安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在試卷上無(wú)效．3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，則等于（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】令坐標(biāo)原點(diǎn)為，依題意，.故選：C2.設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.線段 B.直線 C.圓 D.橢圓【答案】A【解析】若在直線外，由三角形兩邊長(zhǎng)大于第三邊有，不合題意，故必在直線上，若在線段外，也有，不合題意，故必在線段上，且總有，故選：A.3.已知直線l的一個(gè)方向向量為，直線l的傾斜角為，則的值為（）A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，直線l的傾斜角為，所以，所以，故選：A4.設(shè)，則是直線與直線平行的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：當(dāng)時(shí)，直線，直線.顯然，兩直線斜率相等，故兩直線平行，充分性成立.必要性：若兩直線平行，則有即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線不重合，顯然，必要性不成立.故選：B5.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且四點(diǎn)共面，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D6.已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由知四邊形的外接圓以為直徑，故面積，而最小值為點(diǎn)到的距離，故，故選：B7.已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，邊和分別經(jīng)過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓方程，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或（舍去），故選：A8.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著．書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，，，，若AG⊥平面EFC，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，，，又平面，，，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B.過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】AD【解析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，A正確；對(duì)于B，兩點(diǎn)式使用前提是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線也可以為過(guò)原點(diǎn)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故D正確；故選：AD10.如圖，直三棱柱中，，，D、E分別為、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥B.直線DE與平面所成角的正弦值為C.平面與平面ABC夾角的余弦值為D.DE與所成角為【答案】BC【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，可知與不平行，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：可得平面ABC的法向量，則，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可得，則DE與所成角的余弦值為，所以DE與所成角不為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知為圓錐底面圓的直徑，，，點(diǎn)為圓上異于的一點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（異于端點(diǎn)），則（）A.直線與平面所成角的最大值為B.圓錐內(nèi)切球的體積為C.棱長(zhǎng)為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)【答案】AC【解析】A：過(guò)作交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)閳A錐底面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以與平面所成角即為，且，又，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)位于的中點(diǎn)處時(shí)取等號(hào)，所以，所以直線與平面所成角的最大值為，故正確；B：根據(jù)題意可得軸截面如下圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?xún)?nèi)切球的體積為，故錯(cuò)誤；C：將棱長(zhǎng)為的正四面體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示：由圖可知正方體的棱長(zhǎng)為，此正方體的外接球的半徑等于，所以正四面體可以在半徑為的球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，由B選項(xiàng)的結(jié)果可知，棱長(zhǎng)為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)，故正確;D：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如下圖:因?yàn)榈冗吶切?，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)閳A錐底面，所以，且相交，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，這顯然不成立，所以滿足的點(diǎn)不存在，故錯(cuò)誤；故選：AC.12.如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q，則為定值B.直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，A是橢圓上異與R，S的點(diǎn)，且、均存在，則C.若橢圓上存在一點(diǎn)M使，則橢圓離心率的取值范圍是D.四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab【答案】ACD【解析】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點(diǎn)為Q，所以，于是有，所以本選項(xiàng)命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，所以R，S兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，，，因?yàn)锳是橢圓上異與R的點(diǎn)，所以有，兩個(gè)式相減，得，因此，所以本選項(xiàng)命題是假命題；C：橢圓上存在一點(diǎn)M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即M為上（下）頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，而，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；D：因?yàn)榫匦魏驮摍E圓的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為，即，所以矩形的面積為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)命題真命題，故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】向量在向量上的投影向量為：.故答案為：14.已知P為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到P點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi)________．【答案】8【解析】由知圓心為，半徑為，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，則圓心為，半徑，故，所以.故答案為：815.若關(guān)于的不等式的解集是，則值是________．【答案】2【解析】不等式，令，即表示以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓在x軸及上方的半圓，表示過(guò)定點(diǎn)的直線，因此不等式的解集是，等價(jià)于半圓在直線及上方時(shí)，的取值集合恰為，觀察圖象得直線恰過(guò)點(diǎn)，則有，所以.故答案為：216.半徑為R的球面上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，，則的最大值為_(kāi)______【答案】【解析】由題意知半徑為R的球面上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，，設(shè)球心為O，則O到AB的距離為，到CD的距離為，則間距離的最大值為，此時(shí)位于O點(diǎn)兩側(cè)，所在的小圓面平行時(shí)，間距離最大；設(shè)M為AB上一點(diǎn)，則的面積的最大值為，設(shè)到平面的距離為，而，則，當(dāng)平面時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)平面時(shí)，取到最大值，最大值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，三棱錐中，點(diǎn)D、E分別為和的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．解：（1）；（2）由題意可知：，，故，，故，，，則，，由于異面直線和所成角范圍大于小于等于，∴異面直線和所成角的余弦值為．18.已知直線．（1）若直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，求k的取值范圍．（2）若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積為時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)相應(yīng)的直線l的方程．解：（1）由題意可知直線，易知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第二象限．（2）由題意可知∵直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別是，，當(dāng)時(shí)，由得：，即：，或，即：直線的方程為或.19.如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大小．解：（1）取中點(diǎn)，連接都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，又，面，面，面，，又平面平面，面且，又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面（2）由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為20.已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程（2）若點(diǎn)B為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作圓M的切線，切點(diǎn)分別為C、D，若，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：（1）依題意，，，即，所以的軌跡方程為.（2）由點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，又分別與圓相切于點(diǎn)，得，而，則有四邊形為矩形，又，因此四邊形為正方形，由（1）知，，則，設(shè)，則，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.21.如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，故，，因?yàn)?，由勾股定理得，又，由勾股定理得，即點(diǎn)到平面的距離為.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，由，得..設(shè)平面的法向量為，由，由，解得，令，得，故，又易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，與平面所成角為，則，∴，整理得，由，得.22.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，短軸端點(diǎn)分別為、．若四邊形為