5論文格式及寫(xiě)作要求樣本

PAGE（先作頁(yè)面設(shè)置：A4紙，上邊距為3.0cm，下邊距為2.5cm，左邊距為2.5cm，右邊距為2.5cm。頁(yè)眉和頁(yè)腳邊距為1.5cm。行間距為1.5倍。）數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用（三號(hào)黑體，居中）（中間空一行）摘要（四號(hào)黑體，居中）（“摘要”二字中間空一個(gè)漢字的位置）（中間空一行）（以下是小四號(hào)宋體；摘要中應(yīng)包括：（1）選題的背景；（2）論文的主要內(nèi)容，目錄中的二級(jí)標(biāo)題都要列入；（3）寫(xiě)作的目的和意義。）（背景）數(shù)學(xué)教學(xué)包含數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂的一種方式．學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果以恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法作指導(dǎo)，加之熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，就可以使得各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解．實(shí)際中，解決各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題均需要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法作指導(dǎo)，而學(xué)生不一定注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用．（論文主要內(nèi)容）論文就解決數(shù)列問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)思想方法，包括方程思想、函數(shù)思想、整體思想、化歸思想、分類(lèi)討論思想、歸納與遞推思想、對(duì)稱(chēng)思想、特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想及建模思想作探討．（意義）旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并能以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)解決數(shù)列問(wèn)題．（中間空一行）關(guān)鍵詞：（小四號(hào)黑體）數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)列；應(yīng)用（小四號(hào)宋體，中間用分號(hào)隔開(kāi)，末尾不加標(biāo)點(diǎn)。一般寫(xiě)3至5個(gè)為宜）

TheApplicationoftheMathematicalThoughtandMethodintheSolutionofSequenceofNumber（TimesNewRoman字體，四號(hào)加粗，居中；第一個(gè)單詞和實(shí)詞的首字母大寫(xiě)）（中間空一行）Abstract:（TimesNewRoman字體，小四號(hào)加粗，頂格寫(xiě)）Mathematicalteachingincludestheteachingofmathematicalthoughtandmethod,whichisakindofwayofoptimizingthemathematicalclass.Whenstudentssolvemathematicalproblems，iftheyareguidedbypropermathematicalthoughtandmethod,inadditiontograspthemathematicalknowledgestructureskillfully,thenthevariouskindsofmathematicalproblemswillbereadilysolved.Indailystudy,solvingdifferentkindsofmathematicalproblemsneedsthecorrespondingmathematicalthoughtandmethodtobetheguidance.However,studentsdon’talwayspaymuchattentiontothestudyofmathematicalthoughtandmethod.Therefore,thispaperdiscussesthecommonlyusedmathematicalthoughtandmethodinsolvingtheproblemsofthesequenceofnumber,whichincludingthethoughtofequation,thefunctionalthought,thewholethought,thetransformationthought,thethoughtofclassificationdiscussion,thethoughtofinductionandrecursion,thesymmetricalthought,thethoughtofthecombinationofnumberandform,thelimitthoughtandthethoughtofmodeling.Throughthesediscussions,thisthesisaimstohelpstudentstoknowtheimportanceofthemathematicalthoughtandmethod,andenablesthemtosolvetheproblemsofthesequenceofnumberundertheguidanceofthemathematicalthoughtandmethod.（TimesNewRoman字體，小四號(hào)）（中間空一行）Keywords:（TimesNewRoman字體，小四號(hào)加粗，頂格寫(xiě)）themathematicalthoughtandmethod;sequenceofnumber;application（TimesNewRoman字體，小四號(hào)，中間用分號(hào)隔開(kāi)，末尾不加標(biāo)點(diǎn)）

目錄（四號(hào)黑體，居中）（“目錄”二字中間空一個(gè)漢字的位置）（中間空一行）（下面的文字為小四號(hào)宋體，所有標(biāo)題的第一個(gè)漢字對(duì)齊，一級(jí)標(biāo)題加粗）（注意：標(biāo)題1（引言）、2（文獻(xiàn)綜述）和最后一部分（結(jié)論）以及它們下面的二級(jí)標(biāo)題都要用樣本中的標(biāo)題，不得改變）1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 12.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 22.3提出問(wèn)題 23數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用 23.1方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 23.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 53.3整體思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 123.4化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 153.5分類(lèi)討論思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 183.