2023屆江西省上高第二中學高三階段性診斷考試數(shù)學試題

2023屆江西省上高第二中學高三階段性診斷考試數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平

臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門

進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展

有顯著效果的圖形是（）

2.一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大

小是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

a,a..b

3.已知函數(shù)/（x）=2tan（0x）3>O）的圖象與直線y=2的相鄰交點間的距離為不，若定義max{a,。}=?f

h,a<b

7V3乃

則函數(shù)h(x)=max{f(x),/(x)cosx}在區(qū)間內的圖象是（

5F

4.把函數(shù)/(x)=sir?》的圖象向右平移專個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.給出下列四個命題

①g(x)的值域為(0,11

7T

②g(x)的一個對稱軸是x=F

冗1

③的一個對稱中心是

g(x)?52

④g(x)存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

5,若點二二位于由曲線二=二一二一二與二圍成的封閉區(qū)域內(包括邊界)，貝上_的取值范圍是()

[-3J]B,[—35]c,(-x,-3]u[J,+x)D,u[J.+z)

6.如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊8C,直角邊A8,AC.已知以直角邊AC,AB為直徑的半圓的面積之比為記NA5C=a,貝(!sin2a=

()

25'25

7.已知函數(shù)/(x)=sin(<yx+6),其中。>0,0&,其圖象關于直線x=￡對稱，對滿足|/(王)一/(々)|=2

6

的*,x,有四一=￡,將函數(shù).f(x)的圖象向左平移丁個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單

2?ImInA

調遞減區(qū)間是()

,,7T

A.k兀一N-,k兀+土(&wZ)+一(左wZ)

622

.71.5萬.71,7萬

K7T-\——,k兀+——(丘z)k7T+—，攵乃+——(E

361212

8.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P?A3c的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）

Q

A.PA,PB,PC兩兩垂直B.三棱錐P-48c的體積為§

C.\PA\=\PB\=\PC\=46D.三棱錐P-A3C的側面積為3萬

9.已知集合A={X|X2,,1},8={X|3、<1},則A￡町=()

A.{x|x<0}B.{x|Oxx!k1}C.x<0}D.{x|x..-l)

10.已知點M（2,0）,點p在曲線y2=4x上運動，點尸為拋物線的焦點，則后力的最小值為（）

A.百B.2（V5-1）C.475D.4

11.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若§8=16,4=1，則數(shù)列｛4｝的公差為（）

3322

A.-B.——C.-D.--

2233

12.已知問=3忖=3,且（2。叫J.（a+4》），則2a—Z?在。方向上的投影為（）

720

A.-B.14C.—D.7

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作

答）

14.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（4,4）,P（X<6）=0.78,則P（XW2）=.

15.已知f（x）=e'+*是偶函數(shù)，則的最小值為.

16.(2五-古]的二項展開式中，含五項的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=xe'-ae2x(aeR)在定義域內有兩個不同的極值點.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若.f(x)有兩個不同的極值點西，x2,且可＜々，若不等式玉+丸々＞0恒成立?求正實數(shù)X的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+6]-加一磯meR).

(I)當〃z=3時，求不等式/(x)?5的解集；

(II)若不等式7對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

19.(12分)在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，并且。？+。2一儲=兒.

(1)已知,計算A8C的面積；

請①a=J7,②6=2,③sinC=2sin3這三個條件中任選兩個，將問題(1)補充完整，并作答.注意，只需選擇

其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計分.

(2)求cosB+cosC的最大值.

2萬5

20.(12分)如圖，在平面四邊形ABC。中，ND=——，sinZBAC=cosZB=—,A3=13.

313

(1)求AC；

(2)求四邊形ABC。面積的最大值.

21.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCO為直角梯形，AB1AD,ZADC=45°,AD//BC,AD=2AB=2,

△AD尸為等邊三角形，平面以。，底面ABC。，E為AO的中點.

p

(1)求證：平面依C，平面PCE；

(2)點/在線段CO上，且葛=：，求平面B4O與平面所成的銳二面角的余弦值.

,3

X=1+T

5

22.(10分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為＜(/為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸

,4

y=1+T

5

為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為心心，點P的極坐標為,，"

(1)求C的直角坐標方程和P的直角坐標；

(2)設/與。交于A,3兩點，線段A3的中點為"，求

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，

圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大，

它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.

2、D

【解析】

設圓錐的母線長為/,底面半徑為凡再表達圓錐表面積與球的表面積公式，進而求得/=2R即可得圓錐軸截面底角的大

小.

