奧數(shù)2講二次根式的化簡(jiǎn)與求值

第2講二次根式的化簡(jiǎn)與求值【考點(diǎn)研讀備考指導(dǎo)】1.會(huì)靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；2.會(huì)進(jìn)行二次根式的有理化計(jì)算，會(huì)整體帶入求值及變形求值；3.會(huì)化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式,會(huì)在根式范圍類(lèi)分解因式?！菊骖}透視歸類(lèi)剖析】例1.(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題)，那么的值等于．【解法指導(dǎo)】平方或利用分式性質(zhì)，把條件變形為x2+1=2x。再利用整體代入法降次。解∶兩邊平方得，+2=4，=2，兩邊同乘以x得，x2+1=2x,∴x2+3x+1=5x,x2+9x+1=11x.∴原式==EQ\F(\r(,5),5)－EQ\F(\r(,11),11)?！咀兪筋}組】1．假設(shè)(0<a<1)，那么=．2.．設(shè)，那么的值為()A．B．C．D．不能確定例2(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)滿足等式的正整數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解法指導(dǎo)】對(duì)條件等式作類(lèi)似于因式分解的變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．解:可化為〔+〕－〔+〕+〔－〕=0,∴〔－〕〔++〕=0，∵++＞0.∴－=0，那么xy=2003,且2003是質(zhì)數(shù)，∴正整數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)有2對(duì)。應(yīng)選B.【變式題組】3.假設(shè)>0，b>0，且，求的值．例3(四川省中考題)：(0<<1)，求代數(shù)式的值．【解法指導(dǎo)】視為整體，把平方，移項(xiàng)用含a代數(shù)式表示，注意0<a<1的制約．解∶平方得，x=+2,∴x-2=.x2－4x＋4=2＋EQ\F(1,a2)＋2,x2－4x=2＋EQ\F(1,a2)－2,∴化簡(jiǎn)原式=【變式題組】4.(武漢市中考題)，那么的值．5.(五羊杯競(jìng)賽),,且.那么的值等于().A.－5;B.5;C.－9;D.9.例4〔2007全國(guó)競(jìng)賽〕如圖,點(diǎn)A，C都在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D都在軸上，且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【解法指導(dǎo)】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．設(shè)OE＝a，BF＝b，那么AE＝，CF＝，所以，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)為〔，〕，〔2＋b，〕，所以解得因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔，0〕．【變式題組】6.〔09邵陽(yáng)〕閱讀以下材料，然后答復(fù)以下問(wèn)題。在進(jìn)行二次根式去處時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝；〔一〕＝〔二〕＝＝〔三〕以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化。還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝〔四〕〔1〕請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)：參照〔三〕式得＝______________________________________________；參照〔四〕式得＝_______________________________________________?！?〕化簡(jiǎn)：＝_______________________________________________。例5。(“五羊杯〞競(jìng)賽題)設(shè)、b、c、d為正實(shí)數(shù)，<b，c<d，bc>d，有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，求此三角形的面積；【解法指導(dǎo)】顯然不能用面積公式求三角形面積(為什么?)，的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形人手，將復(fù)雜的根式計(jì)算轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決；【變式題組】7.(北京市競(jìng)賽題)，b均為正數(shù)，且+b=2，求U=的最小值．【演練穩(wěn)固反應(yīng)提高】1．，，那么代數(shù)式值為．2．設(shè)，那么〔〕A.24.B.25.C..D..3．(天津市選拔賽試題)計(jì)算=．4．(北京市競(jìng)賽題)假設(shè)有理數(shù)x、y、z滿足，那么=．5.(北京市競(jìng)賽題)正數(shù)m、n滿足，那么=6．(河南省競(jìng)賽題)假設(shè)，那么的值是()A．2B．4C．6D．87．實(shí)數(shù)a滿足，那么的值是()A．1999B．2000C．2001D．20028．設(shè)，,，那么、b、c之間的大小關(guān)系是()A．<b<cB．c<b<C．c<<bD．<c<b9．，化簡(jiǎn)．【培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)】1．(“信利杯〞全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)，那么=．2．，那么=．3．(江蘇省競(jìng)賽題)，那么=．4..〔05全國(guó)聯(lián)賽〕那么x＝＿＿＿。5.(T1杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)，，那么=．6．(武漢市選拔賽試題)如果，，，那么3b3－c3的值為()A．2002B．2001C．1D．07．(2002年紹興市競(jìng)賽題)當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是()A．0B．－1C．1D．－220038．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)、b、c為有理數(shù)，且等式成立，那么2+999b+1001c的值是()A．1999B．2000C．2001