專題1-10 數列放縮通項證明不等式與數列不等式恒成立問題（原卷版）

專題110數列放縮拆分練習與數列不等式恒成立問題TOC\o"13"\n\h\z\u題型一求和后放縮題型二放縮通項再裂項相消求和題型三放縮成等比數列題型四根式的放縮題型五跳過第一項再放縮求和題型六利用重要不等式放縮題型七通過糖水不等式進行放縮題型八放縮后錯位相減求和題型九數列恒成立問題數列通項放縮問題是放縮問題的?？碱愋?，相較于求和之后再比較大小的題型而言，這一部分對放縮對象的處理需要一定的技巧，因而對很多學生來說具有挑戰(zhàn)性，是數列放縮中的難點.此節(jié)中，我將分為如下幾個點展開：第一，將通項放縮為可裂項的結構，然后裂項求和；第二，將通項放縮為等比結構（等差比結構）然后錯位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮成可求和再求和放縮.當然，下面的這些常見的裂項公式與放縮公式需要注意.1．常見的裂項公式：必須記例如：或者等2.一個重要的指數恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個等比數列.3.糖水不等式分子分母同加常數：常見放縮公式：（太多了，不一定要全部記，自行選擇）一、等差型（1）；（2）；（3）；（4）；二、根式型（5）；（7）；（8）；（9）；三、指數型（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一求和后放縮已知，設，為數列的前項和.證明：已知為，證明：．已知，設，記，證明：.已知數列中，，，數列滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，證明.題型二放縮通項再裂項相消求和已知，若數列的前n項和為，求證：.已知數列前n項積為，且，設，求證：．設求證：已知，設，數列的前項和為，求證：已知，記，，．證明：當時，．已知，若，為的前n項和，證明：．已知數列，設，求證：已知，的前項和為，，，數列的前項和為，證明：.【詳解】，則，.，則.∴.∴題型三放縮成等比數列（2014全國2卷）已知，證明：.已知，證明：已知，記，求證：．【解析】當時，；當時，，所以．記，證明：．已知，數列，證明：.已知數列，，求證：對任意的且，有已知，求證：對任意的，．題型四根式的放縮的整數部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．62023屆·廣東省綜合素質測試（光大聯(lián)考）已知正項數列的前n項和為，且滿足.(1)證明：數列是等差數列；(2)設數列的前n項和為，證明：已知數列的前項和，設數列的前項和，且滿足，求證：（2021浙江卷）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．題型五跳過第一項再放縮求和已知，設數列，證明：．已知數列滿足且，求證：．已知，若，數列的前n項和為，證明：.已知，證明：．題型六利用重要不等式放縮設求證題型七通過糖水不等式進行放縮求證題型八放縮后錯位相減求和2024屆·廣州·仲元中學?？家阎枪顬?的等差數列，其前8項和為是公比大于0的等比數列，，(1)求和的通項公式：(2)記，證明：題型九數列恒成立問題已知等差數列的前n項和記為（），滿足,數列為單調遞減數列，求的取值范圍.已知數列滿足：，.設，若對于任意的，恒成立，則實數的取值范圍為已知數列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實數λ的最大值為.數列滿足，若對任意，所有的正整數n都有成立，則實數k的取值范圍是.已知，若對于任意恒成立，則實數的取值范圍是．設是數列的前項和，，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．已知數列的前n項和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對于任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為