【詳解】

設圓錐的母線長為/,底面半徑為&則有萬齊+萬知=萬浦+2萬尺2,解得/=2R,所以圓錐軸截面底角的余弦值是

R1

7=5,底角大小為60°.

故選：D

【點睛】

本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式，屬于基礎題.

3、A

【解析】

由題知/(x)=2tan3x)(<y>0),利用丁=向求出再根據(jù)題給定義，化簡求出〃(x)的解析式，結合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意，/(x)=2tan(0x)(口>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點間的距離為n,

所以/(x)=2tan(5)3>0)的周期為乃，則①=g=乙

T71

2sinx,xe

所以h(x)=max{2tanx,2sinx]=<

2tanx.xe

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選:A.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.

4、C

【解析】

由圖象變換的原則可得g(幻=一；cos[2x-2)+g,由cos[2x-看]6[-1,1]可求得值域；利用代入檢驗法判斷②③;

對g(x)求導，并得到導函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

1-cos2x

由題J(x)=sin2x=

2

l-cos2|x--

則向右平哇個單位可得I12

'g(x)

2

???cosqJG[-1,1],g（x）的值域為[（）,1]，①錯誤；

TTFlTT

當x=三時,2x-^=0,所以x=是函數(shù)g（x）的一條對稱軸，②正確;

當》=工時,2%-芻=生，所以g（x）的一個對稱中心是（￡，!〕，③正確；

362I3

尤-看卜則,，使得,，則在=內和

g'(x)=sin[2[-1,1],3XPX26R,g'(xt)=-1,g(x2)=lg'(xj?g(x2)=-lg(x)x

x=々處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個.

故選:C

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心，考查導函數(shù)的幾何意義的應用.

5、D

【解析】

畫出曲線-_-_-_?與--.圍成的封閉區(qū)域，一表示封閉區(qū)域內的點--和定點-連線的斜率，然后結合

|UAI?/XJJIII“J

圖形求解可得所求范圍.

【詳解】

畫出曲線-=-.與二.圍成的封閉區(qū)域，如圖陰影部分所示.

J表示封閉區(qū)域內的點二二和定點二二一連線的斜率,

設，結合圖形可得->「或-V-，

_D+J-NU1一二一二二

3-Q3j

由題意得點A,B的坐標分別為-；

二二..或二<一二'

的取值范圍為-’,7]”.：,+/?

53

故選D.

【點睛】

解答本題的關鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結合的方法求解問題，即把看作兩點間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線

口

所圍成的封閉區(qū)域.考查轉化能力和屬性結合的能力，屬于基礎題.

6、D

【解析】

Ar1

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊AB,AC的長度之比，從而可知tano=J=7,結合同角三角函數(shù)的基本關

AB2

系，即可求出sina,cosa,由二倍角公式即可求出sin2a.

【詳解】

(7t

解：由題意知,以A8為直徑的半圓面積R

以AC為直徑的半圓面積S,=L乃（空］,則孝=與=9,即tana=%=L.

22{2JS,AB24AB2

sin2a+cos2a=1sina=——

5

由，sina1得所以sin2a=2sinacosa=2xx=—

tana--------=—2>/5555

、cosa2cosa=-----

5

故選:D.

【點睛】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.

7、B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(x)兩個對稱軸的距離也即是半周期，由此求得①的值，結合其對稱軸，求得。的值，進而求得

/(X)解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調區(qū)間的方法，求得g(x)的單調遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin3x+6),其中0>0,Oefo,|L其圖像關于直線x=?對稱，

對滿足./■(不)—"/)=2的/，x2,有人—々Lin,0=2

TTTTTT

再根據(jù)其圖像關于直線x=上對稱，可得2x—+e=k;r+上，Jtez.

662

：.0=^,.,./(%)=sin^2%+^.

7T(兀乃、

將函數(shù)/(X)的圖像向左平移g個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin2X+-4--：=cos2x的圖像.

6k36；

JI

令2Z"42%<2女"+萬，求得?一,

2

71

則函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間是k7r,k7T+-,kwz,

故選B.

【點睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

8、C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-48c的直觀圖，然后再計算可得.

【詳解】

解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐尸-ABC的直觀圖如圖所示，

其中。為A8的中點，底面ABC.

114

所以三棱錐尸-ABC的體積為—x—x2x2x2=—，

323

.?.|AC|=|BC|=|Pq=2,\AE\=yl\ACf+\BCf=272?：.\DA\^\DB\^\DC\=42,

??,IPA|=|PB|=|PC|=㈠+(V2)2=瓜

\PAf+\PBf^\ABf,.-.PA，必不可能垂直，

即PA,PB,PC不可能兩兩垂直，

22

S”BA=gx20x2=2VLS&PBC=SAPAC=x^(V6)-1x2=A/5.