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 233.7對(duì)稱(chēng)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 253.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 273.9數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 273.10極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 283.11建模思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 294結(jié)論 304.1主要發(fā)現(xiàn) 304.2啟示 314.3局限性 314.4努力方向 31參考文獻(xiàn) 32PAGE31引言（一級(jí)標(biāo)題小三號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（正文除標(biāo)題外全設(shè)為小四號(hào)宋體；1.5倍行距，段落設(shè)為首行縮進(jìn)兩字符，句號(hào)全用實(shí)心句點(diǎn)，占一個(gè)漢字的位置）（引言部分應(yīng)包括選題的背景、目的和意義）（背景）現(xiàn)在的中學(xué)生雖然能夠記住大量的數(shù)學(xué)公式，能說(shuō)出課本上出現(xiàn)的諸多定義、定理，也做了不少數(shù)學(xué)習(xí)題，可是一旦遇到一個(gè)看起來(lái)比較新穎的習(xí)題時(shí)，還是會(huì)有許多學(xué)生感到束手無(wú)策，不知從何解起．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因就在于學(xué)生平時(shí)只知道一味地做題，很少注意體會(huì)在解題過(guò)程中用過(guò)的思想方法．事實(shí)上“數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換，而命題的連續(xù)變換就是數(shù)學(xué)基本思想方法反復(fù)運(yùn)用的過(guò)程”．如果缺乏必要的數(shù)學(xué)思想方法做指導(dǎo)，學(xué)生在解題時(shí)只能一會(huì)兒用這個(gè)公式套套，一會(huì)兒用那個(gè)定理試試，盲目地亂撞，這樣做是很難達(dá)到解題目的．可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指南．要想提高學(xué)生的解題能力，就必須幫助學(xué)生掌握最基本的數(shù)學(xué)思想方法[1]．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它不僅體現(xiàn)著數(shù)學(xué)理論內(nèi)部所固有的規(guī)律，還反映了人們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的不斷深化[2]．（目的和意義）數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)之一，是高考必考內(nèi)容，數(shù)列部分的內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如化納思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等，特別是數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年在加大份量，因此在數(shù)列解題中要重視充分挖掘題材中的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去分析、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力．下文通過(guò)典型實(shí)例，揭示了幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，旨在拓寬人們分析問(wèn)題的思路，提高人們解決實(shí)際問(wèn)題的能力．2文獻(xiàn)綜述（一級(jí)標(biāo)題小三號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）2.1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀(二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）(如果有三級(jí)標(biāo)題，設(shè)為小四號(hào)黑體頂格寫(xiě))(閱讀最近三至五年有關(guān)此選題的所有文獻(xiàn)，歸納總結(jié)后按研究成果分類(lèi)介紹這些文獻(xiàn)的主要結(jié)論，同類(lèi)文獻(xiàn)放在一起介紹；注意下面提到的文獻(xiàn)都算是引用參考文獻(xiàn)，后面按（首次）引用的先后順序排序，在正文中看到的引用文獻(xiàn)編號(hào)則從[1]開(kāi)始，從小到大順次出現(xiàn))現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)各種思想方法在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用做出說(shuō)明．其中隋澈在文獻(xiàn)[1]中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要性，強(qiáng)調(diào)只有注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)才能讓學(xué)生在遇到陌生問(wèn)題時(shí)有法可尋．范治順在文獻(xiàn)[2]中較詳盡的對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)思想方法列舉說(shuō)明．趙春祥在文獻(xiàn)[3]中僅針對(duì)數(shù)列中的四種常用數(shù)學(xué)思想舉例說(shuō)明其用途．王衛(wèi)華、劉玉芳、李會(huì)煜、佟建銘在文獻(xiàn)[4、5]中針對(duì)數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法展開(kāi)論述，文獻(xiàn)中常用數(shù)學(xué)思想方法列舉全面，舉例說(shuō)明詳盡．李晶在文獻(xiàn)[6]中針對(duì)整體思想展開(kāi)描述，并舉例說(shuō)明整體思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用．文獻(xiàn)[8]中，張弦、趙丹舉例說(shuō)明“數(shù)形結(jié)合”思想方法在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用．文獻(xiàn)[10-12]中作者應(yīng)用各類(lèi)數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題舉例說(shuō)明．黃俊峰在文獻(xiàn)[14]中提出特殊化思想可方便快捷地解決數(shù)列中的一些問(wèn)題．田照亮在文獻(xiàn)[15]中提出針對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題可利用數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合數(shù)列知識(shí)解決．2.