2中的圖象是將圖1中的圖象縱坐標不變,橫坐標先縮短,再向右平移個單位得到的.所以對應(yīng)的解析式為.故選:D.8.設(shè),若函數(shù)在遞增,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)在遞增,所以在上恒成立,則,即在上恒成立,由函數(shù)單調(diào)遞增得,又,所以,所以,所以即,解得,所以的取值范圍是.故選:B二?多選題9.設(shè)為兩個互斥的事件,且,則()A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為為兩個互斥的事件,且,所以,即,故A正確,B錯誤;因為為兩個互斥的事件,不一定為對立事件,所以也不一定為對立事件,故不一定為1,故C錯誤;因為為兩個互斥的事件,所以,故D正確,故選:AD.10.已知圓,點是直線上一動點,過點作直線分別與圓相切于點,則()A.圓上恰有一個點到的距離為 B.直線恒過定點C.的最小值是 D.四邊形面積的最小值為2【答案】BC【解析】圓心,半徑,對A,圓心到直線的距離為,所以圓上的點到直線距離得最小值為,圓上的點到直線距離得最大值為,所以圓上恰有兩個點到的距離為,A錯誤;對B,設(shè),由題意可知,都在以為直徑的圓上,又,所以為直徑的圓的方程為,整理得,,聯(lián)立可得,,即為直線的方程,即令,解得,所以直線恒過定點,B正確;對C,因為直線恒過定點,當定點與圓心連線垂直于時,圓心到直線的距離最大,則最小,定點與圓心之間的距離為,所以,C正確;對D,四邊形的面積為,根據(jù)切線長公式可得,,當最小時,最小,,所以最小值為1,即四邊形面積的最小值為1,D錯誤;故選:BC.11.如圖,在長方體中,分別為棱中點,則下列結(jié)論正確的是()A.平面B.⊥平面C.異面直線CN和AB所成角的余弦值為D.若P為線段上的動點,則點P到平面CMN的距離不是定值【答案】AD【解析】建立如圖所示空間直角坐標系,則,對于A,因為所以,又平面,平面,所以平面,故A正確;對于B:,設(shè)平面的法向量為,則即令,則所以平面的一個法向量為因為與不平行,所以⊥平面不成立,故B錯誤;對于C:設(shè)異面直線CN和AB所成的角為,則,故C錯誤;對于D,設(shè),所以,又平面的一個法向量為所以點P到平面的距離不是定值.故D正確.故選:AD.12.對于函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.是的一個周期 B.在上有3個零點C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】對于A,因為,所以是的一個周期,A正確;對于B,當,時,,即,即或,解得或或,所以在上有個零點,故B正確;對于C,由A可知,只需考慮求在上的最大值即可.,則,令,求得或,所以當或時,,此時,則在上單調(diào)遞增,當時,,此時,但不恒為0,則在上單調(diào)遞減,則當時,函數(shù)取得最大值,為,C正確;對于D,由C可知,在上不是增函數(shù),D錯誤.故選:ABC.三?填空題13.以下4幅散點圖所對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為__________.【答案】【解析】根據(jù)散點圖可知,圖①③成正相關(guān),圖②④成負相關(guān),所以,又圖①②的散點圖近似在一條直線上,所以圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高,圖③④的散點圖比較分散,故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低,即與比較大,與比較小,所以.故答案為:14.高中數(shù)學教材含必修類課本2冊,選擇性必修類課本3冊,現(xiàn)從中選擇3冊,要求兩類課本中各至少選一冊,則不同的選法共有__________種.(用數(shù)字作答)【答案】9【解析】第一類,只選取一冊必修類課本的選法有種;第二類,兩冊必修類課本都選的選法有種.綜上,滿足條件的選法共有種.故答案:9.15.如圖,在三棱錐中,,若,則直線與所成角的大小是__________.【答案】【解析】根據(jù)題意可得,又,所以可得,即可知,設(shè)直線與所成的角為,則,又,所以.故答案為:16.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一,目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個問題.古希臘數(shù)學家Pappus(約300~350前后)借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法:如圖,以角的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于A,B兩點;取線段AB的三等分點O,D;以B為焦點,A,D為頂點作雙曲線H.雙曲線H與弧AB的交點記為E,連接CE,則.①雙曲線H的離心率為________;②若,,CE交AB于點P,則________.【答案】①2②【解析】①由題可得所以,所以雙曲線H的離心率為;②,因為,且,所以,又因為,所以所以,所以,因為,解得,所以,故答案為:2;.四?解答題17.記為數(shù)列的前項和,已知是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)設(shè),證明:.(1)解:由是公差為的等差數(shù)列,可得,即,當時,,兩式相減可得,即,當時,,適合上式,所以數(shù)列的通項公式.(2)證明:由(1)知,當時,,則,所以,因為,所以,所以.18.如圖,長方體中,,,若在上存在點,使得平面.(1)求的長;(2)求平面與平面夾角的余弦值.解:(1)以為原點,以,,為軸建立空間直角坐標系,如圖所示:設(shè),則,,,,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,,2,,,,,平面,,即,解得,.(2)由(1)可知,,為平面的法向量,,,,,0,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得,2,,,.平面與平面夾角的余弦值為.19.某種疾病的歷史資料顯示,這種疾病的自然痊愈率為.為試驗一種新藥,在有關(guān)部門批準后,某醫(yī)院把此藥給10個病人服用,試驗方案為:若這10個病人中至少有5人痊愈,則認為這種藥有效,提高了治愈率;否則認為這種藥無效.假設(shè)每個病人是否痊愈是相互獨立的.(1)如果新藥有效,把治愈率提高到了,求經(jīng)試驗認定該藥無效的概率;(精確到0.001,參考數(shù)據(jù):)(2)根據(jù)(1)中值的大小解釋試驗方案是否合理.解:(1)設(shè)通過試驗痊愈的人數(shù)為變量,則,所以經(jīng)試驗認定該藥無效的概率為:.(2)由題意,新藥是有效的,由(1)得經(jīng)試驗認定該藥無效的概率為,概率很小是小概率事件,故試驗方案合理.20.在凸四邊形中,對角線交于點,且.(1)若,求的余弦值;(2)若,求邊的長.解:(1)因為,所以,設(shè),在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,所以,解得,所以,在中,由余弦定理得;(2)在中,由正弦定理得,所以,又為三角形的內(nèi)角,所以,所以,,且,所以,又,在中,由余弦定理得,所以.21.設(shè)橢圓的離心率為,上?下頂點分別為.過點,且斜率為的直線與軸相交于點,與橢圓相交于兩點.(1)若,求的值;(2)是否存在實數(shù),使得直線平行于直線?證明你的結(jié)論.解:(1)根據(jù)題意,,解得,所以橢圓的方程為,當時,直線方程為,與軸無交點,不符合題意;當時,設(shè)直線方程為,則,設(shè),,由得,,所以,,所以的中點橫坐標為,的中點橫坐標為,又因為,且四點共線,取中點,則,所以,即,所以是的中點,即與的中點重合,即,解得.(2)不存在實數(shù),使直線平行于直線,證明如下:由題意,,則,,若則,所以,化簡得,即,化簡得,由(2)得,所以,故,整理得,無解,所以不存在實數(shù),使直線平行于直線.22.已知函數(shù),.(1)若的圖像在點(1,f(1))處的切線過(3,3),求函數(shù)y=xf(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a>0時,曲線f(x)與曲線g(x

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