三棱錐P-ABC的側面積為2逐+20.

故正確的為C.

故選：C.

【點睛】

本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.

9、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合8的補集，然后求AL(43)

【詳解】

A={x|-啜k1},8={X|X<0},所以A&3)={x|x...—l}.

故選：D

【點睛】

此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.

10、D

【解析】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交)軸于Q,則|PF|-1=|PN|-1=|PQ|,設P(x,y),x>0,則

IPMI24

W|PF|-1'+一x，利用均值不等式得到答案.

【詳解】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交y軸于Q,則同一1=|PN|-1=|PQ|,

1PMi2__(上2『+12_(上一2『+4上4

設尸(x,y),x>0,則=x+->4,

IPFI-1\PQ\xxx

4

當工=一，即x=2時等號成立.

x

本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

11、D

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

依題意‘、=駕也=迎磬=?故…=4,故一故心號=一|,故選：D.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.

12、C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出42，再由投影的定義計算.

【詳解】

由(2a-b)_L(a+4b)

可得(2。一/7)?(。+4/?)=2。2+7。/一4匕2=0,因為|a|=3g|=3,所以。6=一2.故2a—)在。方向上的投影

(2^i—/?),d2a~—a?b18+220

為--------=--------=----=—.

\a\\a\33

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點：排歹h組合及簡單計數(shù)問題.

點評：本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題，解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分

步原理正確計數(shù)，本題較抽象，計數(shù)時要考慮周詳.

14、0.22.

【解析】

正態(tài)曲線關于x=Ji對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。

【詳解】

P(X<2)=1-P(X<6)=0.22

【點睛】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題.

15、2

【解析】

由偶函數(shù)性質可得/(1)=/(-1),解得。=-1,再結合基本不等式即可求解

【詳解】

令/⑴=/(T)得。=一1,所以U(x)=爐+e-，N2品”=2,當且僅當x=0時取等號.

故答案為：2

【點睛】

考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎題

16、-160

【解析】

寫出二項展開式的通項，然后取x的指數(shù)為:求得，?的值，則4項的系數(shù)可求得.

【詳解】

卻=26rl=㈠>2"C'"咤，

5r1

由3——=可得廠=3.

62

含6項的系數(shù)為(—if-26-3=-160.

故答案為：-160

【點睛】

本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17>⑴;(2)^>1.

【解析】

(°求導得到"1一2旭'=0有兩個不相等實根，令2"丁=〃⑼計算函數(shù)單調區(qū)間得到值域，得到答案.

xIi(x

(2)乙是方程r=2。的兩根，故一\,化簡得到41n(%+-——(1+4)玉<0,

2

設函數(shù)，討論范圍，計算最值得到答案.

【詳解】

(1)由題可知,f'(x)=(x+l)e*-2a*=0有兩個不相等的實根,

X+[

即一+1-2四』有兩個不相等實根，令2"丁=心)，

〃,(x)=e'Tx+De'=E

xeR,

OY爐

xc(-oo,0),hr(x)>0；xG(0,+oo,),h\x)<0,

故〃(x)在(-8,0)上單增,在(0,+8)上單減，.?./z(X)max=/?(0)=1.

又"(-1)=0,XG(-00,-1)時，/z(x)<0；xe(-l,+oo)時，/?(x)>0,

：.2ae(0,1),即ae0,g).

X+1

(2)由(1)知，須，x,是方程2。的兩根,

■優(yōu)

二一1<X]<0<X?,則X]+4%2>0O*2>一]>0

X\_2

因為〃(x)在(0,+8)單減，Ah[x2)<h,又〃(々)=〃(石)，,

7A

.-五+1

即％+1</,兩邊取對數(shù)，并整理得:

z?兒

41n(玉+1)—--j-j—(1+/I)%<0對％G(-1,0)恒成立,

設F(x)=21n(x+l)-21n—(1+A)xxe(-l,0),

A,1.(l+/l)(x+l-/l)x

尸(x)--+------(1+乃=

X+11上(x+1)(4—x)

2

當221時，尸'(x)>0對xe(-1,0)恒成立,

.?.F(x)在(-1,0)上單增，故E(x)〈尸(0)=0恒成立，符合題意；

當九w(0,l)時,2-1e(-1,0),xw(十一1,0)時尸'(x)<0,

.?.F(x)在(2—1,0)上單減，F(xiàn)(x)>F(O)=O,不符合題意.

