安徽省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1安徽省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.已知命題，則是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】“”變?yōu)椤啊保啊弊兂善浞穸ā啊?故選：D.3.若p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則r是p的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則有，則，又由，可得，則r是p的充分不必要條件.故選：A.4.冪函數(shù)（）具有如下性質(zhì)：，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.既是奇的數(shù)又是偶函數(shù) D.是非奇非偶函數(shù)【答案】B【解析】，所以是偶函數(shù).故選：B.5.已知，若，則（）A.2 B. C.1 D.0【答案】B【解析】∵，，∴必有，∴，解得或（舍去），∴.故選：B.6.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：B.7.水池有兩個相同的進(jìn)水口和一個出水口，每個口進(jìn)出的速度如圖甲乙所示．某天零點(diǎn)到六點(diǎn)該水池的蓄水量如圖丙所示（至少打開一個水口）．給出以下三個論斷：①零點(diǎn)到三點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②三點(diǎn)到四點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③四點(diǎn)到六點(diǎn)不進(jìn)水也不出水．其中正確論斷的序號是（）A.①② B.②③C.①③ D.①【答案】D【解析】由丙圖可知，從零點(diǎn)到三點(diǎn)該水池的蓄水量是6，即每小時增加水量為2，因此是兩個進(jìn)水口同時打開，且出水口沒有打開，所以①對；從三點(diǎn)到四點(diǎn)蓄水量由6降到5，一個小時減少水量為1，因此需要打開一個進(jìn)水口，一個出水口，所以②錯；從四點(diǎn)到六點(diǎn)蓄水量不變，又題設(shè)要求至少打開一個水口，所以需要打開兩個相同的進(jìn)水口和一個出水口，故③錯．故選：D．8.設(shè)函數(shù)，且的定義城為，若所在點(diǎn)構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域?yàn)?，設(shè)的兩根是，且，則定義域，而點(diǎn)，構(gòu)成一個正方形區(qū)域，于是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】AB【解析】對于A項(xiàng)：由“”可以推出，但反之不可以，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：由“”推不出“”，但反之可以，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)：由題意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D項(xiàng)錯誤.故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)C.如果函數(shù)在上是減函數(shù),那么它在上也是減函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)?，所以冪函?shù)在內(nèi)是減函數(shù)，故A正確；對于B，因?yàn)椋鋱D象關(guān)于中心對稱，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)是奇函數(shù)，所以它在上也是減函數(shù)，故C正確；對于D，拋物線的對稱軸是，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，但和的大小不定，故D錯誤.故選：ABC.11.“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】有實(shí)數(shù)解，有實(shí)數(shù)解，在函數(shù)的值域中取值，由，則的值域是，選項(xiàng)中和是的真子集.故選：CD.12.定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.D.【答案】BCD【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯誤；是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因?yàn)?，代入中，得到，進(jìn)而，因此，故C正確；由此得到，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在一間窗戶面積（a）小于地板面積（b）的房子里，窗戶與地板的面積同時增加（m），則采光條件可變好.根據(jù)這個事實(shí)可以提煉出一個不等式，常常稱為“陽光不等式”，它就是______.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，，因此，?故答案為：.14.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以且，因此.故答案為：.15.若a，b均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.【答案】8【解析】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，取到等號，故的最小值是.故答案為：.16.已知函數(shù)，則使得的的取值范圍是______.【答案】【解析】令，顯然是偶函數(shù)，且在內(nèi)單增，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由，解得.所以，當(dāng)時，，所以的值域，故.（2）因?yàn)椋?，顯然，函數(shù)的值域，從而，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.設(shè)，命題；命題.（1）若為真命題，求的最大值；（2）若一真一假，求m的取值范圍.解：（1）為真命題等價于，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，所以的最小值為，因此，所以，故的最大值是.（2）一真一假，當(dāng)為真命題時，，所以或，若真假，則，解得，若假真，則，解得，綜上可知，的取值范圍是.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求的整數(shù)值的集合.解：（1），當(dāng)時，就是，即，且，解得，且，或，故不等式的解集是.（2）在上恒成立等價于在上恒成立，令，設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上的最小值為，因此，解得，所以，故的整數(shù)值的集合是.20.某快遞公司為降低新冠肺炎疫情帶來的經(jīng)濟(jì)影響，引進(jìn)智能機(jī)器人分練系統(tǒng)，以提高分練效率和降低物流成本.已知購買x臺機(jī)器人的總成本為（單位：萬元）.（1）應(yīng)買多少臺機(jī)器人，可使每臺機(jī)器人平均成本最低；（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購買機(jī)器人，需要安排m人將物件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將物件送達(dá)指定分揀處.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)知，每臺機(jī)器人日平均分揀量為（單位：件）.求引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值.解：（1）每臺機(jī)器人的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此應(yīng)買200臺機(jī)器人，可使每臺機(jī)器人的平均成本最低.（2）當(dāng)時，每臺機(jī)器人日平均分揀量的最大值為450，當(dāng)時，，當(dāng)時，每臺機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為480，因此引進(jìn)200臺機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值為件.21.我們知道，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即a，b的算術(shù)平均數(shù)的平方不大于a，b平方的算術(shù)平均數(shù).此結(jié)論可以推廣到三元，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立（1）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（2）已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1），故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（2）當(dāng)時，由（1）中的不等式得，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因此的最大值為，由恒成立可得：，因的最大值為，故有：即實(shí)數(shù)的最小值為.22.已知函數(shù)，其中.若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方壁有兩個不同的實(shí)數(shù)根.（1）求的整數(shù)值；（2）設(shè)函數(shù)取（1）中的整數(shù)值.若