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（對(duì)前面的文獻(xiàn)作整體評(píng)價(jià)，指出還可以繼續(xù)研究的問(wèn)題，注意指出缺點(diǎn)時(shí)語(yǔ)氣要委婉）文獻(xiàn)[1-10]分別就數(shù)學(xué)思想方法的重要性及數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的意義舉例作了說(shuō)明，文獻(xiàn)中主要闡述一種或幾種思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，沒(méi)有全面地介紹常用數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用．而且文獻(xiàn)中對(duì)怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問(wèn)題提及甚少，對(duì)學(xué)生在應(yīng)用中存在的問(wèn)題也未給出詳細(xì)深入的說(shuō)明．2.3提出問(wèn)題（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（結(jié)合2.2中指出的還可以繼續(xù)研究的問(wèn)題，提出本文要討論的問(wèn)題）部分高中生已具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)根據(jù)教師的指導(dǎo)，除學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)外，還體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)概括以指導(dǎo)方便快捷地解決問(wèn)題．但對(duì)于普通高中多數(shù)學(xué)生，要較好地掌握高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)尚且困難，更談不上留心體會(huì)解決問(wèn)題過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法．因此，除對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法作介紹外，還需對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法過(guò)程中學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)及解決辦法作探討，包括對(duì)使用這些方法的目的、作用作闡述．3數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用（一級(jí)標(biāo)題小三號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）3.1方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（每個(gè)標(biāo)題下面都應(yīng)有觀點(diǎn)闡述，如關(guān)于中學(xué)解題類(lèi)的論文，應(yīng)說(shuō)明標(biāo)題中的方法怎樣做，并分析學(xué)生在運(yùn)用時(shí)存在什么困難，容易忽視什么問(wèn)題或容易犯什么錯(cuò)誤，怎樣解決？等等。例題應(yīng)在解之前加分析（針對(duì)較難的例題）或解之后加評(píng)注（針對(duì)相對(duì)簡(jiǎn)單的例題），在分析和評(píng)注中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)、突出觀點(diǎn)。）用方程思想處理數(shù)列問(wèn)題，就是將原問(wèn)題歸結(jié)為確定待定未知數(shù)的值，而這些未知數(shù)的確定又通過(guò)建立方程組求解來(lái)完成．例1是否存在這樣的等差數(shù)列，使它的首項(xiàng)為1，公差不為0，且前3n項(xiàng)中，前n項(xiàng)的和與后2n項(xiàng)的和的比值對(duì)于任意自然數(shù)都等于常數(shù)？若存在，請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：若存在這樣的等差數(shù)列，其公差為d，前n項(xiàng)的和記為，則其后2n項(xiàng)的和為．由題意得：記(為常數(shù))將其變形得：（1）將和代入（1）得化簡(jiǎn)整理得：（2）要使（2）成為恒等式的充要條件是 解方程組得：又故存在這樣的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為常數(shù)評(píng)注：將問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)未知數(shù)的確定，運(yùn)用待定系數(shù)法和通過(guò)對(duì)方程組的求解來(lái)完成．為了求出數(shù)列中的某些量，有時(shí)要將已知量、未知量置于方程之中，求出我們關(guān)心的量，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決．這也是方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用．例2設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿(mǎn)足；是滿(mǎn)足的數(shù)列．(l)求滿(mǎn)足的值；(2)又若，對(duì)于恒成立，且，數(shù)列的前10項(xiàng)之和為20，求的值．解：（1）依題意代入得當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，（2）由，對(duì)于恒成立可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列．所以化簡(jiǎn)得：又知從而解此方程組得：評(píng)注：該題明顯需應(yīng)用方程思想求解，要求學(xué)生能熟練應(yīng)用數(shù)列及對(duì)數(shù)的性質(zhì)．例3設(shè)，，求證：對(duì)于不可能有某一正整數(shù)，使能被1998整除．證明：由（1）得所以由（1）平方整理得：（2）進(jìn)而有這說(shuō)明是二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理有假定存在，滿(mǎn)足1998整除，由3整除1998知3整除，而，故3整除．仿此類(lèi)推3整除，3整除，…，3整除，3整除，這與矛盾．在求等差數(shù)列、等比數(shù)列中的有關(guān)量時(shí)，利用方程思想可以方便地解決數(shù)列中的計(jì)算問(wèn)題．例4有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求此四個(gè)數(shù)．解:設(shè)所求的四個(gè)數(shù)分別為，，，．則解得：或所以所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．評(píng)注：該題解決過(guò)程中設(shè)未知數(shù)應(yīng)使未知量個(gè)數(shù)盡量少，之后應(yīng)用方程思想列方程組求解．3.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)把數(shù)列中的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)加以研究，這種利用函數(shù)思想合理轉(zhuǎn)化的方法是解決數(shù)列問(wèn)題的重要策略．