圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達(dá)定理 （解答版）

專題3圓錐曲線大題處理策略：非對稱韋達(dá)定理在圓錐曲線解答題中我們通常利用直線與二次曲線聯(lián)立得到一元二次方程的韋達(dá)定理來處理類似等結(jié)構(gòu)，這些形式通過合理的變形均可以用整體帶入的方法達(dá)到避開解交點(diǎn)坐標(biāo)的目的。（這是圓錐曲線大題中普遍使用韋達(dá)定理的初衷）。但我們在做題中也經(jīng)常會遇到類似于這種系數(shù)不對稱的結(jié)構(gòu)，稱之為“非對稱韋達(dá)定理”。顯然按照先前的方法就很難順利的處理掉，本專題就此類問題給出幾個常見的處理策略。例題講解：例題講解：例題：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為。求橢圓方程（2）分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求證：直線的交點(diǎn)在定直線上解：橢圓,設(shè)，直線的方程為:聯(lián)立方程，得，得則直線的方程為：，直線的方程為：（這里先要根據(jù)對稱性分析預(yù)判交點(diǎn)在平行于軸的定直線上以確定下一步的消元方向?。。┞?lián)立兩直線方程消元：（的系數(shù)不對稱了）（無論怎么消元都會得到類似的一個非對稱結(jié)構(gòu)）下面給出幾種處理策略：策略1：常規(guī)方法（計算量大，費(fèi)事費(fèi)勁，準(zhǔn)確率低）由二次方程解出代入化簡，，得即直線的交點(diǎn)在定直線上策略2：利用韋達(dá)定理保留一個（解方程組，這是一種試探性的化簡，“前途未卜”，不具一般性）由韋達(dá)定理得帶入化簡，得即直線的交點(diǎn)在定直線上策略3：將與的關(guān)系代入化簡（和積轉(zhuǎn)換，一般是積轉(zhuǎn)和）由，得（即）帶入化簡，得，即直線的交點(diǎn)在定直線上策略4：帶一點(diǎn)進(jìn)曲線方程轉(zhuǎn)化為對稱韋達(dá)定理（曲線代換，例如2020年全國一卷題）帶點(diǎn)進(jìn)橢圓方程得化簡得進(jìn)而得到，帶入化簡（奇跡出現(xiàn)了，“對稱韋達(dá)定理”）接下來就是常規(guī)套路，不多贅述了。知識點(diǎn)講解：知識點(diǎn)講解：韋達(dá)化處理由引例1可知，核心條件坐標(biāo)化后，并不全是直接韋達(dá)化的形式．對于坐標(biāo)化后的表達(dá)式不是韋達(dá)形式的，還需進(jìn)行韋達(dá)化處理．韋達(dá)化處理主要有以下幾種處理方法：代換（直線代換或曲線代換）、和積消元法、配湊、解方程組．韋達(dá)化處理一：代換——即消去x或y中的一個由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程，韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積只式單獨(dú)的x或y的形式，而此時坐標(biāo)表達(dá)式并非是直接的韋達(dá)形式，因此需進(jìn)行代換：方向一：直線代換：）又，即方向二：曲線代換：若兩個點(diǎn)均在直線和曲線上，那么形如的式子，如果用直線替換顯然麻煩，注意到，替換掉原式中含有的，可以得到。韋達(dá)化處理二：和積消元法和積轉(zhuǎn)換——找出韋達(dá)定理中的兩根之和與兩根之積的關(guān)系由韋達(dá)定理可得，所以，代入中，整理，即可得，為定值，得證．若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢？我們不妨用待定一下系數(shù)，設(shè)，∴韋達(dá)化處理三：配湊配湊法進(jìn)行韋達(dá)化處理，一個經(jīng)典案例就是弦長中的．對于前述坐標(biāo)化后的部分式子，也需要作配湊處理：（1），即，其中k為直線AB斜率，再用直線代換，即，得．此處需注意兩點(diǎn)，一是，幾何意義即為直線斜率，二是通過平方差公式因式分解轉(zhuǎn)化，對于含平方形式是有力手段．（2）．（3），此處考慮直線代換，，再代入上式即可得．（4），而，整理得．（5）此形式可以配湊倒數(shù)關(guān)系，，故，配湊可得．高考講解：高考講解：1.（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）［方法一］：非對稱韋達(dá)定理：由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：配湊半代換換配湊半代換換，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.［方法二］：非對稱韋達(dá)定理：由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

所以，直線的方程為，直線的方程為，積化和聯(lián)立直線與直線的方程可得：積化和由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.［方法三］：非對稱韋達(dá)定理：由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立可得，則，

直線的方程為，直線的方程為，曲線替換聯(lián)立直線與直線的方程可得：曲線替換所以因?yàn)椋?。得，即，?jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.［方法四］：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．由韋達(dá)定理得設(shè)，直線方程過點(diǎn)，所以．則。由于,則．設(shè)直線，聯(lián)立方程得，可得，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.類型題講解：類型題講解：反設(shè)直線例1．已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B分別為其左、右頂點(diǎn)，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．反設(shè)直線積化和【解析】法一：由題，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)，則，，聯(lián)立，消x得，且△>0，則．積化和所以，代入得，，為定值，得證．法二：由題，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)，則，，聯(lián)立，消x得，且△>0，則．因此，得證．配湊半代換換法三：當(dāng)直線l斜率不存在時，此時，，或，，配湊半代換換反設(shè)直線因此或，，此時均有，為定值．反設(shè)直線當(dāng)直線l斜率存在時，不妨就直線，，，因此，，，聯(lián)立，消得，易知△＞0，則．法四：當(dāng)直線l斜率存在時，不妨就直線，，，積化和聯(lián)立，消得，因此，積化和所以，為定值，得證．法五：當(dāng)直線l斜率存在時，不妨就直線，，，配湊半替換聯(lián)立，消得所以，配湊半替換即，為定值，得證．例2．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長為，面積為（1）求的方程．（2）設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則求直線和交點(diǎn)的軌跡方程?！敬鸢浮浚?）；（2）答案見解析．【解析】（1）依題意，得，即，解得所以的方程（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，化簡整理，得，假設(shè)，由韋達(dá)定理，得，得直線的方程：；直線的方程：；聯(lián)立方程，得，兩式相除，得，即，解得，所以直線和交點(diǎn)的軌跡方程是直線．練習(xí)題：練習(xí)題：1.已知橢圓的離心率為，長軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，又，．所以所以橢圓C的方程為．（2）解法一：設(shè)直線，，，，可得，所以．直線AM的方程：①直線BN的方程：②由對稱性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立①②可得．因?yàn)?，所以所以點(diǎn)Q在直線上．解法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，所以，整理得：．又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）所以Q在定直線上．2.點(diǎn)是橢圓的左右頂點(diǎn)，若過定點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．【答案】證明見解析【解析】由題意得，，，設(shè)，聯(lián)立，化簡得(，由韋達(dá)定理得，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，即，解得原式，故直線AM與直線BN交點(diǎn)在定直線x＝4上．3.已知、分別是橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，離心率，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點(diǎn).【答案】（1）【解析】解：（1）由題意得，，，則，所以，又，所以，，所以橢圓E的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，，，則，由，消去y得.由，得，所以，.，直線的方程為，即，因?yàn)?，，所以，直線的方程為可化為，則直線恒過定點(diǎn).綜上知直線恒過定點(diǎn).4.已知橢圓：（）過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在