【優(yōu)化方案】學(xué)高中數(shù)點直線平面之間的位置關(guān)系末綜合檢測(含解析)新人教A版必修

#/8【優(yōu)化方案】2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系章末綜合檢測（含解析）新人教A版必修2一、選擇題（本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.若直線q與平面a不垂直，那么平面a內(nèi)與直線q垂直的直線有（ ）A.0條 B.1條C.無數(shù)條 D.不確定解析：選C.平面a內(nèi)與q垂直的有無數(shù)條直線.2.如圖，anB=l,A￡a,B￡a,ABnl=D,CG0,Cql，則平面ABC與平面B的父線是（ ）A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC解析：選C.Del,luB，：DeB,又CeB，：CDuB；同理，CDu平面ABC,J平面ABCn平面B=CD.故選C..設(shè)m,n是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A,若m_Ln,m_La,nCa，則Un//a.若m_LB，a_LB，貝Um/a或muaC,若m_Ln,m_La,n_LB，則Ua_LBD.若m/a,a_LB，則m-LB解析：選D.對于選項D，當直線m位于平面B內(nèi)且與平面a、B的交線平行時，直線m||a，顯然m與平面B不垂直.因此選項D不正確..已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AC,BD的中點，若AB=2,CD=4,EFLAB，則EF與CD所成的角為（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：選A.取BC的中點G，則EG=1,FG=2,EF±EG，則EF與CD所成的角nEFG二30°,故選A.給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中為真命題的是（）A.①和② B.②和③C③和④ D.②和④解析：選D.①錯，只有一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個面平行時，才能得出這兩個面互相平行.③錯，比如a±a,bua,cua,顯然有a±b,a±c,但b與c也可能相交.故②④正確.設(shè)平面an平面B=l，點A,B￡a，點C￡B，且A,B,C均不在直線l上，給出四個命題：l±ACI② ｝今a，平面ABC；l±BCJa±a±B'AB±BC臺l，平面ABC；④AB〃l今l〃平面ABC.其中正確的命題是（）B.②與③DB.②與③D.②與④C.①與③解析：選D.：l±AC,l±BC,：.l，平面ABC,又lua，.二a，平面ABC，故②正確；「AB||l,A,B,C不在l上，AB匚平面ABC,.?.l||平面ABC，故④正確.故選D.下列做法可以使旗桿與水平地面垂直的是（）①過旗桿底部在地面上畫一條直線，使旗桿與該直線垂直；②過旗桿底部在地面上畫兩條直線，使這兩條直線垂直；③在旗桿頂部拴一條長大于旗桿高度的無彈性的細繩，拉緊在地面上找三點，使這三點到旗桿底部的距離相等.A.①② B.②③C只有③ D.只有②解析：選C.①②都不符合線面垂直的條件.對于③，如圖.PO為旗桿.PA、PB、PC為細繩，連接AB，取AB的中點M，由于PA=PB,OA=OB,^AB1PM,AB±OM,

\AB，平面PMO,^AB±PO.同理BC±PO.又「ABnBC=B，.二PO,底面.8．正四棱錐（頂點在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為12,底面對角線的長為2■■石，則側(cè)面與底面所成的二面角為（A2■■石，則側(cè)面與底面所成的二面角為（C．60）B．45D．90解析：選C.由棱錐體積公式可得底面邊長為2-；3，高為3，在底面正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tan）B．45D．909.若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為1,AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為（）A也A.3c’Q解析：選D.如圖所示，直線AB1與底面ABCD所成的角為nB1AB，而A1C1到底面ABCD在R8ABB1中，B在R8ABB1中，B1B=AB?tan60°=--；3.所以AA1=BB1=.,3.10.在四面體ABCD中—B的余弦值為（）.1A-2C.3已知棱AC的長為\；21b，3D.辛其余各棱長都為1,則二面角A—CD解析：選解析：選C.取AC的中點E，取CD的中點FEF=2,BE=々,BF=午，結(jié)合圖形EF於知二面角A-CD-B的余弦值cos0=BF=3^~.二、填空題（本大題共5小題,請把正確的答案填在題中的橫線上）.已知菱形ABCD中,AB=2,ZA=120°,沿對角線BD將^ABD折起使二面角A-BD-C為120°,則點A到^BCD所在平面的距離為解析：設(shè)ACnBD=O，則翻折后AO±BD,CO±BD,;nAOC即為二面角的平面角，則nAOC=120°,且AO=1,所以d=1Xsin60°二多.答案：也：2.如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，ABnCD=O,且AB±CD,SO=OB=2,P為SB的中點，則異面直線SA與PD所成角的正切值為解析：連接PO,則PO||SA,???NOPD即為異面直線SA與PD所成的角，且^OPD為直角三角形，nPOD為直角，?tanNOPD=OD="22二%’2.答案：血.若A、B、C表示三個不同的點，l表示一條直線，a表示一個平面，則在下列四個命題中：①若lua,C￡a，則C￡l；②若A￡l,B￡l，且B+a，則lQa；③若lua,C￡l,則C￡a；④若lQa,C￡l，則C+a.正確的命題有（把所有正確命題的序號都填上）.解析：①錯誤，直線l在平面a內(nèi)，不能得到在平面a內(nèi)的一點C一定在直線l上；②正確，若直線l上一點B不在平面a內(nèi)，則直線l不可能在平面a內(nèi)，否則，若直線l在平面a內(nèi)，可得點B也在平面a內(nèi)，與題意矛盾；③正確，直線l在平面a內(nèi)，C是直線l上一點，則點C必在平面a內(nèi)；④錯誤，直線l不在平面a內(nèi)，則直線l與平面a可能有一個公共點C或沒有公共點.答案：②③.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A—BD—C,有如下四個結(jié)論：①AC±BD；②^ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.有BD±AE,BD±CE.所以BD，平面ACE,所以BD±AC.命題②，設(shè)正方形的邊長為。,