例5已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的和為44，偶數(shù)項(xiàng)的和為33，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及中間項(xiàng)．解：設(shè)這個(gè)數(shù)列共有項(xiàng)，由于是關(guān)于n的一次函數(shù)，則點(diǎn)，，共線(xiàn)．由斜率相等得：解得：所以該數(shù)列共有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為11．評(píng)注：在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和公式可以變形為:所以是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)均在直線(xiàn)上．因此，在解等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，若能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)來(lái)研究，就很方便快捷．例6等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，問(wèn)n為何值時(shí)，最大?解：因?yàn)樗约匆驗(yàn)樗砸驗(yàn)榍揖鶠樽匀粩?shù)，所以又因?yàn)榍夜室詾樽宰兞康亩魏瘮?shù)圖像開(kāi)口向下，于是有最大值．①如果為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值②如果為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值評(píng)注：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為二次函數(shù)，求其最值自然聯(lián)系到用二次函數(shù)求最值的思想，該例中學(xué)生討論的取值是一個(gè)難點(diǎn)，最終結(jié)論分奇、偶數(shù)討論也應(yīng)該引起學(xué)生注意．因?yàn)閿?shù)列本身就是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，所以可構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的有界性，單調(diào)性等性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題．例7(1998年全國(guó)高考題)已知數(shù)列是等差數(shù)列，，(l)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)（其中，且），記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．解：（1）（2）與只要比較與的大小．猜想構(gòu)造函數(shù)有：，所以故對(duì)所有，都有．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．評(píng)注：該題求出的前項(xiàng)和后，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，學(xué)生利用作商構(gòu)造函數(shù)討論大小是處理本題的難點(diǎn)．例8已知函數(shù)，且構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，又．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明．證明：（1）令故所以(2)所以可得：例9設(shè)數(shù)列通項(xiàng)公式：（1）求；（2）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．解：（1）（2），增大，無(wú)限減少，所以要使恒成立，必有：，整理得：，所以或．故或數(shù)列是定義在自然數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)．尤其是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，分別是關(guān)于的一次函數(shù)和二次函數(shù)．用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列的問(wèn)題，能使我們更深刻地理解數(shù)列．例10在等差數(shù)列中已知，，求的值．解：由題意知：，，設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和解之得：所以故例11設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個(gè)值最大并說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)樗杂炙?，即解之得：?）因?yàn)橛郑援?dāng)最小時(shí)，最大．由得：又，故最大．?dāng)?shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，它可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)或是它的有限子集的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，因此數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，用函數(shù)的思想研究解決數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題是必須掌握的一種方法[3]．例12(高考題改編)在等差數(shù)列中，，，則的最大值為多少．解：由及，得所以考察二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，又所以當(dāng)或時(shí)，有最大值42．評(píng)注：數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去求解．3.3整體思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）整體思想是數(shù)學(xué)解題中的一種常用的思想方法，它是從整體觀點(diǎn)出發(fā)研究問(wèn)題的心理活動(dòng)過(guò)程，是將已知條件或需要解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并注意已知條件及待求結(jié)論在這個(gè)“整體”中的地位和作用，然后通過(guò)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問(wèn)題獲解．有些數(shù)列問(wèn)題，如果分開(kāi)求解，運(yùn)算過(guò)程會(huì)比較麻煩或者解題思路不清晰；如果通過(guò)對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，通?？梢院?jiǎn)化解題過(guò)程，減少運(yùn)算量．例13等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為與，若=，求的值．解：因?yàn)?，所以評(píng)注：該題注意到，之后，與，與就可以聯(lián)系在一起了，從而將從整體上把已知條件與待求式子聯(lián)系起來(lái)，解題思路便容易找到．