高中數(shù)學(xué)《條件概率及全概率》考點(diǎn)講解與專題訓(xùn)練

《7.1條件概率及全概率》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見考點(diǎn)】考法一條件概率【例1】（1）把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“兩次所得點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，為“至少有一次點(diǎn)數(shù)是5”，則等于（）B．C．D．（2）袋中有5個(gè)球（3個(gè)白球，2個(gè)黑球）現(xiàn)每次取一球，無放回抽取2次，則在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10【一隅三反】1．一個(gè)盒子中裝有個(gè)完全相同的小球，將它們進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)小球，將其編號(hào)之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A．B．C．D．2．盒中有10個(gè)零件，其中8個(gè)是合格品，2個(gè)是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1個(gè)．已知第一次抽出的是合格品，則第二次抽出的是合格品的概率是（）A．B．C．D．3．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢這三個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“恰有2名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則（）A．B．C．D．4．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（）A．B．C．D．考法二全概率公式【例2】．設(shè)患肺結(jié)核病的患者通過胸透被診斷出的概率為0.95，而未患肺結(jié)核病的人通過胸透被誤診為有病的概率為0.002，已知某城市居民患肺結(jié)核的概率為0.1%.若從該城市居民中隨機(jī)地選出一人，通過胸透被診斷為肺結(jié)核，求這個(gè)人確實(shí)患有肺結(jié)核的概率.【一隅三反】1．根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即，試求.答案解析考法一條件概率【例1】（1）把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件為“兩次所得點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，為“至少有一次點(diǎn)數(shù)是5”，則等于（）A．B．C．D．（2）袋中有5個(gè)球（3個(gè)白球，2個(gè)黑球）現(xiàn)每次取一球，無放回抽取2次，則在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）A．3/5B．3/4C．1/2D．3/10【答案】（1）B（2）C【解析】（1）事件為“兩次所得點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，則事件為，，，，，，，，，故；為“至少有一次點(diǎn)數(shù)是5”，則事件為，，，，，，所以.故選：B.（2）記事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到白球”，則事件AB為“兩次都取到白球”，依題意知，，所以，在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是．故選：C.【一隅三反】1．一個(gè)盒子中裝有個(gè)完全相同的小球，將它們進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼分別為、、、、、，從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)小球，將其編號(hào)之和記為.在已知為偶數(shù)的情況下，能被整除的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】記“能被整除”為事件，“為偶數(shù)”為事件，事件包括的基本事件有，，，，，共6個(gè).事件包括的基本事件有、共2個(gè).則，故選:B.2．盒中有10個(gè)零件，其中8個(gè)是合格品，2個(gè)是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1個(gè)．已知第一次抽出的是合格品，則第二次抽出的是合格品的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)第一次抽到的是合格品，設(shè)為事件，第二次抽到的是合格品，設(shè)為事件，則.故選：C3．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢這三個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“恰有2名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】事件AB為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目恰有2名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目相同且只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”.,所以故選：A4．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為，選C考法二全概率公式【例2】．設(shè)患肺結(jié)核病的患者通過胸透被診斷出的概率為0.95，而未患肺結(jié)核病的人通過胸透被誤診為有病的概率為0.002，已知某城市居民患肺結(jié)核的概率為0.1%.若從該城市居民中隨機(jī)地選出一人，通過胸透被診斷為肺結(jié)核，求這個(gè)人確實(shí)患有肺結(jié)核的概率.【答案】【解析】設(shè)表示“被診斷為肺結(jié)核”，表示“患有肺結(jié)核”.由題意得，，.由貝葉斯公式知，.【一隅三反】1．根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即，試求.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以由全概率公式可得，因?yàn)樗?《7.1條件概率及全概率》考點(diǎn)訓(xùn)練【題組一條件概率】1．一個(gè)醫(yī)療小隊(duì)有3名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，從中抽出兩個(gè)人參加一次醫(yī)療座談會(huì)，則已知在一名醫(yī)生是男醫(yī)生的條件下，另一名醫(yī)生也是男醫(yī)生的概率是______2．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為_____.3．小趙?小錢?小孫?小李到個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則________.4．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶，若取的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為____________.5．北京某大學(xué)學(xué)生會(huì)自發(fā)從學(xué)生會(huì)6名男生和8名女生骨干成員中選出2人作為隊(duì)長(zhǎng)率領(lǐng)他們加入武漢社區(qū)服務(wù)隊(duì)，用表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)性別相同”，表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)都是男生”，則______.6.夏?秋兩季，生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚洄游到長(zhǎng)江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長(zhǎng)到厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海.一個(gè)環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為，雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為，若該批魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為_________.7.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為______.8．從標(biāo)有，，，，的五張卡中，依次抽出張（取后不放回），則在第一次抽到偶數(shù)的情況下，第二次抽到奇數(shù)的概率為________；9．某班有名班干部，其中男生人，女生人，任選人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)．（1）求男生甲或女生乙被選中的概率；（2）設(shè)“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，求和．10．某單位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，記為，女青年志愿者3人，記為.現(xiàn)從這8人中選4人參加某項(xiàng)公益活動(dòng).（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被選中的概率；（2）在男青年志愿者被選中的情況下，求女青年志愿者也被選中的概率.11．田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國(guó)的大將田忌很喜歡賽馬，有一回，他和齊威王約定，要進(jìn)行一場(chǎng)比賽.