第四講趨勢(shì)外推法

第四講趨勢(shì)外推法趨勢(shì)外推法的兩個(gè)假定：（1）社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過(guò)程是漸進(jìn)的,沒(méi)有跳躍式突變；（2）社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來(lái)與過(guò)去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。

二、趨勢(shì)模型的種類(lèi)多項(xiàng)式曲線(xiàn)外推模型：一次（線(xiàn)性）預(yù)測(cè)模型：二次（二次拋物線(xiàn)）預(yù)測(cè)模型：三次（三次拋物線(xiàn)）預(yù)測(cè)模型：一般形式：指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：一般形式：

修正的指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：對(duì)數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：生長(zhǎng)曲線(xiàn)趨勢(shì)外推法：皮爾曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：龔珀茲曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：

三、趨勢(shì)模型的選擇方法經(jīng)驗(yàn)法:數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)分析結(jié)合,選定模型圖形識(shí)別法：

這種方法是通過(guò)繪制散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)行的，即將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時(shí)間t為橫軸，時(shí)序觀(guān)察值為縱軸的圖形，觀(guān)察并將其變化曲線(xiàn)與各類(lèi)函數(shù)曲線(xiàn)模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型。有時(shí)所繪圖形與幾種數(shù)學(xué)模型的曲線(xiàn)相近,可試算,計(jì)算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。差分法：

利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類(lèi)。一階、二階、k階差分

廣義差分法就是先計(jì)算時(shí)間序列的廣義差分(時(shí)間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分,以及相鄰項(xiàng)的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時(shí)間序列差分的特點(diǎn),選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線(xiàn)性模型二階差分相等或大致相等二次線(xiàn)性模型三階差分相等或大致相等三次線(xiàn)性模型環(huán)比相等或大致相等指數(shù)曲線(xiàn)模型一階差分比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線(xiàn)模型

多項(xiàng)式趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型及應(yīng)用

特別:直線(xiàn)(一元時(shí)間回歸)模型參數(shù)估計(jì)的簡(jiǎn)捷算法

套用參數(shù)估計(jì)公式,注意到,yt一般都是等間隔的時(shí)期或時(shí)點(diǎn)指標(biāo)值,它與時(shí)間t并無(wú)嚴(yán)格的因果關(guān)系。時(shí)間t的取值只起到一種標(biāo)明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個(gè)取值以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng),從而有化簡(jiǎn)公式為

例1:某市最近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如下表所列,試預(yù)測(cè)1999年該市的工業(yè)總產(chǎn)值。年份199019911992199319941995199619971998t值-4-3-2-101234工業(yè)總產(chǎn)值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差分_0.60.50.70.60.80.60.80.8解:若畫(huà)出散點(diǎn)圖,看出,時(shí)間序列呈明顯的線(xiàn)性趨勢(shì)。計(jì)算一階差分,基本上接近一個(gè)常數(shù),其波動(dòng)范圍在0.5～0.8之間。因此,可配一元線(xiàn)性時(shí)間回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用如上公式,易得回歸模型為1999年對(duì)應(yīng)的t=5預(yù)測(cè)該年的工業(yè)總產(chǎn)值

指數(shù)曲線(xiàn)趨勢(shì)外推法

一、常見(jiàn)的指數(shù)曲線(xiàn)模型指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型：修正指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型:

二、模型的選擇

廣義差分法

對(duì)于指數(shù)曲線(xiàn),一階差比率(也稱(chēng)環(huán)比)為常數(shù)

對(duì)修正的指數(shù)曲線(xiàn),一階差分比率

當(dāng)時(shí)間序列算得的一階差分比率大致相等時(shí),就可以配修正指數(shù)曲線(xiàn)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。指數(shù)曲線(xiàn)模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用對(duì)指數(shù)曲線(xiàn)模型取對(duì)數(shù),作變換,轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)模型。為計(jì)算方便,仍然約定于是例2:某自行車(chē)廠(chǎng)最近幾年產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表所列,試預(yù)測(cè)該廠(chǎng)1999年的產(chǎn)量。指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型:預(yù)測(cè)1999年的產(chǎn)量年份199319941995199619971998t值-5-3-1135產(chǎn)量yt(萬(wàn)輛)8.710.613.316.520.626.0環(huán)比_1.21.31.21.21.3

曲線(xiàn)的擬合優(yōu)度分析實(shí)際的預(yù)測(cè)對(duì)象往往無(wú)法通過(guò)圖形直觀(guān)確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時(shí)，一般先初選幾個(gè)模型，待對(duì)模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。評(píng)判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)作為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：例3:下表是我國(guó)1952年到1983年社會(huì)商品零售總額(按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國(guó)社會(huì)商品零售總額。年份時(shí)序（t）總額（yt

）年份時(shí)序（t）總額（

yt

）年份時(shí)序（t）總額（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7（1）對(duì)數(shù)據(jù)畫(huà)折線(xiàn)圖分析，以社會(huì)商品零售總額為

y軸，年份為x軸。（2）從圖形可以看出大致的曲線(xiàn)增長(zhǎng)模式，較符合的模型有二次曲線(xiàn)和指數(shù)曲線(xiàn)模型。但無(wú)法確定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲線(xiàn)，則我們將分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。