該題要求學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)．整體思想在數(shù)列中體現(xiàn)一種運(yùn)算策略，就是將一些較為復(fù)雜的式子看作一個(gè)整體，進(jìn)行整體代入，整體換元，整體消元．例2一個(gè)等比數(shù)列，前項(xiàng)和為48，前項(xiàng)和為60，求其前項(xiàng)的和解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為則所以化簡(jiǎn)得：又所以評(píng)注：處理題目時(shí)，避開(kāi)具體細(xì)節(jié)和局部特征，從對(duì)象的整體的共性去思考，往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而使解題簡(jiǎn)便．例14(2005全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng);(2)求的前項(xiàng)和．解：（1）由得：，即．得：．因?yàn)?，所以解得：，所以，?）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)，公比的等比數(shù)列，故，．則數(shù)列的前項(xiàng)和為：則兩式相減得：，即評(píng)注：該題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力和推理能力．由式運(yùn)用整體消元的思想比較容易得到所求結(jié)果．該題如果先求出公差，再求通項(xiàng)則比較繁瑣；第二問(wèn)考查的是典型的分組求和與錯(cuò)位相減法，錯(cuò)位相減法是運(yùn)用整體變形思想的一種方法．此外，“整體代入法”、“倒序相加法”也蘊(yùn)含著整體變形的思想．3.4化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）化歸思想就是利用所學(xué)的知識(shí)和方法去揭示新與舊、復(fù)雜與簡(jiǎn)單、抽象與具體、整體與局部等問(wèn)題之間的關(guān)系，并通過(guò)一系列的變換，化未知為已知的解題過(guò)程．例15等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知是的最大值，且求使的n的最大值．解：因?yàn)槭堑淖畲笾担怨钜驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，評(píng)注：該題求使的的最大值，首先可能會(huì)想利用前項(xiàng)和公式討論，但行不通，故考慮從數(shù)列的結(jié)構(gòu)及變化趨勢(shì)分析，得出結(jié)論．而依據(jù)題設(shè)已知條件，利用劃歸思想可將求劃歸為，劃歸為，從而作出判斷．將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象的思想稱(chēng)之為化歸轉(zhuǎn)化思想．它一般表現(xiàn)為將有待解決的問(wèn)題進(jìn)行不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使之逐步成為熟悉的、或已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題模式．例16(2005重慶)數(shù)列滿(mǎn)足：且，記．求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和．解：由得：帶入遞推關(guān)系式，整理得：即，可改寫(xiě)為，則是首相為，公比的等比數(shù)列．故即由題設(shè)得：故評(píng)注：該題通過(guò)整體代入轉(zhuǎn)化將不是等比數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列問(wèn)題求解．例17(2005天津卷)已知：．當(dāng)時(shí)，，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．解：當(dāng)時(shí)，，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和（1）（1）式兩邊同時(shí)乘以得：（2）（1）式減去（2）式得：若時(shí)，等式兩邊同除得：；若，評(píng)注:觀察的特征，即考慮利用錯(cuò)位相減進(jìn)行化歸結(jié)合等比數(shù)列求和解決．3.5分類(lèi)討論思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）分類(lèi)思想是解決區(qū)分不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或不同情況的一種重要思想．?dāng)?shù)列中的量在不同范圍取值時(shí)會(huì)有不同的情況，因此應(yīng)適當(dāng)對(duì)某些量進(jìn)行分類(lèi)討論．如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分q=1和ql兩種情況．分類(lèi)就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)互不重疊的部分．它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略．在數(shù)學(xué)中分類(lèi)求解的問(wèn)題很多，在數(shù)列中也不例外．例18(上海市1989年高考題)已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，且，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別記，，試比較與的大?。?當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)令得：，舍去；．當(dāng)時(shí)，，，所以即當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)，所以即綜上所述:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，評(píng)注：該題針對(duì)等比數(shù)列前項(xiàng)和，需對(duì)的取值分情況討論．同學(xué)求解過(guò)程中難度在于除對(duì)的取值分和兩種情況外，在情型中還需對(duì)的取值有恰當(dāng)?shù)娜∩?，才能順利解決問(wèn)題．例19(1997年全國(guó)高考題)已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．解：因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，因?yàn)樗詴r(shí)，所以（２）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在解答某些?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況，對(duì)各種情況需加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合求解，這就是分類(lèi)討論法．有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想，分類(lèi)討論在高考試題中占有重要的位置．例20(2005全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和（1）求的取值范圍;（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，試比較與的大?。