浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C.2.平行六面體中，化簡（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，.故選：B.3.若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可知，，，則.故選：C.4.若圓與圓僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.3 B. C. D.1【答案】B【解析】由題意可知兩圓相內(nèi)切，易得兩圓圓心，且兩圓半徑分別，所以.故選：B.5.如圖，是棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)部且滿足，則P到面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，即，故P到面的距離.故選：A.6.細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，2023亞運(yùn)會(huì)開幕式運(yùn)動(dòng)員出場的地屏展示的是8副團(tuán)扇，分別是梅蘭竹菊松柳荷桂．“梅蘭竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大國風(fēng)范“．團(tuán)扇是中國傳統(tǒng)文化中的一個(gè)重要組成部分，象征著團(tuán)結(jié)友善．花瓣型團(tuán)扇，造型別致，扇作十二葵瓣形，即有12個(gè)相同形狀的弧形花瓣組成，花瓣的圓心角為，花瓣端點(diǎn)也在同一圓上，12個(gè)弧形花瓣也內(nèi)切于同一個(gè)大圓，圓心記為O，若其中一片花瓣所在圓圓心記為C，兩個(gè)花瓣端點(diǎn)記為A、B，切點(diǎn)記為D，則不正確的是（）A.在同一直線上 B.12個(gè)弧形所在圓的圓心落在同一圓上C. D.弧形所在圓的半徑BC變化時(shí)，存在【答案】D【解析】已知外圈兩個(gè)圓的圓心都為，令最外面圓半徑為，花瓣所在圓半徑為，對于A：因?yàn)榇髨A與小圓內(nèi)切且切點(diǎn)為，所以切點(diǎn)與兩個(gè)圓心共線，即在同一條直線上，A正確；對于B：由兩圓內(nèi)切可知為定值，所以12個(gè)弧形的圓心在同一圓上，B正確；對于C：因?yàn)?2個(gè)弧形花瓣也內(nèi)切于同一個(gè)大圓，所以，C正確；對于D：由得，所以，又，所以，所以，所以恒成立，D錯(cuò)誤.故選：D.7.已知是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線AB與l平行時(shí)，（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】連接，由切圓于A，B知，，因?yàn)橹本€AB與l平行，則，，而圓半徑為1，于是，由四邊形面積，得，所以.故選：A.8.已知曲線C的方程為，則下列說法不正確的是（）A.無論a取何值，曲線C都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱B.無論a取何值，曲線C關(guān)于直線和對稱C.存在唯一的實(shí)數(shù)a使得曲線C表示兩條直線D.當(dāng)時(shí)，曲線C上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為【答案】C【解析】A選項(xiàng)，在曲線C上任取一點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，代入曲線方程可知，，即，所以無論a取何值，曲線C都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，代入曲線方程得，所以對稱點(diǎn)在曲線上.關(guān)于的對稱點(diǎn)為，代入曲線方程得，，故對稱點(diǎn)也在曲線上；故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線方程為即，即或，當(dāng)，曲線方程即，即或；故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，，，則代入曲線方程化簡得，，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以曲線C上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故D選項(xiàng)正確；故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)槿c(diǎn)不共線，若四點(diǎn)共面，不妨設(shè)，則，即，顯然有，反之若，則有，即共面，所以共面，對于A，，有，故共面，A正確；對于B，，有，故共面，B正確；對于C，，有，故不共面，C錯(cuò)誤；對于D，，有，故共面，D正確；故選：ABD.10.已知曲線表示橢圓，下列說法正確的是（）A.m的取值范圍為 B.若該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則C.若，則該橢圓的焦距為4 D.若橢圓的離心率為，則【答案】BC【解析】由題意，A錯(cuò)；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則，即，B對；若，則，故，該橢圓的焦距為4，C對；若橢圓的離心率為，則或，可得或，D錯(cuò).故選：BC.11.己知過點(diǎn)的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，在A處的切線為，在B處的切線為，直線與，交于Q點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線l與圓C相交弦長最短為 B.AB中點(diǎn)的軌跡方程為C.Q、A、B、C四點(diǎn)共圓 D.點(diǎn)Q恒在直線上【答案】ACD【解析】由題意可知，圓C半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，則，而，所以，故A正確；當(dāng)不重合時(shí)，易知，即在以為直徑的圓上，易知的中點(diǎn)為，所以D的軌跡方程為，顯然重合時(shí)符合上方程，但當(dāng)時(shí)，此時(shí)為直徑，過的切線平行，不符合題意，即D的軌跡方程為，故B錯(cuò)誤；易知，即Q、A、B、C四點(diǎn)在以為直徑的圓上，故C正確；不妨設(shè)，則為直徑的圓心為，半徑為，故該圓方程為，易知直線為圓C與圓E的公共弦，兩圓方程作差可得，又直線過點(diǎn)P，即，故D正確；故選：ACD.12.已知正方體的棱長為1，H為棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.二面角的大小為B.C.若O在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)O的軌跡長度為D.若平面，則直線CD與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BD【解析】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，對于A：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.故，而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故A錯(cuò)誤.對于B：，故即，故B正確.對于C：由在正方形內(nèi)部，且，若分別是上的點(diǎn)，且，此時(shí)，由圖知：O在上，故以為圓心，為半徑的四分之一圓弧上，所以點(diǎn)軌跡的長度為，故C錯(cuò)誤.對于D：設(shè)直線與平面所成的角為.因?yàn)槠矫妫蕿槠矫娴姆ㄏ蛄浚?