雙方各自有三匹馬，馬都可以分為上，中，下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng)，中等馬都比下等馬強(qiáng)，但是齊威王每個(gè)等級(jí)的馬都比田忌相應(yīng)等級(jí)的馬強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方分別各派一匹馬出場(chǎng)，且每匹馬只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序.（1）求在第一局比賽中田忌勝利的概率：（2）若第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬，求本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率；（3）寫出在一場(chǎng)比賽中田忌勝利的概率（直接寫出結(jié)果）.12．已知一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)白球和8個(gè)紅球，球除顏色外完全相同.（1）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，求其抽取到白球的概率；（2）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)不放回連續(xù)抽取球兩次，每次抽取一個(gè)球，求在第一次抽取出白球的條件下第二次抽取出的也是白球的概率.【題組二全概率公式】1．將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.2．袋中有10個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個(gè)，白球7個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率.答案解析【題組一條件概率】1．）一個(gè)醫(yī)療小隊(duì)有3名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，從中抽出兩個(gè)人參加一次醫(yī)療座談會(huì)，則已知在一名醫(yī)生是男醫(yī)生的條件下，另一名醫(yī)生也是男醫(yī)生的概率是______【答案】【解析】若A為一位醫(yī)生是男醫(yī)生，B為另一位醫(yī)生也是男醫(yī)生，∴，而，∴，故答案為：2．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為_____.【答案】0.75【解析】記使用壽命超過年為事件，超過年為事件，，故答案為：0.75.3．小趙?小錢?小孫?小李到個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則________.【答案】【解析】小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有種情況，即，個(gè)人去的景點(diǎn)不同的情況有種，即，所以.故答案為：.4．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶，若取的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為____________.【答案】【解析】設(shè)事件為“一瓶是藍(lán)色”，事件為“另一瓶是紅色”，事件為“另一瓶是黑色”，事件為“另一瓶是紅色或黑色”，則，且與互斥，又，，，故.故答案為：.5．北京某大學(xué)學(xué)生會(huì)自發(fā)從學(xué)生會(huì)6名男生和8名女生骨干成員中選出2人作為隊(duì)長(zhǎng)率領(lǐng)他們加入武漢社區(qū)服務(wù)隊(duì)，用表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)性別相同”，表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)都是男生”，則______.【答案】【解析】由已知得，，則.故答案為：6.夏?秋兩季，生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚洄游到長(zhǎng)江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長(zhǎng)到厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海.一個(gè)環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為，雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為，若該批魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為_________.【答案】【解析】解析設(shè)事件為魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域長(zhǎng)成熟，事件為該雌性個(gè)體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知，，.故答案為：.7.口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為______.【答案】【解析】口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回的逐一取球，，，.故答案為：.8．從標(biāo)有，，，，的五張卡中，依次抽出張（取后不放回），則在第一次抽到偶數(shù)的情況下，第二次抽到奇數(shù)的概率為________；【答案】【解析】由題意，從標(biāo)有，，，，的五張卡中，依次抽出張，第一次抽到偶數(shù)所包含的基本事件有，，，，，，，；共個(gè)基本事件；第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù)，所包含的基本事件有，，，，，；共個(gè)基本事件，因此在第一次抽到偶數(shù)的情況下，第二次抽到奇數(shù)的概率為.故答案為：.9．某班有名班干部，其中男生人，女生人，任選人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)．（1）求男生甲或女生乙被選中的概率；（2）設(shè)“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，求和．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）某班從名班干部(男生人、女生人)中任選人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)，總的選法有種，男生甲或女生乙都沒有被選中的選法：則男生甲或女生乙被選中的選法有種，∴男生甲或女生乙被選中的概率為；（2）總的選法有種，男生甲被選中的選法有種，∴，男生甲被選中、女生乙也被選中選法有種，∴，∴在男生甲被選中的前提下，女生乙也被選中的概率為．10．某單位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，記為，女青年志愿者3人，記為.現(xiàn)從這8人中選4人參加某項(xiàng)公益活動(dòng).（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被選中的概率；（2）在男青年志愿者被選中的情況下，求女青年志愿者也被選中的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)“男青年志愿者和女青年志愿者都不被選中”為事件，則，所以所求概率為.（2）記“男青年志愿者被選中”為事件，“女青年志愿者被選中”為事件，則，所以.所以在男青年志愿者被選中的情況下，女青年志愿者也被選中的概率為.11．（田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國(guó)的大將田忌很喜歡賽馬，有一回，他和齊威王約定，要進(jìn)行一場(chǎng)比賽.雙方各自有三匹馬，馬都可以分為上，中，下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng)，中等馬都比下等馬強(qiáng)，但是齊威王每個(gè)等級(jí)的馬都比田忌相應(yīng)等級(jí)的馬強(qiáng)一些，比賽共三局，每局雙方分別各派一匹馬出場(chǎng)，且每匹馬只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利，在比賽之前，雙方都不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序.（1）求在第一局比賽中田忌勝利的概率：（2）若第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬，求本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率；（3）寫出在一場(chǎng)比賽中田忌勝利的概率（直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】將田忌的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，齊威王的三匹馬按照上、中、下三等分別記為、、，并且用馬的記號(hào)表示該馬上場(chǎng)比賽.（1）設(shè)事件“第一局雙方參賽的馬匹”，事件“在第一局比賽中田忌勝利”，由題意得，，則在第一局比賽中田忌勝利的概率是.（2）設(shè)事件“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”，事件“田忌獲得本場(chǎng)比賽勝利”，由題意得，，則本場(chǎng)比賽田忌勝利的概率是.（3）.12．已知一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)白球和8個(gè)紅球，球除顏色外完全相同.（1）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，求其抽取到白球的概率；（2）若一個(gè)人從口袋中隨機(jī)不放回連續(xù)抽取球兩次，每次抽取一個(gè)球，求在第一次抽取出白球的條件下第二次抽取出的也是白球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）從口袋中隨機(jī)抽取一