猓海?）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，可得，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，即，上式等價(jià)于不等式組：（）（1）或（）（2）解（1）式得：解（2），由于可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得：綜上，的取值范圍是（2）由得：于是又因?yàn)榍一虍?dāng)或時(shí)：即當(dāng)且時(shí)即當(dāng)或時(shí)即評(píng)注：一般的，涉及到等比數(shù)列前項(xiàng)的和，要討論公比的各種情況;比較兩個(gè)數(shù)大小在作差以后，能因式分解的要討論各個(gè)因式的符號(hào)．例21(2005江西卷)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：先考慮偶數(shù)項(xiàng)有：…，所以同理考慮奇數(shù)項(xiàng)有：…，所以于是綜上可得：評(píng)注：這道題是數(shù)列中常見(jiàn)的下標(biāo)與項(xiàng)數(shù)n有關(guān)的題型，特別是項(xiàng)數(shù)n與-1有關(guān)的問(wèn)題，一般的要討論n為奇數(shù)與偶數(shù)情況．分類(lèi)討論是指在研究問(wèn)題時(shí)，若對(duì)事物的整體研究有困難，可轉(zhuǎn)而研究事物的各個(gè)局部，通過(guò)對(duì)局部的研究，完成對(duì)整體的研究，要求學(xué)生思維慎密、嚴(yán)謹(jǐn)、不重復(fù)、不遺漏．3.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）歸納、遞推是由個(gè)別、特殊事例，經(jīng)過(guò)觀察、分析作出猜想的推論方式，是邏輯思維的一種重要方法．解決數(shù)列問(wèn)題中經(jīng)常用到歸納遞推思想．例22已知數(shù)列滿(mǎn)足關(guān)系，，求的通項(xiàng)公式．解：由已知數(shù)列中，，，，，觀察各項(xiàng)分子的變化規(guī)律：分母的變化規(guī)律：通過(guò)觀察、分析、歸納得：評(píng)注：該類(lèi)題型通過(guò)列舉、歸納得出結(jié)論，考試中出現(xiàn)頻率高，學(xué)生解答過(guò)程中需注意觀察與聯(lián)想緊密結(jié)合．歸納思想是一種由特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法，特別是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，應(yīng)注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，完成解題[4]．例23（2005北京卷）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，記，求；判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解：（1），；（2）因?yàn)?，所以，，猜想：是公比為的等比?shù)列．證明如下：因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．評(píng)注：“先猜后證”是解題的一種重要方法．先猜：不僅要猜結(jié)論，還要猜思路．后證:要用數(shù)學(xué)歸納法證明，有時(shí)也用其它證明方法．在實(shí)際應(yīng)用上，往往是“邊猜邊證”，把歸納猜想與演繹證明有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，交互運(yùn)用．另外，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式解決有關(guān)數(shù)列比較大小的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用歸納思想．3.7對(duì)稱(chēng)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）圖形對(duì)稱(chēng)、數(shù)式對(duì)稱(chēng)都是對(duì)稱(chēng)思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)．在等差數(shù)列、等比數(shù)列中用對(duì)稱(chēng)的思想觀察、思考問(wèn)題可使問(wèn)題快速求解．例24已知等差數(shù)列的前五項(xiàng)和為45，第10項(xiàng)為30，求此前五項(xiàng)．解：設(shè)前五項(xiàng)分項(xiàng)為：則所以即又因?yàn)樗怨是拔屙?xiàng)分別為：3，6，9，12，15．評(píng)注：該題利用對(duì)稱(chēng)的思想假設(shè)未知數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，方便求解結(jié)果．例25設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個(gè)值最大并說(shuō)明理由解：（1）因?yàn)樗杂炙?，解之得：?），可知等差數(shù)列是個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，若在中存在一個(gè)自然數(shù)，使，而，則就是中值最大者．因?yàn)椋?，所以是中值最大者．評(píng)注：該題根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，考慮利用對(duì)稱(chēng)思想簡(jiǎn)便得出結(jié)果．3.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）特殊化思想作為解題方法，有利于增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性，形成完整的邏輯思維特殊化思想作為技巧在邏輯上是不嚴(yán)密的．特殊化思想也可以作為一種嚴(yán)密的解題方法．由反例來(lái)否定命題;還可以運(yùn)用特例，得到問(wèn)題的必要條件，然后再通過(guò)檢驗(yàn)、證明，形成問(wèn)題的充要條件．例26（2000年全國(guó)高考）（1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù);（2）設(shè)，是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．分析：（1）選取數(shù)列的前三項(xiàng)，它們必構(gòu)成等比數(shù)列，求得或3．再檢驗(yàn)或3是否使得數(shù)列所有項(xiàng)成為等比數(shù)列即可．（2）若能找到某三項(xiàng)不成等比數(shù)列，即可證明數(shù)列不是等比數(shù)列．不妨證明它的前三項(xiàng)不成等比數(shù)列，便可得數(shù)列不是等比數(shù)列．評(píng)注：通常利用等比數(shù)列的定義來(lái)判斷是否是等比數(shù)列．而本題顯然計(jì)算量過(guò)大．第（1）小題先找到滿(mǎn)足等比數(shù)列的必要條件，而后證明其充要性．第（2）小題采用反例來(lái)否定一個(gè)命題是最簡(jiǎn)潔而有說(shuō)服力的方法．