2所以AE二EC二亍a,???△AEC為直角三角形，「AC=a,??.△ACD為等邊三角形.命題③，平面ABD，平面BCD，所以AE，平面BCD,所以“BE即為AB與平面BCD所成的角，4BE=45°,故該命題錯誤，命題④正確.答案：①②④15.在空間四邊形ABCD中，平面ABD，平面BCD,且DA，平面ABC,則△ABC的形狀是 ．解析：如圖，在△ABD內(nèi)，作AHlBD于H,:?平面ABD，平面BCD，且平面ABDn平面BCD=BD,「AH1平面BCD.又BCu平面BCD「.BC±AH.又「DA，平面ABC,BC匚平面ABC,「DA±BC,又AHnDA=A,「.BC，平面ABD，.二BC±AB,故^ABC是以nB為90°角的直角三角形.答案：直角三角形三、解答題（本大題共5小題,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C,中，F(xiàn),F分別是AC,A1C1的中點.求證：⑴平面AB1F1〃平面C1BF；(2)平面AB1FJ平面ACC1A1.證明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，VF,F1分別是AC,A1C1的中點，二.B1F1||BF,AF1||C1F.又「B1F1nAF1=F1,C1FnBF=F,???平面AB1F1||平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1c1中，AA/平面A1B1C1,二.B1F1±AA1,又B1F1±A1C1,A1C1nAA1=A1,??.B1F/平面ACC^A1,而B1F1u平面AB1F1,J平面AB1Fj平面ACC1A1..在所有棱長都相等的斜三棱柱ABC—DEF中，已知BF±AE,BFnCE=。，且AB=AE，連接AO.(1)求證：AO，平面BCFE.(2)求證：四邊形BCFE為正方形.證明：(1)因為BCFE是菱形，所以BF±EC,又BF^AE，所以BF1平面AEC,所以BF±AO.因為AE二AB=AC,OE=OC，所以AO±EC,又BFnEC二O,所以AO，平面BCFE.(2)因為AO，平面BCFE，所以AO±OE,AO±OB,又因為AE二AB，所以O(shè)E二OB,所以EC二BF,所以BCFE為正方形..底面是平行四邊形的四棱錐P—ABCD，點E在PD上，且PE:ED=2：1.問：在棱PC上是否存在一點F,使BF〃平面AEC?證明你的結(jié)論．解：如圖所示，連接BD交AC于點O，連接OE，過點B作OE的平行線交PD于點G,過點G作GF^CE交PC于點F，連接BF.二BGyOE,BG。平面AEC,OE匚平面AEC,J.BG||平面AEC.同理GF||平面AEC,又BGnGF二G,.??平面BFG||平面AEC,BF匚平面BFG.J.BF||平面AEC.下面求點F在PC上的具體位置：二BG^OE,O是BD的中點，J.E是GD的中點.又「PE:ED=2:1,JG是PE的中點.而GFyCE.JF為PC的中點.綜上可知，存在點F，當點F是PC的中點時，BF||平面AEC..如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點.現(xiàn)將△ABC沿CD折疊，使平面ADC，平面BDC,如圖2所示.

⑴試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求四面體A—DBC的外接球體積與四棱錐D—ABFE的體積之比.解：(1)AB||平面DEF，理由如下：VE、F分別為AC、BC的中點，^AB||EF,?.?AB。平面DEF,EFu平面DEF,\AB||平面DEF.則四面體A-DBC的外接球即為長方體的外(2)以DA則四面體A-DBC的外接球即為長方體的外設(shè)球的半徑為R，則a2+a2+3a2=(2R)25二.R2=4a2,于是球的體積匕=4nR3=5^5na3.i 1 3又kBDC=3§△BDC-AD=6a3，，_20%'T5nVD－ABFEVA－BDC－VE－DFC.已知一四棱錐P—ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動點.⑴求四棱錐P—ABCD的體積；，(2)若點E為PC的中點，ACnBD=0,求證EO〃平面PAD；⑶是否不論點E在何位置，都有BD±AE?證明你的結(jié)論.，該四棱錐P-該四棱錐P-ABCD的底