山東省濰坊市部分市區(qū)2023-2024學年高二上學期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濰坊市部分市區(qū)2023-2024學年高二上學期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設直線的傾斜角為，因為，所以且，所以，故選：C.2.已知圓：，圓：，則與的位置關系是（）A外切 B.內(nèi)切 C.外離 D.相交【答案】D【解析】因為的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，所以，所以，所以與兩圓相交，故選：D.3.已知直線和平面，則下列命題中正確的是（）A.若與斜交，則內(nèi)不存在與垂直的直線B.若，則內(nèi)的所有直線與都垂直C.若與斜交，則內(nèi)存在與平行的直線D.若，則內(nèi)的所有直線與都平行【答案】B【解析】對于A，當平面內(nèi)的直線與直線在平面的投影垂直時，，故A錯誤；對于B，若直線平面，則直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，故B正確；對于C，若內(nèi)存在與平行的直線，根據(jù)線面平行的判定定理可知，則與與斜交矛盾，所以內(nèi)存在與平行的直線，故C錯誤；對于D，若直線平面，則直線與平面內(nèi)的所有直線平行或異面，故D錯誤.故選：B.4.已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若與相交，則 B.若與平行，則C.若與垂直，則 D.若與重合，則【答案】C【解析】當時，，解得或，若，則，此時，若，則，此時，由上可知：不可能重合，故D錯誤；若與相交，則且，故A錯誤；若，則或，故B錯誤；若，則有，則，故C正確；故選：C.5.在棱長為4的正方體中，點A到平面的距離為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】連接，與相交于點，因為四邊形為正方形，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，故點A到平面的距離為的長，又棱長為4，所以.故選：B6.如圖，等腰梯形是圓臺的軸截面，，為下底面上的一點，且，則直線與平面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，過點作交于點，如下圖：因為幾何體為圓臺，所以平面，所以，又因為，所以為等腰直角三角形，因為為中點，所以，又因為，所以平面，所以直線與平面所成角為，因為，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.7.已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C8.已知正四面體的棱長為1，棱的一點滿足，若點到面和面的距離分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設在平面內(nèi)的射影點為，連接交于，連接，如下圖所示：因為幾何體為正四面體，所以為底面正三角形的重心，所以，所以，由題意可知：，所以，且，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，，若，則B.已知向量，，則在上的投影的數(shù)量為C.在空間直角坐標系中，點關于y軸的對稱點為D.O為空間中任意一點，若，且，則P，A，B，C四點共面【答案】AD【解析】對于A，向量，，，則，A正確；對于B，向量，，則在上的投影的數(shù)量為，B錯誤；對于C，點關于y軸的對稱點為，C錯誤；對于D，若，且，則，即，則共面，即P，A，B，C四點共面，D正確，故選：AD10.在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.//平面C.直線與所成的角為 D.二面角的大小為【答案】BCD【解析】對于選項A，因為在正方體中，四邊形為矩形，所以和不垂直，故選項A錯誤；對于選項B，因為在正方體中，，平面，平面，所以AC//平面，故選項B正確；對于選項C，因為在正方體中，，所以或其補角即為直線與所成的角.由為正三角形可知，，故選項C正確；對于選項D，因為在正方體中，面，所以，；又因為二面角的交線為，所以為二面角的平面角.在等腰直角中，，故選項D正確.故選：BCD.11.已知圓：和圓：的交點為，，直線：與圓交于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍是B.圓上存在兩點和，使得C.圓上的點到直線的最大距離為D.若，則【答案】AC【解析】A選項：圓：的標準方程為，圓心為,半徑為，因為直線：與圓交于，兩點，所以圓到直線的距離為，即，解得，所以的取值范圍是，故A正確；B選項：圓：的標準方程為，圓心，半徑，根據(jù)兩圓的方程有直線方程為，圓到直線AB的距離為，所以，圓上任意兩點，，，故B錯誤；C選項：圓上的點到直線的距離的最大值為，故C正確；D選項：因為，所以為等邊三角形，圓到直線的距離為，所以，故或，故D錯誤.故選：AC12.已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，且以為圓心、為半徑的圓分別交，于，兩點，點是劣弧上的動點，其中，則（）A.弧上存在點，使得與所成的角為B.弧上存在點，使得平面C.當時，動線段形成的曲面面積為D.