綜上,2>1.

【點睛】

本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

18、(I){x|x>l}；(II)[-13,1].

【解析】

試題分析：(I)分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得/(%)?5不等式的解集；(II)根據(jù)絕對值

不等式的性質可得，不等式/(x)W7對任意實數(shù)x恒成立，等價于加+6區(qū)7,解不等式即可求加的取值范圍.

試題解析：(I)當m=3時，/(x)25即卜+6|->〃一x|N5,

①當x<-6時，得一925,所以xe0；

②當一6<x<3時，得x+6+x-325,即xNl,所以l<x?3；

③當xN3時，得925成立，所以尢>3.

故不等式/(X)>5的解集為{x|x>1}.

(II)因為卜+6|一|/〃-.w|x+6+/%-x|=帆+6|,

由題意得|m+6歸7,則一74機+6<7,

解得一131,

故”的取值范圍是

19、(1)見解析(2)1

【解析】

7T

(1)選②Z?=2,(S)sinC=2sinB.可得c=2Z?=4,結合。?+寸="+機?，求得A=一.即可；若選①a=近，

3

TT

②6=2.由62+,2=儲+秘可得c=3由/+。2=/+歷，求得A=一.即可；若選①&=V7,③sinC=2sinB,

3

可得c=2b,又可得/,=叵，。=匹即可；

33

7T

(2)化簡cos8+cosC=sin(3+w)，根據(jù)角的范圍求最值即可.

6

【詳解】

(1)若選②匕=2,③sinC=2sinB.

?「sinC=2sinB,

.\c=2b=4,

b2+c2-a2+bc,

/72+C2-a21

cosA=--------------=—

2bc2

又Ae(O,;r),

,冗

A=一

3

AABC的面積S=—Z>csinA=—x2x4x旦=26

222

若選①a=?b=2.由Z?2+/=a2+hc可得c=3,

b2+c2=a1+be，

.??COSAJ'C-、！

2hc2

又AG(O,^-),

71

A.=—

3

.?.MBC的面積S=，0csinA=，x2x3x^=^l.

2222

若選①Q(mào)=V7,③sinC=2sin3

sinC=2sin8,

c=2b,

又〃2+d=a2+bc,

222

/.b+4b=7+2b9可得〃=c=2^^

33

1V212V21V37百

...AAJBC的面積S=gbcsinA

MBC=—X---------X------------X--------=-----------?

23326

⑵*

冗外]G

cosB+cosC=cosB+cos[zr-(8+—)]=cosB-cos(B+—)=cosB-—cosB+-y-sinB

=~cosB+—sinB=sin(B+—)

226

2

0<3<—719

3

乃八45萬

??一<B+—<—

366

TTjr

：■當8=一時，sin(8+—)=cosB+cosC有最大值1.

36

【點睛】

本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計算能力，屬于中檔題.

20、(1)12；(2)5=126+30

【解析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得cosZBAC=sinN5,結合正弦和角公式求得sinN3C4=sin(N84C+Nfi),即

n

可求得ZBC4=一，進而由三角函數(shù)

2

(2)設4。=%,。。=)，,根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得X)，的最大值，結合三角形面積公式可求得SM式的最大

值，即可求得四邊形ABC。面積的最大值.

【詳解】

(1)sinZBAC-cosZB=—,

13

則由同角三角函數(shù)關系式可得cosABAC=sinNB=

則sinZBCA=sin(ZBAC+ZB)

=sinZ.BAC-cosZ.B+cosZ.BAC-sinNB

551212,

=--X--+--X--=1,

13131313

7T

則N8C4=—，

2

所以AC=AB-sin8=13x"=12.

13

(2)設A￡)=x,OC=y,

在ADAC中由余弦定理可得AC2=DA2+DC2-2DA-DCcosNAOC,代入可得

144=x+y+孫，

由基本不等式Y+yZn2孫可知144-沖》2D，

即沖448,當且僅當x=y=46時取等號，

由三角形面積公式可得5AAoc=；DsinNAZ)C

<lx48x—=1273

22

SAACB=gxl2x5=30,

所以四邊形ABC。面積的最大值為5=1273+30.

【點睛】

本題考查了正弦和角公式化簡三角函數(shù)式的應用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應用，屬于中檔題.

21、(1)見解析(2)生晅

61

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質證得PE上AD,根據(jù)面面垂直的性質定理，證得PE_L底面ABCD,由此證得PELBC,

結合