3.9“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）數(shù)形結(jié)合的基本思想是根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)表象或再造想象構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律解決數(shù)的問(wèn)題；或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論[13]．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一，在各類(lèi)考試中具有舉足輕重的作用．下面就數(shù)列問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合的思想解答，目的在領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．例27等差數(shù)列中，，若，則數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？解：因?yàn)?，，所以等差?shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)（如圖），由于，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值．評(píng)注：解決數(shù)列問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想作用很大，我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和分別為關(guān)于的一次函數(shù)和二次函數(shù)，因此可借助函數(shù)圖像解決該類(lèi)問(wèn)題．3.10極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）極限是微積分中最基本、最主要的概念，它從數(shù)量上描述變量在變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，而在無(wú)限變化過(guò)程中考察變量的變化趨勢(shì)的思想就是極限思想[14]．下面舉例說(shuō)明極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用．例28某城市2004年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同．為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？解：設(shè)2002年末汽車(chē)保有量為萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為萬(wàn)輛，萬(wàn)輛，…，每年新增汽車(chē)萬(wàn)輛，則對(duì)于，有所以（1）當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；（2）當(dāng)，即時(shí)，，且從而數(shù)列逐項(xiàng)增加，并且可以任意靠近，因此，如果要求汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即則即（萬(wàn)輛）．綜上所述，每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3．6萬(wàn)輛．3.11建模思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）所謂數(shù)學(xué)建模，是指當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)．這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程就稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模[15]．?dāng)?shù)學(xué)建模思想多用于解決與實(shí)際聯(lián)系緊密的問(wèn)題．例29某企業(yè)2004年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年(今年為第一年)的利潤(rùn)為萬(wàn)元（n為正整數(shù)）．（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求，的表達(dá)式；（2）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？解：（1）依題設(shè)，；．(2)．因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)所以，當(dāng)時(shí)，．答：至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)．評(píng)注：數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題中許多需應(yīng)用建模的思想建立數(shù)學(xué)模型求解．該題即需要建立數(shù)學(xué)模型，（1）建立數(shù)學(xué)模型后發(fā)現(xiàn)其與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系緊密，故利用數(shù)列知識(shí)幫助求解；（2）中作差后應(yīng)用函數(shù)思想求解方便．4結(jié)論（一級(jí)標(biāo)題小三號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）4.1主要發(fā)現(xiàn)（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（寫(xiě)本論文得出主要結(jié)論）數(shù)列是高考中的一種重要題型，題型靈活多變，一般的學(xué)生難于把握，在解決過(guò)程中困難重重，慌亂之中縱有幾次試手，也不能快速找到清晰的解題思路．然而當(dāng)學(xué)生能靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)思想方法，以其為指導(dǎo)，并掌握數(shù)列中的基礎(chǔ)知識(shí)以后，問(wèn)題將能夠迎刃而解，使得解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)便．尤其是應(yīng)用整體思想，函數(shù)思想在解決數(shù)列單選題及填空題時(shí)作用很大．4.2啟示（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（寫(xiě)論文的過(guò)程中受到的啟發(fā)）從以上可以看出數(shù)列與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系，在處理數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想與方法，則會(huì)取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時(shí)，應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用的意識(shí)，從而掌握數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)銳利的武器而受益終生．同時(shí)學(xué)生在解題和學(xué)習(xí)的過(guò)程中也應(yīng)該認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．4.3局限性（二級(jí)標(biāo)題四號(hào)黑體，頂格寫(xiě)）（本論文研究的不足之處）本