，故，而，故D正確.故選：BD.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點(diǎn)且與直線平行的直線記為，則兩平行線，之間的距離為_________．【答案】【解析】由題意不妨設(shè)，則，所以兩平行線，之間的距離.故答案為：.14.已知橢圓為橢圓C的左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且，延長交橢圓于Q，則_________．【答案】【解析】由橢圓，得，，設(shè)，因?yàn)椋?，則，即，又因?yàn)镻為橢圓C上的一點(diǎn)，所以聯(lián)立得，，所以或，①當(dāng)時(shí)，，直線方程為，即，聯(lián)立得，所以，②當(dāng)，，直線方程為，即，聯(lián)立得，所以，綜上，，故答案為：.15.把正方形ABCD沿對角線AC折成的二面角，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，則的余弦值為_________．【答案】【解析】由于，所以，不妨設(shè)正方形的邊長為2，則，，，所以，故，，所以，故答案為：.16.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光纖經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為為其左右焦點(diǎn)，若從由焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該雙曲線的離心率為_________．圖①圖②【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知與三點(diǎn)共線，故，不妨設(shè)，則，由雙曲線的定義可知，兩式相加可得，所以，由勾股定理可知，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓，直線l過點(diǎn)．（1）若直線被圓截得的弦長2，求直線的方程；（2）若直線被圓截得的優(yōu)弧和劣弧的弧長之比為，求直線的方程．解：（1）解法1：因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，由和，得到或，滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，設(shè)圓心O到直線的距離為，又直線被圓截得的弦長為2，所以，又，解得，又，所以，解得，此時(shí)，直線的方程為，綜上，直線的方程為或.解法2：點(diǎn)在圓上，故令圓上點(diǎn)，則弦長為①又②①-②得③③式代入到①式得，或，或斜率不存在，所以，直線的方程為或.解法3：以為圓心，以2為半徑的圓為①②①-②得③③式代入到①式得，或，或斜率不存在，所以，直線的方程為或.解法4：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，由和，得到或，滿足題意，當(dāng)直線斜率斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，弦長：，整理得到，即，解得，此時(shí)，直線的方程為，綜上，直線的方程為或.（2）易知劣弧所對圓心角為，又，故直線被圓所截弦長為，由，得到圓心O到直線l的距離為，所以，，整理得到，或，所以，或．18.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點(diǎn)，連接，．為中點(diǎn)，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連接，．正三角形，，面面，面面，面，又，，所以為正方形，所以．如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，設(shè)與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C方程；（2）若直線上存在點(diǎn)M滿足，求實(shí)數(shù)m的最小值．解：（1）設(shè)，則，∵，，.（2）解法1：（即M在圓C上及圓C的內(nèi)部），，，，.解法2：由題意可知直線與圓C有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，，，，化簡得，，.20.己知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足關(guān)系式．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）l是過點(diǎn)且斜率為2的直線，M是軌跡C上（不在直線l上）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l上，且，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1），由橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn)P軌跡為橢圓且，，，所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.（2）解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為，且滿足，易知，直線，因?yàn)?，設(shè)直線，由，解得，所以，又，所以，計(jì)算法1：因?yàn)椋O(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，又，所以.計(jì)算法2：因?yàn)榈玫?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，，由和，解得，，又，得到，所以.解法2：設(shè)M的坐標(biāo)為，且滿足，又直線，設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，則所以，又因?yàn)椋O(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，又，所以，解法3：轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)與橢圓相切時(shí)，與l的交點(diǎn)為A，切點(diǎn)為M，此時(shí)最大．設(shè)方程為：，由，消得到，由，得到，所以，由圖知，，聯(lián)立，和，得到，故，又，，將代入，得到，所以，，此時(shí).解法4：將問題轉(zhuǎn)化為過且垂直l的直線為，則為M到的距離易知，，即，設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，則到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，又，所以.21.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面CDFE為正方形，，，點(diǎn)C在面ABEF上的射影恰為的重心G．（1）證明：；（2）證明：面EFDC；（3）求該五面體的體積．解：（1），平面ABEF，平面ABEF，平面ABEF，又平面平面，平面ABCD．.（2）解法1：點(diǎn)G為的重心，作EG的延長線交AB于H，點(diǎn)H為AB中點(diǎn)，又，，四邊形AHCD為平行四邊形，，又平面，平面，，由于，,又，平面，平面，平面，又，又，，平面，平面.解法2：以D為原點(diǎn)，以DC為y軸，DF為z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),,又,，故，,又,平面，平面,（3）解法1：以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸建立直角坐標(biāo)系,，，,∴五面體體積，解法2：在中，,令