當時，以點為球心，為半徑的球面與該四棱錐各側(cè)面的交線長為【答案】ACD【解析】以為原點，以方向為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：對于A：設時滿足條件，所以，所以，所以，所以，即為中點時滿足條件，故A正確；對于B：在平面中，的延長線始終與相交，由此可知平面一定不成立，故B錯誤；對于C：由題意可知，動線段形成的曲面為圓錐側(cè)面的，因為，所以曲面的面積為，故C正確；對于D：將四棱錐的側(cè)面展開，設球與的交點為，連接，如下圖所示：因為球的半徑，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以為等腰直角三角形，由對稱性可知：，所以，所以為半徑的球面與該四棱錐各側(cè)面的交線長為，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則________．【答案】3【解析】由題意知向量，，，故存在實數(shù)，使得，即，解得，故，故答案為：314.若直線為圓的一條對稱軸，則__________．【答案】1【解析】由題可知，圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故答案為：1.15.如圖，在直角坐標系中，已知，，從點射出的光線經(jīng)直線反射到軸上，再經(jīng)軸反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程為________.【答案】【解析】點關于軸的對稱點，點關于的對稱點，如下圖所示：又因為，所以，即，所以，解得，所以，所以光線經(jīng)過的路程為，故答案為：.16.已知菱形邊長為2，，沿對角線將折起到的位置，當時，二面角的大小為________，此時三棱錐的外接球的半徑為_____【答案】①②【解析】因為菱形邊長為2，，所以為等邊三角形，取的中點，連接，則⊥，⊥，且，故為二面角的平面角，因為，由余弦定理得，故，取的中心，故，設三棱錐的球心為，則⊥平面，過點作⊥平面，則點在的延長線上，且，故，則，設三棱錐外接球半徑為，過點作⊥于點，連接，則，，設，則，故，解得，故，故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在菱形中，，，.（1）求直線方程及直線的傾斜角；（2）求對角線所在的直線方程.解：（1）由題意可得，所以直線的方程為，即直線的方程為，在菱形中，，即有，又直線的傾斜角為，所以可得直線的傾斜角為；（2）由（1）可得，結(jié)合菱形中，可得，可得，所以對角線所在的直線方程為，即.18.如圖，在長方體中，，分別是，的中點，，且.（1）求并求直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離.解：（1）連接，因為在長方體中，則，則，在中，，所以；以為原點，所在直線為軸建立坐標系，則所以設與所成的角，則，因為異面直線所成的角時銳角或直角，則直線與所成角的余弦值為（2）連接，因為，設點到平面的距離為，則，因為，故，點到平面的距離為.19.已知的圓心在軸上，經(jīng)過點，并且與直線相切.（1）求的方程；（2）過點的直線與交于、兩點，（i）若，求直線的方程；（ii）求弦最短時直線的方程.解：（1）設圓心為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的標準方程為.（2）（i）當時，圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.（ii）當時，圓心到直線的距離最大，此時，取最小值，因為，則，此時，直線的方程為，即.20.如圖，在三棱柱中，，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.解：（1）連接，如下圖所示：因為，分別為，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）取中點，連接，因為，，所以≌全等，且與均為等邊三角形，所以，又因為，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形，因為為的中點，所以且，又因為，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，所以，又因為，所以平面，以所在直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，因為，所以，又，設平面的一個法向量為，所以，所以，令，則，設平面的一個法向量為，所以，所以，令，則，所以，又因為二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.21.邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.（1）證明：平面平面；（2）設，且二面角與二面角的大小都是，當點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：則，設，，則，設平面的法向量為則，令，則，設直線和平面所成角為，則，設，則，令，當時，，當時，，令，任意，，因為，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所以，所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.22.已知圓與圓：關于直線對稱.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓相交于，兩點，過點且與垂直的直線與圓的另一交點為，記四邊形的面積為，