新課程理念下的數(shù)學思維訓練

新課程理念下的數(shù)學思維訓練武漢市第一初級中學閔耀明中學數(shù)學思維品質(zhì)概述思維品質(zhì)是思維發(fā)生和發(fā)展中所表現(xiàn)出來的個性差異．1.1數(shù)學思維的靈活性思維的靈活性指的是不過多地受思維定勢的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中解脫出來，及時轉(zhuǎn)向，迅速找到解決問題的途徑．例1（2009年上海市中考題）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M為邊BC上的點，連接AM（如圖所示）．如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，那么點M到AC的距離是．A圖A圖2BMCNPA圖1BMC解法1：設經(jīng)翻折后點B落在AC的P處，連接MP，∵點P是AC的中點，∴AP＝PC，過M作MN⊥AC于點N，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC＝45°，∴AN＝MN，設AN＝MN＝x，∵AB＝AP，∴AC＝2AP＝2AB＝6，CN＝AC－AN＝6－x，∵△CNM∽△CBA，∴eq\f(CN,CA)＝eq\f(NM,AB)，即eq\f(6－x,6)＝eq\f(x,3)，解得x＝2．解法2：∵點P是AC的中點，∴△AMP的面積等于△ABC的面積的eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)AP×MN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×6＝3，∴MN＝2．解法2比解法1簡捷得多，而這種解法需要思維的靈活性支撐．1.2數(shù)學思維的批判性數(shù)學思維的批判性指的是對已有的數(shù)學表述和論證能提出自己的見解，能獨立思考，不盲從，不輕信．例2一個概率問題的爭議1.3數(shù)學思維的嚴謹性數(shù)學思維的嚴謹性指的是思考問題符合邏輯，嚴密，準確，數(shù)學運算精確無誤．例3(2009年濟南市中考題)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4eq\r(2)，∠B＝45°．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t秒．（1）求BC的長．（2）當MN∥AB時，求t的值．（3）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．AADCBMN（圖3）解：（1）如圖①，過A，D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形，∴KH＝AD＝3，在Rt△ABK中，AK＝AB·sin45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4，BK＝AB·cos45°＝4eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)＝4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC＝eq\r(52－42)＝3．∴BC＝BK＋KH＋HC＝10．（圖（圖①）ADCBKH（圖②）ADCBGMN（第23題圖⑤（第23題圖⑤）ADCBHNMFADCBMN（第23題圖③）（第23題圖④）ADCBMNHE（2）如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG＝AD＝3．∴GC＝10－3＝7．由題意知，當M，N運動到t秒時，CN＝t，CM＝10－2t．∵MN∥DG，∴∠NMC＝∠DGC．又∠C＝∠C，∴△MNC∽△GDC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CM,CG)．即eq\f(t,5)＝eq\f(10－2t,7)．解得，t＝eq\f(50,17)．（3）分三種情況討論：①當NC＝MC時，如圖③，即t＝10－2t．∴t＝eq\f(10,3)；②當MN＝NC時，如圖④，過N作NE⊥MC于E.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠NEC＝90°，∴△NEC∽△DHC．∴eq\f(CN,CD)＝eq\f(CE,CH)．即eq\f(t,5)＝eq\f(5－t,3)．解得，t＝eq\f(25,8)；③當MN＝MC時，如圖⑤，過M作MF⊥CN于F點.FC＝eq\f(1,2)NC＝eq\f(1,2)t.∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠MFC＝90°，∴△MFC∽△DHC．∴eq\f(FC,HC)＝eq\f(MC,DC)．即eq\f(\f(1,2)t,3)＝eq\f(10－2t,5)．解得，t＝eq\f(60,17)．綜上所述，當t＝eq\f(10,3)、t＝eq\f(25,8)或t＝eq\f(60,17)時，△MNC為等腰三角形．1.4數(shù)學思維的廣闊性數(shù)學思維的廣闊性指的是對一個問題能從多方面考慮，對一個對象能用多種角度觀察，對一個題目能想出各種不同的解法，即通常所說的“一題多解”．一題多解的目的當然是為了尋找一種最簡捷的解題方法，而最簡捷的解法的獲得只能來自盡可能廣泛深入的思考和選擇．例4(2009年寧德市中考題)如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．（1）求P點坐標及a的值；（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．yxyxAOBPM圖1C1C2C3圖（1）yxAOBPN圖2C1C4QEF圖（2）解：（1）由拋物線C1：得頂點P的為（-2，-5）．∵點B（1，0）在拋物線C1上，∴．解得，a＝EQ\F(5,9)．（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G．∵點P、M關于點B成中心對稱，∴PM過點B，且PB＝MB．∴△PBH≌△MBG．∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3．∴頂點M的坐標為（4，5）．拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到．∴拋物線C3的表達式為．yyxAOBPM圖(1)C1C2C3HGyxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGKyxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK∴頂點N、P關于點Q成中心對稱．由（2）得點N的縱坐標為5．設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K．∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，∴EF＝AB＝2BH＝6．∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5）．根據(jù)勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4mPF2＝PH2+HF2＝m2+10mNF2＝52+32＝34①當∠PNF＝90o時，PN2+NF2＝PF2，解得m＝EQ\F(44,3)，∴Q點坐標為（EQ\F(19,3)，0）②當∠PFN＝90o時，PF2+NF2＝PN2，解得m＝EQ\F(10,3)，∴Q點坐標為（EQ\F(2,3)，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o綜上所得，當Q點坐標為（EQ\F(19,3)，0）或（EQ\F(2,3)，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．2中學數(shù)學思維品質(zhì)的訓練2.1給學生探究的空間，課堂上放手讓學生探究，教師扮演引領者的角色．給學生提供有探究價值的材料，使學生在自主探究中優(yōu)化思維品質(zhì)．例5教參上一個錯題的兩種不同處理例6一節(jié)公開課上的發(fā)現(xiàn)例7一個頗富探究價值的老問題．2.2變式教學是訓練學生思維品質(zhì)的有效教學模式在新課程改革推動的同時，中國的雙基教學的研究受到學者們的重視，“數(shù)學雙基教學的理論框架逐漸清晰起來”[1]．“中國的數(shù)學教學，重視‘變式練習’，在變化中求得重復，在重復中獲取變化．中國的研究，有概念變式、過程變式、問題變式等多種方式，這些理應成為雙基數(shù)學教學的有機組成部分”[1]．“變式教學泛指知識形成過程中的問題設計、基本概念辨析型變式、定理、公式的深化變式、變式應用；例題、習題的一題多解、一法多用、一題多變、多題歸一；教學方法的靈活多變等”[2]．例8一個存在性問題的變式研究2.3解題教學既要講通解題方法，又要展現(xiàn)方法的探究過程，如有可能，還應加以升華，將問題想更廣闊或更深刻的方向拓展．例9一組題目的講法示范1.△ABC所在平面上的點P，使得△ABP，△BCP和△ACP的面積相等．這樣的點P的個數(shù)是（）A．8B．4C．32.已知正整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且ab＋bc＋ca＝abc．求所有符合條件的a，b，c．拓展：用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點拼在一起，剛好能完全鋪滿地面．設正多邊形的邊數(shù)為x，y，z．則eq\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)的值為．3.直角坐標系內(nèi)有點P(﹣1，﹣2)，Q(4，2)