天津市河北區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）參考公式：如果事件，互斥，那么.如果事件，相互獨(dú)立，那么.球的表面積公式.球的體積公式，其中表示球的半徑.一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，則

故選：A.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，由此可知C，D選項(xiàng)中圖象錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A中圖象不合題意，又，故B中圖象符合題意，故選：B.4.某班的全體學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，，，.若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A.40 B.45 C.50 D.60【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為，由于低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是，故選：C5.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，，故,故選：D.6.已知圓錐的高為3，底面半徑長(zhǎng)為4，若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑長(zhǎng)為（）A.5 B. C.9 D.3【答案】B【解析】∵圓錐的底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝3，∴圓錐的母線(xiàn)l＝5，∴圓錐側(cè)面積S＝πrl＝20π，設(shè)球的半徑為r，則4πr2＝20π，∴r故選B．7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.23 C.24 D.28【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又，所以公差為，，故選：D.8.已知雙曲線(xiàn)C：-=1的焦距為10，點(diǎn)P（2,1）在C的漸近線(xiàn)上，則C的方程為（）A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】由題意得，雙曲線(xiàn)的焦距為，即，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線(xiàn)的方程為．9.已知函數(shù)的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直線(xiàn)是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列各式中符合條件的解析式是（）A. B.C D.【答案】C【解析】因?yàn)樽畲笾凳?，最小值是0，所以，解得，因?yàn)樽钚≌芷谑?，所以，解得，因?yàn)橹本€(xiàn)是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)，所以所求解析式可能為.故選：C.第II卷二、填空題10.是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】由題意得，故答案為：11.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】10【解析】要中含有的項(xiàng),則需要在5項(xiàng)中選取2個(gè)與3個(gè)相乘,故含有的項(xiàng)為,故的系數(shù)為10故答案為10.12.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)圓的圓心為，它的坐標(biāo)為，該圓的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為：，所以弦長(zhǎng)為：，故答案為：.13.甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，兩人每次射擊是否命中互不影響.設(shè)事件為“兩人至少命中一次”，事件為“甲命中”，則條件概率的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)則滿(mǎn)足的的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，解得，即，故滿(mǎn)足的的取值范圍是，故答案為：15.設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則______，的最小值為_(kāi)_____.【答案】2【解析】由，，可得，由于，，三點(diǎn)共線(xiàn)，故共線(xiàn)，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：2；.三、解答題16.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程；（3）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.解：（1）依題意，，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，，由，得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程是.（3）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，由，解得，由，解得，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.17.在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，，求邊；（3）在（2）的條件下，求的值.解：（1）因?yàn)?，可得，所以由正弦定理可得，又為三角形?nèi)角，，所以，因?yàn)椋?，，所以，可得，所以；?）因?yàn)椋?，，所以由正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理可得，解得或（舍去），所以；?）由（2）可知，所以為銳角，則，所以，，所以．18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.可得，，，，，由為棱的中點(diǎn)，得，向量，，故，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，即為平面的一個(gè)法向量，又面，所以平面；（2）解：向量，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，得為平面的一個(gè)法向量，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；（3）解：向量，則點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），所以，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，即；（2）由（1）可知，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；（3）令函數(shù)，即，所以函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于圖象與直線(xiàn)在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn).由（2）可知，函數(shù)在，上遞增，在上遞減，且，畫(huà)出圖象，如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，圖象與直線(xiàn)在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn).故實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.設(shè)橢圓：的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)（與不重合）.若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，垂足為，且的面積.（1）求直線(xiàn)的斜率；（2）求橢圓的