適用的二次曲線(xiàn)模型為：

適用的指數(shù)曲線(xiàn)模型為：（3）進(jìn)行二次曲線(xiàn)擬合。首先產(chǎn)生序列，得到估計(jì)模型為：其中調(diào)整的，，則方程通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。

(4)進(jìn)行指數(shù)曲線(xiàn)模型擬合。對(duì)模型兩邊取對(duì)數(shù)：產(chǎn)生序列，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型,最終得到估計(jì)模型為：

其中調(diào)整的，，則方程通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過(guò)以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線(xiàn)模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程：進(jìn)行預(yù)測(cè)將會(huì)取得較好的效果。修正指數(shù)曲線(xiàn)模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用對(duì)于修正指數(shù)曲線(xiàn)模型一般0<B<1,y=K為其漸進(jìn)線(xiàn)水平。用三段總和法來(lái)估計(jì)參數(shù),設(shè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計(jì)式為修正指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型

1）模型的形式

2）模型的識(shí)別例4我國(guó)衛(wèi)生機(jī)構(gòu)人員總數(shù)如表4.13所示，試預(yù)測(cè)2003年我國(guó)衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)。解:繪制散點(diǎn)圖，如圖4.13所示。得:

所以我國(guó)衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)修正指數(shù)曲線(xiàn)模型為:

將代入模型,得到2003年我國(guó)衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)的預(yù)測(cè)值:例5:某商品1991年投放市場(chǎng)以來(lái),社會(huì)總需求量統(tǒng)計(jì)資料如下表所列,試預(yù)測(cè)2000年的社會(huì)總需求量。解:描散點(diǎn)圖,初步確定模型;計(jì)算一階差分比率,進(jìn)一步驗(yàn)證選用修正指數(shù)曲線(xiàn)模型是否合適;估計(jì)模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型:預(yù)測(cè)2000年的社會(huì)總需求量:年份199119921993199419951996199719981999總需求量50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一階差分_1081.61.50.60.60.50.4一階差分比率__0.80.20.940.41.00.830.8此例反映了這樣的時(shí)間序列變化規(guī)律:初期迅速增加,一段時(shí)期后增長(zhǎng)量逐漸降低,而逐增長(zhǎng)量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì)就適宜用修正指數(shù)曲線(xiàn)來(lái)描述和預(yù)測(cè)。生長(zhǎng)曲線(xiàn)趨勢(shì)外推法一般產(chǎn)品(或技術(shù))的發(fā)展,基本上都要經(jīng)歷一個(gè)萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過(guò)程。這里介紹兩種能夠較好地描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型S型生長(zhǎng)曲線(xiàn)模型:皮爾曲線(xiàn)和龔珀茲曲線(xiàn)模型。一、皮爾曲線(xiàn)模型及其應(yīng)用皮爾(Pearl)是美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家,提出了著名的S型生長(zhǎng)曲線(xiàn)模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。皮爾曲線(xiàn)適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè);尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)。

模型的識(shí)別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用:令則有于是,可套用修正指數(shù)曲線(xiàn)的估計(jì)參數(shù)公式。注意,L是生長(zhǎng)曲線(xiàn)的上限,有時(shí)通過(guò)定性分析或?qū)＜易稍?xún)所定的L值往往比由公式計(jì)算得到的L值更接近實(shí)際,預(yù)測(cè)效果更好。

例6:吉林省1966～1983年年度人口數(shù)如下表所列,試預(yù)測(cè)該省1984年以后年度人口數(shù)。年份t值人口年份t值人口年份t值人口196601679.3197261962.71978122149.3196711722.1197372007.91979132184.6196821766.3197482034.51980142210.7196931808.2197592063.91981152230.9197041860.41976102092.61982162257.6197151915.21977112117.91983172269.5解:人口的數(shù)量變動(dòng)一般符合皮爾曲線(xiàn)所反映的規(guī)律。通過(guò)計(jì)算時(shí)間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線(xiàn)趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為:通過(guò)計(jì)算回溯擬合值與觀(guān)察擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對(duì)1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當(dāng)好。但是1988年以后,預(yù)測(cè)誤差越來(lái)越大。通過(guò)調(diào)整吉林省2010年人口的上限值L,重新計(jì)算模型中相應(yīng)的參數(shù)a,修正皮爾曲線(xiàn)模型。對(duì)照模型調(diào)整后的人口預(yù)測(cè)值與實(shí)際值,計(jì)算預(yù)測(cè)誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開(kāi)始,修正模型的預(yù)測(cè)效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢(shì)宜用兩個(gè)皮爾曲線(xiàn)模型刻畫(huà),分時(shí)間段使用。二、龔珀茲曲線(xiàn)預(yù)測(cè)模型及應(yīng)用龔珀茲曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:其中參數(shù):0<a<1,0<b<1,L>0與皮爾曲線(xiàn)類(lèi)似,龔珀茲曲線(xiàn)也適于對(duì)產(chǎn)品或技術(shù)作生命周期分析,尤其適于對(duì)各種新技術(shù)或產(chǎn)品市場(chǎng)容量的發(fā)展趨勢(shì)作分析與預(yù)測(cè)。模型的識(shí)別:所以,當(dāng)算得的時(shí)間序列各項(xiàng)對(duì)數(shù)的一階差分比率幾近相等時(shí),就可配以龔珀茲曲線(xiàn)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型的參數(shù)與應(yīng)用:經(jīng)變換,可化為修正指數(shù)曲線(xiàn)。龔珀茲(C